Synoptique de partie Arithmétique

Synoptique de partie Arithm´etique
Notation
– L’ensemble des nombres entiers et positifs : {0,1,2,3, . . .}=N
– L’ensemble des nombres entiers, n´eg. et pos. :
{. . . , −3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}=Z
– Nombres en notation positionnelle d´ecimale : utilisant les signes 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 et 0, et la place d’une chiffre d´esigne son valeur
Le nombre 52362 veut dire 2.100+ 6.101+ 3.102+ 2.103+ 5.104, ou en
g´en´eral : abcdef =a.105+b.104+c.103+d.102+e.101+f.100
– Autres notations, p.ex. notation positionnelle binaire : utilisant les signes
1 et 0 et la place d’une chiffre d´esigne son valeur
Le nombre 10110 veut dire 0.20+ 1.21+ 1.22+ 0.23+ 1.24, ou en g´en´eral :
abcdef =a.25+b.24+c.23+d.22+e.21+f.20
– Conversion du syst`eme d´ecimale en binaire et Conversion du syst`eme bi-
naire en d´ecimale : Faites les multiplications et la somme des puissances
de 2
Nombres premiers et factorisation
– La division euclidienne de apar b:a=bq +ro`u qest le quotient et rle
reste (r < b)
– Un nombre aest divisible par bsi a=bq + 0, le reste r´egale z´ero, on
nomme ble diviseur de a(b≤a)
– Un nombre aest un nombre premier si et seulement si (ssi.) l’unit´e et a
sont les seuls diviseurs de a
– Si un nombre n’est pas premier, on parle de nombres compos´es a=
a1.a2. . . anet les aisont les facteurs de a.
– Th´eor`eme de Gauss : Si ddivise le produit aet b, et si dest premier avec
a, alors ddivise b.
– Un nombre aa toujours un diviseur premier
– Le crible d’Erastosth`ene, ´eliminer les multiples, ce qui reste, sont les
nombres premiers
– Il y a une infinit´e de nombres premiers
– Unicit´e de la Factorisation : Tout nombre peut ˆetre d´ecompos´e, de fa¸con
unique, comme le produit de nombres premiers ou puissances de nombres
premiers
– Trouver les diviseurs premiers d’un nombre N, utilisant une liste de nombres
premiers (faire la division par tout nombre premier piqui est moindre que
√N)
– Factorisations simples : 2, 3, 4, 5, 9 et 11
Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple
– Relations entre deux nombres entiers aet b: Si ddivise aet b,dest un
commun diviseur de aet b.
D´eterminer l’ensemble de diviseurs de deux nombres.
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Le plus grand commun diviseur de aet bs’´ecrit pgcd(a, b) ; si pgcd(a, b)=1
alors aet bsont premiers entre eux.
– Plus grand commun diviseur (pgcd) de deux nombres aet b. Application :
Simplifier une fraction, trouver le pgcd de num´erateur et du d´enominateur
– Plus petit commun multiple (ppcm) de deux nombres aet b. Application :
Ajouter deux fractions avec des d´enominateurs diff´erents
– Th´eor`eme qui aide `a trouver le pgcd : a=bq+r, si r= 0 alors pgcd(a, b) =
b; si rn’est pas 0 alors pgcd(a, b) = pgcd(b, r)
– Algorithme d’Euclide : Trouver le pgcd de aet b. On commence avec
a=bq0+r0; on poursuit b=r0q1+r1etc. jusqu’`a rn=rn−1qn+rn+1 o`u
rn+1 = 0 ; si rnn’est pas 0, rnsera le pgcd(a, b). (+ D´emonstration que
ridoit devenir ´egale `a 0 `a un certain moment.)
– Propri´et´es de pgcd et ppcm : pgcd(a, b)×ppcm(a, b) = a×b;pgcd(ka, kb) =
k×pgcd(a, b) ; ppcm(ka, kb) = k×ppcm(a, b)
Algorithme d’Euclide ´etendu et autres th´eor`emes
– Algorithme d’Euclide, propri´et´es : Finit toujours (quand r=pgcd(a, b)) ;
Pire cas : s´erie de Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
– Th´eor`eme de Bachet-B´ezout : quand aet bsont premiers entre eux, alors
il existe un uet v(nombres entiers pos. ou neg.) tel que ua +vb = 1
(d´emonstration)
– R´esoudre ax +by =cavec l’algorithme d’Euclide
Syst`emes de Restes et Congruences
– R´ep´etition de division : un nombre Nqui apr`es division par nlaisse ra
la forme g´en´erale : N=n.m +r, nombre pair p.ex. 2n, impair 2n/1
– Syst`emes de restes sous addition et multiplication
– Syst`emes de restes pour un nombre premier et pour nombre compos´e
– Notions de ‘groupe’, ‘anneau’, ‘corps’
– De probl`emes de reste `a modulo et congruence : “Na comme reste r1
apr`es division par p1” devient N≡r1(mod p1) (N=n.p1+r1)
– Puissances de nombres et leurs restes : Syst`emes pour un nombre premier
et nombre compos´e
– Puissance de anmodulo p
– Explication du binˆome : (a+b)n:
Interpr´etation combinatoire : aaa, aab, aba, baa, bba, abb, bab, bbb ;
Triangle de Pascal ; (a+b)n=Σin!
(n−i)!i!an.bn−i
– Fonction d’Euler : φ(p)=nombre de tous les nombres relativement premier
`a p, si pest premier, alors φ(p) = p−1
– Petit th´eor`eme de Fermat ap−1≡1 (mod p)
– Analyse petit th´eor`eme Fermat pour nombres premiers et nombres com-
pos´es
– Quelques applications du petit th´eor`eme de Fermat (raccourci pour trou-
ver de restes, utile pour savoir si un nombre est premier avec assez hautre
probabilit´e)
2

Exemple de questions de partiel
1. Notation et factorisation
(a) Notez les dix premiers multiples de trois en notation binaire.
(b) Essayez d’en d´eriver une r´egularit´e qui peut ˆetre utilis´ee pour d´eterminer
si un nombre donn´e en notation binaire est divisible par trois ou non.
(Tuyau : pensez `a la divisibilit´e par 11 et notez que 2=3-1)
(c) D´eterminez si 3 divise le nombre binaire 1101101111
2. Pgcd et algorithme d’Euclide ´etendu
(a) Simplifiez la fraction 819
507 une premi`ere fois sans utliser l’algorithme
d’Euclide, pensez `a trouver facteurs communs par simples testes de
divisibilit´e
(b) Simplifiez la fraction 819
507 avec l’algorithme d’Euclide
(c) Donnez une fraction x
y, qui, multipli´ee par 819 507 , et moins l’unit´e, donne
une fraction unitaire (cad. une fraction 1
n). (Tuyau : notez qu’on
arrive `a : 819x−507y
507y, si on peut faire de 819x−507yl’unit´e, cela
implique la solution de 819x−507y= 1, n’oubliez aussi pas d’utiliser
plutˆot les fractions simplifi´es pour tout cela)
3. Restes et factorisation
(a) Donnez un ‘algorithme’ (s´equence de pas qui m`enent `a la solution)
pour d´eterminer si un nombre est divisible par 55 (autre que la divi-
sion euclid´eenne).
(b) Appliquez cet algorithme `a 607530 pour savoir si 55 divise ce nombre.
(c) Donnez le reste apr`es division par 55 de 607533 ×9407 (Tuyau :
appliquez d’abord l’algorithme `a 9405)
4. Restes
(a) Quel est le reste de 513422 multipli´e par 342 modulo 17 ?
(b) Donnez les puissances de 0 `a 17 de 3, 7 et 10 modulo 17.
(c) Quelle est la p´eriode de 1
17 en fraction d´ecimale ? (Notez que les
puissances de 10 vous aident ici)
(d) Donnez le reste de 32418 modulo 17. (Pensez `a petit th´eor`eme Fermat)
5. Questions simples
(a) Ecrivez 121 en notation binaire
(b) Donnez la factorisation compl`ete de : 22440
(c) Trouvez le pgcd de 273 et 525
(d) Donnez au moins deux solutions de 12x−5y= 1
(e) Montrez que pour un nombre donn´e N qui a 2 comme reste apr`es
division par 3, N3peut seulement ˆetre un nombre pair si le nombre
N a aussi reste 2 apr`es division par 6.
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