L 345 : Exercices sur les triangles.

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L 345 : Exercices sur les triangles.
Exercice 1 : Droite et cercle d’Euler (Y. et R. Sortais, page 8)
Soit O le centre du cercle C circonscrit à un triangle ABC.
Soit A', B', C' les milieux respectifs des segment [BC], [AC] et [AB].
Soit G l'isobarycentre de A, B et C.
1) Prouver que les trois hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes et que leur point H de
concours vérifie :
2) Soit h l'homothétie de centre G, de rapport (- ).
a) Déterminer les images, par h, des points A, B et C.
b) Déterminer l'image, par h, de l'orthocentre H du triangle ABC.
c) Justifier que h(C) est une cercle C ' dont le centre O' est le milieu du segment [OH].
3)
a) Reconnaitre le centre de l'homothétie positive transformant C en C '.
b) Conclure que le cercle C ' contient :
- les milieux des côtés du triangle ABC
- les pieds des hauteurs du triangle ABC
- les milieux des segments [AH], [BH] et [CH].
Exercice 2 : Le théorème de Napoléon
Soit ABC un triangle direct.
On construit les triangles BPC, ACQ et ARB équilatéraux directs de centres de gravité respectifs S,
T, W.
On prendra les notations habituelles ; a, b, c, p, q, r, s, t, w pour les affixes des points A, B, C, P,
 
Q, R, S, T, W respectivement, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O, u , v ).
1) Faire une figure.
2) En utilisant des transformations du plan, déterminer les affixes s, t, w en fonction de a, b, c.
3) En utilisant la question 2), démontrer que le triangle STW est équilatéral.
4) Déterminer, en fonction de a, b, c l'affixe du centre de gravité du triangle STW. Qu'a-t-on
démontré ?
Exercice 3 : Le théorème de Morley
Le théorème de Morley peut s'énoncer de la
manière suivante :
Les points d'intersection des paires de
trisectrices adjacentes des angles d'un triangle
sont les sommets d'un triangle équilatéral.
Le but de cet exercice est de démontrer ce
théorème.
On identifie le plan affine euclidien orienté avec l'ensemble ℂ des nombres complexes.
On identifie toute application f du plan dans lui-même avec l'application de ℂ dans ℂ qui à l'affixe z
d'un point quelconque M associe l'affixe Z du point image f(M).
Comme indiqué sur la figure, on se donne le triangle ABC et les points P, Q, R (qui sont les points
d'intersection des paires de trisectrices adjacentes des angles du triangle ABC).
On note
,
,
Soit f, g, h les rotations de centres respectifs A, B, C d'angles respectifs
, ,
.
Pour tout z de C, on pose f(z) = a1z + b1, g(z) = a2z + b2, h(z) = a3z + b3.
Pour simplifier les notations, on pose ω = a1a2a3.
1) Montrer que f ο g (resp. g ο h, h ο f) est une rotation de centre R (resp. P, Q).
2) En déduire les affixes p, q, r de P, Q, R en fonction de a1, a2, a3, b1, b2, b3.
3) Par un argument géométrique, montrer que f3 ο g3 o h3 = Id (application identité).
4) En déduire que : a) ω
b) (a1² + a1 + 1)b1 + a13(a2² + a2 +1)b2 + a13 a23(a3² + a3 + 1)b3 =0
5) On pose E = - ωa1² a2(a1 - ω)(a2 - ω)(a3 - ω)(p + ωq + ω²r).
En utilisant les expressions de p, q, r et le fait que ω est dans
l'expression E, pour obtenir finalement E = 0.
, développer et simplifier
6) En déduire que p + ωq + ω²r = 0, et montrer que PQR est un triangle équilatéral.
Exercice 4 : Point de Fermat (F. Rouvière, page 386)
Soient A, B, C trois points non alignés du plan euclidien ℝ² ; on suppose les trois angles du
triangle ABC strictement inférieurs à . On recherche le minimum sur ℝ² de la fonction
f (M) = MA + MB + MC
où MA =
désigne la distance euclidienne des points M et A.
1) Montrer que ce minimum est atteint en (au moins) un point P, intérieur au triangle ABC et
distinct de A, B et C.
2) Montrer par le calcul différentiel que les angles
,
et
sont égaux à
que P est unique, et que f admet en ce point un minimum global strict.
. En déduire
3) Sur les côtés du triangle ABC, on construit, vers l'extérieur, trois triangles équilatéraux
ABC',BCA' et ACB'. Montrer que les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes en P, et que le
minimum de f est
f (P) = AA' = BB' = CC'.
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