Chapitre 5 - Anthony Mansuy

Chapitre 5
Systèmes linéaires
1 Généralités
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Résolution des systèmes linéaires
2.1 Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Forme générale des solutions . . . . . . . . . . . .
3
3
4
7
Introduction
Les systèmes linéaires sont des objets très utiles, notamment pour rechercher l’inverse d’une matrice (nous
verrons cela dans un prochain chapitre). On étudie ici des systèmes de n équations à p inconnues x1 , x2 , . . . , xp
de la forme suivante:

a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,p xp = b1



 a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,p xp = b2
..
..

.
.



an,1 x1 + an,2 x2 + . . . + an,p xp = bn
où les (ai,j ) et les (bi ) sont des nombres réels.
L’objectif est d’obtenir toutes les solutions d’un système donné. Pour cela, on cherche à le mettre sous forme
triangulaire ou échelonné en utilisant la méthode du pivot de Gauss, qui repose sur des opérations élémentaires
sur les équations du système. Nous présentons cette méthode et donnons la forme générale des solutions lorsque
le système est impossible, de Cramer ou indéterminé.
Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims)
[email protected]
ECE1
Lycée Clemenceau, Reims
Soient n et p deux entiers naturels non nuls.
1
Généralités
1.1
Définitions
Définition.
On appelle système linéaire de n équations à p inconnues réelles
suivante:

a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,p xp



 a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,p xp
(S) :
..

.



an,1 x1 + an,2 x2 + . . . + an,p xp
x1 , x2 , . . . , xp , un système de la forme
=
=
b1
b2
..
.
= bn
où les (ai,j ) et les (bi ) sont des nombres réels. La i-ème équation du système est notée Li et est appelée
i-ème ligne du système (S). Si n = p, on dit que le système est un système carré d’ordre n.
On cherche à résoudre (S), c’est-à-dire à trouver tous les p-uplets (x1 , x2 , . . . , xp ) vérifiant les n équations
de (S).
Cas particulier.
• Si, pour tout i ∈ [[1, n]], bi = 0, on dit que le système est un système homogène ou sans second
membre.
• On appelle système homogène associé à (S) le système obtenue à partir de (S), en remplaçant tous
les nombres bi par 0.
Définition.
• Un système est dit compatible (ou possible) s’il admet au moins une solution et incompatible (ou
impossible) s’il n’admet pas de solutions.
• On appelle système de Cramer tout système linéaire qui admet une unique solution.
Définition.
Soient (S) et (S 0 ) deux systèmes linéaires à p inconnues (n’ayant pas nécessairement le même nombre
d’équations). (S) et (S 0 ) sont dits équivalents s’ils admettent le même ensemble de solutions, c’est-à-dire
si:
(x1 , x2 , . . . , xp ) est solution de (S) ⇔ (x1 , x2 , . . . , xp ) est solution de (S 0 ).
1.2
Opérations élémentaires
La résolution d’un système linéaire (S) va consister à remplacer (S) par un système (S 0 ) équivalent et plus facile
à résoudre. Pour cela, on utilise des opérations élémentaires sur les lignes:
Théorème 1 (Opérations élémentaires)
Soit (S) un système linéaire de n équations L1 , L2 , . . . , Ln à p inconnues x1 , x2 , . . . , xp . Alors on
obtient un système (S 0 ) équivalent à (S) en effectuant les opérations suivantes, dites opérations
élémentaires:
• Supprimer une équation nulle, c’est-à-dire de la forme 0x1 + 0x2 + . . . + 0xp = 0.
• Échanger la i-ème ligne Li et la j-ème ligne Lj . On note cette opération Li ↔ Lj .
• Remplacer la i-ème ligne Li par λLi (λ 6= 0). On note cette opération Li ← λLi .
• Remplacer la i-ème ligne Li par Li + λLj . On note cette opération Li ← Li + λLj .
2
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Remarque. Les deux dernières opérations peuvent se regrouper en Li ← λLi + µLj pour λ 6= 0 et i 6= j.
1.3
Systèmes échelonnés et triangulaires
Définition.
Un système linéaire (S) de n équations à p inconnues x1 , x2 , . . . , xp est un système échelonné si 2 ≤ n ≤ p
et si ∀ i ∈ [[1, n]], ∀ j ∈ [[1, p]] avec i > j, ai,j = 0. Autrement dit, le système (S) est échelonné s’il est de la
forme:


 a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + a1,4 x4 + . . . + a1,p xp = b1


a2,2 x2 + a2,3 x3 + a2,4 x4 + . . . + a2,p xp = b2


a3,3 x3 + a3,4 x4 + . . . + a3,p xp = b3
(S) :

..
..
..


.
.
.



an,n xn + . . . + an,p xp = bp
Définition.
Un système linéaire (S) est un système triangulaire s’il
(S) est triangulaire s’il est de la forme:


 a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3


a2,2 x2 + a2,3 x3


a3,3 x3
(S) :






2
est carré et échelonné. Autrement dit, le système
+
+
+
...
...
...
..
.
+
+
+
a1,n xn
a2,n xn
a3,n xn
..
.
=
=
=
b1
b2
b3
..
.
an,n xn
=
bn
Résolution des systèmes linéaires
2.1
Méthode du pivot de Gauss
Le principe consiste à transformer en un nombre fini d’étapes, le système initial en un système équivalent qui
sera soit impossible, soit échelonné. Considérons donc le système suivant (n ≥ 2):

a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,p xp = b1



 a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,p xp = b2
(S) :
..
..

.
.



an,1 x1 + an,2 x2 + . . . + an,p xp = bn
On suppose que:
• Aucune équation de (S) n’est nulle. En effet, on se ramène à un système équivalent en supprimant toutes
les équations nulles.
• Aucune équation de (S) n’est impossible. Sinon la résolution de (S) est terminée et (S) est impossible.
• Toutes les inconnues x1 , x2 , . . . , xp apparaissent dans le système.
On suppose que a1,1 6= 0. Si ce n’est pas le cas, on permute les lignes du système (ce qui donne un système
équivalent) pour que l’inconnue x1 soit présente dans la première équation. Le coefficient s’appelle le premier
pivot de l’algorithme de Gauss. Alors on remplace, pour tout i ∈ [[2, n]], la ligne Li par la ligne a11 Li − ai1 L1 .
On obtient un système équivalent (S 0 ) dans lequel les n − 1 dernières lignes ne contiennent plus l’inconnue x1 :

(L01 )

 a1,1 x1 + a01,2 x2 + . . . + a01,p xp = b1


(L02 )
a2,2 x2 + . . . + a2,p xp = b2
(S 0 ) :
..
..
..
..

.
.
.
.



a0n,2 x2 + . . . + an,p xp = bn
(L0n )
Notons (S 00 ) le système linéaire formé des n − 1 dernières lignes de (S 0 ) (les lignes L02 , L03 , . . . , L0n ) aux inconnues
x2 , x3 , . . . , xn . Différents cas peuvent se présenter:
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(1) (S 00 ) est impossible. Alors (S 0 ) et donc (S) est impossible et c’est terminé.
(2) (S 00 ) contient une ou plusieurs équations nulles. Il suffit de les supprimer.
(3) Après suppression éventuelle des équations nulles, on applique à (S 00 ) le même traitement que celui que l’on
à fait subir à (S).
En un nombre fini d’étapes, on obtient un système équivalent à (S) qui est soit impossible, soit échelonné. On
a ainsi montré la:
Propriété 2
Tout système linéaire est équivalent soit à un système impossible, soit à un système échelonné.
2.2
Exemples
Nous traitons quatre exemples illustrant les différentes situations que l’on peut rencontrer.
Exemple 1. Résolvons le système:

 x + y + 2z = 5
x−y−z =1
(S1 ) :

2x + 2z = 6
(L1 )
(L2 )
(L3 )
Exemple 2. Résolvons le système:

 2x + y − z + 2t + 2u = 1
4x − y + z − t + 4u = −7
(S2 ) :

4x − 2y + z + 5t − u = 3
(L1 )
(L2 )
(L3 )
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Exemple 3. Résolvons le système:

x + 2y − z + 2t + u = 1



x + 2y + z + 6t + 3u = −1
(S3 ) :
2x + 4y + 9t + 8u = 0



2x + 4y − z + 6t + 3u = 1
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )
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Exemple 4. Résolvons le système:

x + 2y + 2z = 2



3x + y − 2z = 1
(S4 ) :
 4x − 3y − z = 3


2x + 4y + 2z = 4
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )
6
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2.3
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Forme générale des solutions
Cas d’un système avec second membre
Théorème 3 (Solutions d’un système triangulaire)
Soit n un entier ≥ 2 et (S) le système triangulaire suivant:


 a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 +


a2,2 x2 + a2,3 x3 +


a3,3 x3 +
(S) :






...
...
...
..
.
+
+
+
a1,n xn
a2,n xn
a3,n xn
..
.
=
=
=
b1
b2
b3
..
.
an,n xn
=
bn
Si les coefficients ai,i sont tous non nuls, alors le système (S) admet une unique solution. Autrement
dit, (S) est un système de Cramer.
Preuve. Puisque an,n est non nul, xn est uniquement déterminé par la n-ème équation. Ensuite, puisque
an−1,n−1 est non nul, la n − 1-ème équation détermine de manière unique xn−1 et ainsi de proche en proche,
on détermine de manière unique xn−2 , xn−3 , . . . , x2 , x1 , ce qui montre que (S) admet une unique solution et est
donc un système de Cramer.
Définition.
On considère un système échelonné (S) à n équations et p inconnues

a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3
+
a1,4 x4
+




a
x
+
.
.
.

2,j
j
2
2

a3,j3 xj3 +
...
(S) :

.

..




an,jn xjn +
x1 , x2 , . . . , xp de la forme suivante:
... +
... +
... +
...
a1,p xp
a2,p xp
a3,p xp
..
.
=
=
=
b1
b2
b3
..
.
+ an,p xp
=
bp
avec
1 < j2 < j3 < . . . < jn ≤ p et a1,1 6= 0, a2,j2 6= 0, . . . , an,jn 6= 0.
Les inconnues x1 , xj2 , . . . , xjn figurant en tête de chaque équation s’appelle les inconnues principales de
(S) et si n < p, les autres inconnues s’appellent les inconnues secondaires.
Théorème 4 (Solutions d’un système échelonné)
Soit n et p deux entiers tels que 2 ≤ n < p et (S) le système échelonné suivant:

a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3
+
a1,4 x4
+ . . . + a1,p xp




a
x
+
.
.
.
. . . + a2,p xp

2,j2 j2

a
x
+
.
.
.
. . . + a3,p xp
3,j3 j3
(S) :

..
.

..

.



an,jn xjn + . . . + an,p xp
=
=
=
b1
b2
b3
..
.
=
bp
avec
1 < j2 < j3 < . . . < jn ≤ p et a1,1 6= 0, a2,j2 6= 0, . . . , an,jn 6= 0.
Si on donne aux inconnues secondaires des valeurs arbitraires, les n inconnues principales
x1 , xj2 , . . . , xjn sont déterminées de manière unique par un système échelonné de Cramer de n
équations à n inconnues. (S) admet donc des solutions dépendant des p−n inconnues secondaires.
On dit dans ce cas que le système est indéterminé et plus précisément qu’il admet une
indétermination d’ordre p − n.
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Ainsi, pour un système linéaire avec second membre, trois cas sont possibles:
• il admet zéro solution (le système est impossible),
• il admet une unique solution (le système est de Cramer),
• il admet une infinité de solutions (le système est indéterminé).
Cas d’un système sans second membre
Un système sans second membre à p inconnues possède au moins une solution, le p-uplet (0, 0, . . . , 0). Il y a
donc seulement deux cas possibles ici:
• il admet une unique solution égale à (0, 0, . . . , 0) (le système est de Cramer),
• il admet une infinité de solutions (le système est indéterminé).
Propriété 5 (Structure des solutions d’un système sans second membre)
L’ensemble des solutions d’un système homogène forme un espace vectoriel, c’est-à-dire qu’il est
stable par combinaison linéaire: la somme de deux solutions ou le produit par un scalaire d’une
solution est encore une solution.
Exemple. Résoudre le système homogène suivant:

 x + 2y + 3u = 0
z + 3u = 0
(S5 ) :

t − 2u = 0
On explicitera l’ensemble des solutions sous la forme d’une combinaison linéaire de vecteurs et on donnera une
famille génératrice de l’ensemble des solutions.
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