Chapitre 5 - Anthony Mansuy

Syst`emes lin´eaires
Chapitre 5
1 G´en´eralit´es 2
1.1 D´efinitions....................... 2
1.2 Op´erations ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Syst`emes ´echelonn´es et triangulaires . . . . . . . . 3
2 R´esolution des syst`emes lin´eaires 3
2.1 M´ethode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Exemples ....................... 4
2.3 Forme g´en´erale des solutions . . . . . . . . . . . . 7
Introduction
Les syst`emes lin´eaires sont des objets tr`es utiles, notamment pour rechercher l’inverse d’une matrice (nous
verrons cela dans un prochain chapitre). On ´etudie ici des syst`emes de n´equations `a pinconnues x1, x2, . . . , xp
de la forme suivante:
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+. . . +a2,pxp=b2
.
.
..
.
.
an,1x1+an,2x2+. . . +an,pxp=bn
o`u les (ai,j )et les (bi)sont des nombres r´eels.
L’objectif est d’obtenir toutes les solutions d’un syst`eme donn´e. Pour cela, on cherche `a le mettre sous forme
triangulaire ou ´echelonn´e en utilisant la m´ethode du pivot de Gauss, qui repose sur des op´erations ´el´ementaires
sur les ´equations du syst`eme. Nous pr´esentons cette m´ethode et donnons la forme g´en´erale des solutions lorsque
le syst`eme est impossible, de Cramer ou ind´etermin´e.
Anthony Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures ECE au Lyc´ee Clemenceau (Reims)
[email protected]

ECE1 Lyc´ee Clemenceau, Reims
Soient net pdeux entiers naturels non nuls.
1 G´en´eralit´es
1.1 D´efinitions
D´efinition.
On appelle syst`eme lin´eaire de n´equations `a pinconnues r´eelles x1, x2, . . . , xp, un syst`eme de la forme
suivante:
(S) :
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+. . . +a2,pxp=b2
.
.
..
.
.
an,1x1+an,2x2+. . . +an,pxp=bn
o`u les (ai,j ) et les (bi) sont des nombres r´eels. La i-`eme ´equation du syst`eme est not´ee Liet est appel´ee
i-`eme ligne du syst`eme (S). Si n=p, on dit que le syst`eme est un syst`eme carr´e d’ordre n.
On cherche `a r´esoudre (S), c’est-`a-dire `a trouver tous les p-uplets (x1, x2, . . . , xp) v´erifiant les n´equations
de (S).
Cas particulier.
•Si, pour tout i∈[[1, n]], bi= 0, on dit que le syst`eme est un syst`eme homog`ene ou sans second
membre.
•On appelle syst`eme homog`ene associ´e `a (S) le syst`eme obtenue `a partir de (S), en rempla¸cant tous
les nombres bipar 0.
D´efinition.
•Un syst`eme est dit compatible (ou possible) s’il admet au moins une solution et incompatible (ou
impossible) s’il n’admet pas de solutions.
•On appelle syst`eme de Cramer tout syst`eme lin´eaire qui admet une unique solution.
D´efinition.
Soient (S) et (S0) deux syst`emes lin´eaires `a pinconnues (n’ayant pas n´ecessairement le mˆeme nombre
d’´equations). (S) et (S0) sont dits ´equivalents s’ils admettent le mˆeme ensemble de solutions, c’est-`a-dire
si:
(x1, x2, . . . , xp) est solution de (S)⇔(x1, x2, . . . , xp) est solution de (S0).
1.2 Op´erations ´el´ementaires
La r´esolution d’un syst`eme lin´eaire (S) va consister `a remplacer (S) par un syst`eme (S0) ´equivalent et plus facile
`a r´esoudre. Pour cela, on utilise des op´erations ´el´ementaires sur les lignes:
Soit (S) un syst`eme lin´eaire de n´equations L1, L2, . . . , Ln`a pinconnues x1, x2, . . . , xp. Alors on
obtient un syst`eme (S0) ´equivalent `a (S) en effectuant les op´erations suivantes, dites op´erations
´el´ementaires:
•Supprimer une ´equation nulle, c’est-`a-dire de la forme 0x1+ 0x2+. . . + 0xp= 0.
•´ Echanger la i-`eme ligne Liet la j-`eme ligne Lj. On note cette op´eration Li↔Lj.
•Remplacer la i-`eme ligne Lipar λLi(λ6= 0). On note cette op´eration Li←λLi.
•Remplacer la i-`eme ligne Lipar Li+λLj. On note cette op´eration Li←Li+λLj.
Th´eor`eme 1 (Op´erations ´el´ementaires)
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Remarque. Les deux derni`eres op´erations peuvent se regrouper en Li←λLi+µLjpour λ6= 0 et i6=j.
1.3 Syst`emes ´echelonn´es et triangulaires
D´efinition.
Un syst`eme lin´eaire (S) de n´equations `a pinconnues x1, x2, . . . , xpest un syst`eme ´echelonn´e si 2 ≤n≤p
et si ∀i∈[[1, n]],∀j∈[[1, p]] avec i>j,ai,j = 0. Autrement dit, le syst`eme (S) est ´echelonn´e s’il est de la
forme:
(S) :
a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3+a1,4x4+. . . +a1,pxp=b1
a2,2x2+a2,3x3+a2,4x4+. . . +a2,pxp=b2
a3,3x3+a3,4x4+. . . +a3,pxp=b3
....
.
..
.
.
an,nxn+. . . +an,pxp=bp
D´efinition.
Un syst`eme lin´eaire (S) est un syst`eme triangulaire s’il est carr´e et ´echelonn´e. Autrement dit, le syst`eme
(S) est triangulaire s’il est de la forme:
(S) :
a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3+. . . +a1,nxn=b1
a2,2x2+a2,3x3+. . . +a2,nxn=b2
a3,3x3+. . . +a3,nxn=b3
....
.
..
.
.
an,nxn=bn
2 R´esolution des syst`emes lin´eaires
2.1 M´ethode du pivot de Gauss
Le principe consiste `a transformer en un nombre fini d’´etapes, le syst`eme initial en un syst`eme ´equivalent qui
sera soit impossible, soit ´echelonn´e. Consid´erons donc le syst`eme suivant (n≥2):
(S) :
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,pxp=b1
a2,1x1+a2,2x2+. . . +a2,pxp=b2
.
.
..
.
.
an,1x1+an,2x2+. . . +an,pxp=bn
On suppose que:
•Aucune ´equation de (S) n’est nulle. En effet, on se ram`ene `a un syst`eme ´equivalent en supprimant toutes
les ´equations nulles.
•Aucune ´equation de (S) n’est impossible. Sinon la r´esolution de (S) est termin´ee et (S) est impossible.
•Toutes les inconnues x1, x2, . . . , xpapparaissent dans le syst`eme.
On suppose que a1,16= 0. Si ce n’est pas le cas, on permute les lignes du syst`eme (ce qui donne un syst`eme
´equivalent) pour que l’inconnue x1soit pr´esente dans la premi`ere ´equation. Le coefficient s’appelle le premier
pivot de l’algorithme de Gauss. Alors on remplace, pour tout i∈[[2, n]], la ligne Lipar la ligne a11Li−ai1L1.
On obtient un syst`eme ´equivalent (S0) dans lequel les n−1 derni`eres lignes ne contiennent plus l’inconnue x1:
(S0) :
a1,1x1+a1,2x2+. . . +a1,pxp=b1(L0
1)
a0
2,2x2+. . . +a0 2,pxp=b2(L0 2)
.
.
..
.
..
.
..
.
.
a0
n,2x2+. . . +an,pxp=bn(L0
n)
Notons (S00 ) le syst`eme lin´eaire form´e des n−1 derni`eres lignes de (S0) (les lignes L0
2, L0 3, . . . , L0
n) aux inconnues
x2, x3, . . . , xn. Diff´erents cas peuvent se pr´esenter:
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(1) (S00 ) est impossible. Alors (S0) et donc (S) est impossible et c’est termin´e.
(2) (S00 ) contient une ou plusieurs ´equations nulles. Il suffit de les supprimer.
(3) Apr`es suppression ´eventuelle des ´equations nulles, on applique `a (S00 ) le mˆeme traitement que celui que l’on
`a fait subir `a (S).
En un nombre fini d’´etapes, on obtient un syst`eme ´equivalent `a (S) qui est soit impossible, soit ´echelonn´e. On
a ainsi montr´e la:
Tout syst`eme lin´eaire est ´equivalent soit `a un syst`eme impossible, soit `a un syst`eme ´echelonn´e.
Propri´et´e 2
2.2 Exemples
Nous traitons quatre exemples illustrant les diff´erentes situations que l’on peut rencontrer.
Exemple 1. R´esolvons le syst`eme:
(S1) : 
x+y+ 2z= 5 (L1)
x−y−z= 1 (L2)
2x+ 2z= 6 (L3)
Exemple 2. R´esolvons le syst`eme:
(S2) : 
2x+y−z+ 2t+ 2u= 1 (L1)
4x−y+z−t+ 4u=−7 (L2)
4x−2y+z+ 5t−u= 3 (L3)
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Exemple 3. R´esolvons le syst`eme:
(S3) :
x+ 2y−z+ 2t+u= 1 (L1)
x+ 2y+z+ 6t+ 3u=−1 (L2)
2x+ 4y+ 9t+ 8u= 0 (L3)
2x+ 4y−z+ 6t+ 3u= 1 (L4)
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