Rappel de mathématiques - Faculté de médecine de Montpellier

Rappels de mathématiques
Année universitaire 2007-2008
RAPPELS DE
MATHEMATIQUES
ORTHOPHONIE
Première année
2007 – 2008
Dr MF DAURES
1
MF DAURÈS -Octobre 2007
Faculté de Médecine
Rappels de mathématiques
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RAPPELS DE
MATHEMATIQUES
I - LES FONCTIONS
A
B
C
D
E
F
G
- Caractéristiques générales des fonctions
- La fonction dérivée
- La fonction primitive
- La fonction puissance
- La fonction logarithme
- La fonction exponentielle
- Les fonctions trigonométriques
II - LA CINEMATIQUE
A
B
C
D
-
Le mouvement rectiligne
Le mouvement circulaire uniforme
Le mouvement sinusoïdal
Le mouvement périodique quelconque
2
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A - CARACTERISTIQUES
GENERALES DES FONCTIONS
1. Notion de fonction
2.
Propriétés des fonctions
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Définition
Courbe représentative
Domaine de définition
Continuité d’une fonction
Croissance d’une fonction
Maximum et minimum
Tableau de variation
Fonction inverse
Fonction composée
3. Etude d’une fonction particulière : la droite
a)
b)
c)
Equation d’une droite
Tableau de variation
Cas particuliers
3
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A – CARACTERISTIQUES
GENERALES DES FONCTIONS
1. Notion de fonction
•
Dépendance de 2 grandeurs
•
Relation telle que la connaissance de l’une permet de
calculer l’autre
Y = f (x)
« fonction » variable
•
Exemple : « variation de la taille des garçons en fonction
l’âge »
Age
(an)
N 1/2
1
2
5
7
10
11
12
14
16
18
Taille
(cm)
5 66
0
74
85
106
118
134
138
142
156
168
180
4
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2. Propriétés des fonctions
a)
Définition mathématique
La fonction f fait correspondre à tout élément
X de l’ensemble E un seul élément y de
l’ensemble F.
La fonction f est une transformation qui fait
correspondre à tout x un seul élément y.
Certaines des ces relations ont été étudiées
et correspondent à des lois simples : ce sont
les fonctions mathématiques connues.
b)
Courbe représentative
•
Permet de visualiser les variations
respectives de x et de y.
Pour la construire il faut :
“ Choisir des axes
“ Choisir une échelle sur chaque axe
“ Choisir l’origine de chaque axe
Un point quelconque de la courbe sera
parfaitement défini par son abscisse x
et son ordonnée y dans le plan.
•
•
5
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200
180
Exemple
de courbe
160
Taille (cm)
140
120
100
80
60
40
20
0
c) Intervalle
0
1
2
3 de
4 variation
5
6
7
et domaine de définition
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Age (an)
Limites des valeurs de x entre lesquelles à
toute valeur de x on peut faire correspondre
une valeur de y par la relation Y = f ( x )
Une fonction est toujours définie sur un
domaine donné même si celui-ci est infini.
u Domaine mathématique
u
Domaine physique
Conditions supplémentaires
6
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d) Continuité d’une fonction sur un intervalle
Si x appartient à l’intervalle [ab]
qd x → a y(x) → ya
qd x → b
y(x) → yb
y prend toutes les valeurs intermédiaires entre ya et yb
Graphiquement : tracé sans interruption dans l’intervalle.
e)
Croissance d’une fonction dans l’intervalle de définition
Fonction strictement croissante
y Ê quand x Ê
y Ì quand x Ì
Variation dans le même sens
Fonction strictement décroissante
y Ê quand x Ì
y Ì quand x Ê
Variation en sens inverse
7
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f)
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Maximum et minimum dans l’intervalle de
définition
y Ê passe par le maximum puis y Ì
Y Ì passe par le minimum puis y Ê
g)
Tableau de variation
Renseignements utiles à la construction de la courbe, on se
limitera aux éléments suivants.
Limite inf.
Limite sup.
x
croissance
y
8
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h) Fonction inverse ou réciproque
Fonction bijective f : y = f (x)
Fonction inverse g telle que x = g (y)
équivalente à x = f
-1
(y)
i) Fonction composée ou fonction de fonction
image
x
y = g (x)
z = f {g (x) }
image
y
z = f (y)
9
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3. Etude de la droite
a)
Définition
Y = a x + b
a
b
coefficient angulaire « pente »
> 0, < 0, nul, entier, fractionnaire
ordonnée à l’origine
intersection droite – axe des y
> 0, < 0, nul, entier, fractionnaire
« a et b sont fixes pour une droite donnée ».
b) Tableau de variation
a et b > 0
x
- ∞
- b/a
0
+ ∞
y
- ∞
0
b
+ ∞
10
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Cas particuliers
b > 0
a < 0
b < 0
Passant par l’origine
Première bissectrice
Deuxième bissectrice
Droite horizontale
Droite verticale
Axe des abscisses
Axe des ordonnées
11
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B - LA FONCTION DERIVEE
PLAN
1. Notion de taux de croissance
2. Notion de dérivée
3. Propriétés de la dérivée
4. Dérivées de certaines fonctions
5. Application : le vecteur vitesse
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B – LA FONCTION DERIVEE
1. Notion de taux de croissance
T = Δy/Δx
1. Notion de dérivée
ΔX Æ 0
alors
Δy
dy
→
Δx
dx
valeur définie
valeur dérivée de y / à x = dy/dx = y’(x) = y’
3. Propriétés
Î
Î
Î
Donne la tangente en un point de la courbe.
Permet la définition des grandeurs physiques.
Indique le sens de la croissance
y’ > 0
y croissante
y’ < 0
y décroissante
y’ = 0
y’ Æ ∞
y horizontale
y verticale
13
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4. Dérivées de certaines fonctions de x
a et b sont des constantes, u est une fonction de x
Fonction y (x)
Fonction dérivée y’ (x)
a
0
x
1
ax + b
a
sin x
cos x
cos x
- sin x
ex
ex
eu
u’ eu
sin u (x)
u’ (x) cos u (x)
cos u (x)
-u’ (x) sin u (x)
14
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5. Application à la vitesse
« espace parcouru pendant l’unité de temps »
v
Origine
Direction
Sens
Intensité
« vecteur vitesse »
le mobile
la trajectoire
le sens du mouvement
dx / dt
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C - FONCTION PRIMITIVE
1. Définition
Une primitive Y (x) d’une fonction y (x) est une fonction telle que
sa dérivée Y’ (x) = la fonction y (x).
2. Calcul
En utilisant les dérivées et en se rappelant qu’une primitive
n’est alors connue qu’ à une constante près .
3. Quelques primitives
Fonction y (x)
Fonction primitive Y (x)
0
b
1
x+b
b
ax + b
sin x
- cos (x) + b
cos x
sin (x) + b
16
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D - FONCTION PUISSANCE
1. Définition
a et n
Y = ax
n
> 0, < 0, entiers, fractionnaires
2. Cas particulier : puissance de 10
10 n = 1 suivi de n zéros
Par convention
1
= 10 − n
n
10
3. Calcul sur les puissances
xn . xm = x
(n+m)
xn
= x n−m
m
x
(x n)m = x
nm
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E - FONCTION LOGARITHME
Définition
Intérêt
Types
1. Le logarithme népérien de x :
a) Définition
b) Propriétés
c) Tableau de variation
d) Courbe représentative
e) Calcul
2. Le logarithme décimal de x :
a) Définition
b) Propriétés
c) Application
Ln x
log x
3. Les échelles logarithmiques
a) Définition
b) Intérêts
c) Représentation semi-log
d) Représentation log - log
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E - FONCTION LOGARITHME
1. Définition
Y = a
x
⇔ x = loga y
Y = loga x ⇔ x = a
y
y > 0
x > 0
2. Intérêt
•
Simplification des calculs
•
Fonction fréquente en biologie
3. Logarithmes étudiés
log à base e ou log népérien : Ln x
log à base 10 ou log décimal : log x
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1. Le logarithme népérien de x : Ln x
a)
Définition
La fonction logarithme népérien y = Ln x est la fonction primitive
de 1/x définie pour tout x > 0 et qui s’annule pour x = 1.
⎧ x >0
⎪⎪
1
⎨ (Ln x)' =
x
⎪
⎪⎩ Ln1 = 0
b)
•
Propriétés
définie de
-∞ à+∞
• strictement croissante car (Ln x)’ toujours > 0
0 < x ≤ 1
x> 1
-∞ < y ≤ 0
0 < y < +∞
20
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c)
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Tableau de variation
x
0
+1
+∞
y’ = 1/ x
+∞
−∞
+1
0
0
+∞
y = Ln x
d) Courbe représentative
A tracer
e)
Calcul
a, b strictement > 0 et n quelconque
Ln (ab) = Ln a + Ln b
⎛a⎞
Ln ⎜ ⎟ = Ln a − Ln b
⎝b⎠
Ln (a)n = n Ln a
21
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2. Le logarithme décimal
a)
Définition
y = log a x
x = a
y = log10 x
x = 10
log x =
Ln x
Ln 10
y
y
x > 0
Log x = 2,3 log x
b)
Propriétés
•
•
•
Les mêmes que Ln x
log 10 n = n
Réduit les échelles
1 ≤ x ≤ 10 n
0 <log x ≤ n
c)
Courbes
A tracer
22
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3. Les échelles logarithmiques
a)
«
Définition
graduation proportionnelle au logarithme des nombres »
Les puissances de 10 sont équidistantes, les log10 x différent de 1 unité .
10
(-3)
–3
10 –2 10
(-2)
(-1)
–1
1
0
10 10 2 10 3
(1) (+ 2) (+ 3)
b) Propriétés
•
Pas de zéro sur cette échelle
•
On ne peut pas insérer des nombres négatifs
c) Intérêts
•
Réduire les échelles pour les grandeurs variant beaucoup
•
Transformer les fonctions exponentielles en fonctions linéaires
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d)
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Représentation semi log
Abscisse ou ordonnée avec une échelle logarithmique
e)
Représentation log – log
Abscisse et ordonnée avec des échelles logarithmiques
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F-LA FONCTION EXPONENTIELLE
1. Définition
« fonction r éciproque de la fonction logarithme népéri en »
y = Ln x (x > 0)
x = Ln y (y > 0)
x = ey > 0
y = ex > 0
2. Propriétés
e
°
= 1
e
1
= e
e
lnx
= x
Ln ey = y
(e x )’ = e
e
u(x)
x
= u’ (x) e
u(x)
25
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3. Courbe représentative
A tracer
4. Calcul avec les exponentielles
Les mêmes qu’avec les puissances.
eae
b
e a/ e
= e
b
(a + b)
= e
(e a)n = e
(a-b)
na
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G-LES FONCTIONS
TRIGONOMETRIQUES
1. Le cercle trigonométrique
a)
b)
c)
d)
Définition
Arc de cercle
Abscisse curviligne
Angles
2. Les fonctions circulaires
a)
b)
c)
d)
Définitions
Angles associés
Etude de la fonction sin α
Etude de cos α
27
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G - LES FONCTIONS
TRIGONOMETRIQUES
1. Cercle trigonométrique
a)
Définition
« cercle orienté de rayon égal à l’unité de longueur »
b)
Arc de cercle
AM
c)
Abscisse curviligne S
d)
Les angles α
α en degré
0
90
180
270
360
α en radian
0
π/2
π
3π/2
2π
⎧ α angles (radian) : S = Rα (m)
⎨
⎩ R rayon (m)
1 radian = angle au centre découpant sur le cercle trigonométrique un arc égal au
rayon (1).
28
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2. Les fonctions circulaires
a)
Fonction sinus : y = sin α
α
0
π/2
y’ = cos α
1
0
- 1
y = sin α
0
1
0
π
3 π/2
2π
0
1
- 1
0
Tracer le graphe de la fonction
29
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b)
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Fonction cosinus
α
0
π/2
π
3 π/2
2 π
y’ = - sin α
0
- 1
0
1
0
y = cos α
1
0
- 1
0
1
Tracer le graphe
de la fonction
30
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II - CINEMATIQUE
«
Etude du déplacement d’un corps en fonction du temps »
A-LE MOUVEMENT RECTILIGNE
Trajectoire
droite
Vitesse
v= dx/dt
Accélération
γ = dv/dt
Mouvement rectiligne uniforme
si x
0
= 0
v = cte
x = vt
31
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B-MOUVEMENT CIRCULAIRE
UNIFORME
Trajectoire
cercle
Vitesse rectiligne
v =
Abscisse curviligne
(m/s)
S = v t si So = 0
Angle α
Vitesse angulaire
Fréquence
Période
dS
dt
α =
S
R
(rd)
ω =
V
R
(rd/s)
f =
T =
2Π
ω
ω
2Π
=
1
f
(m)
(Hz)
(s)
32
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C-LE MOUVEMENT SINUSOIDAL
1) Définition
x = a sin (ω t + ϕ )
2) x = a sin ω t
a
0
π/2
π
3 π/2
2 π
t
0
T / 4
T / 2
3 T / 4
T
x
0
a
0
- a
0
T période du mouvement circulaire uniforme
3) Courbe
A tracer
33
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3) La vitesse linéaire
v = a ω sin (ω t + π/2)
t
0
T/4
T2
3 T / 4
T
ω t
0
π / 2
π
3 π / 2
2 π
Cos ω t
1
0
- 1
0
1
v
a ω
0
- a ω
0
a ω
34
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4) Cas où
x a sin ϕ )
t
0
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x = a sin (ω t + ϕ)
a sin( φ +
Π
)
2
3Π
)
2
a sin (ϕ + π)
a sin(φ +
T / 2
3 T / 4
T / 4
a sin (ϕ+2 π)
T
Cour be à trac er
35
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5) Déphasage entre 2 vibrations sinusoïdales de même période
Décalage horaire θ : temps que met un mobile à partir de t = 0 pour se
trouver dans la position du mobile en avance lorsqu’il était à t = 0
ϕ −ϕ
θ = t −t = 1 2
1 2
ω
a) Opposition de phase
ω1 - ω2 = π
ϑ = T/2
Sin ω1 = - sin ω2
36
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b) Vibrations en quadrature
θ =T/4
ϕ 1 – ϕ 2 = Π/2
sin ϕ 1 = sin (ϕ 2 + Π/2)
A tracer
c) Vibrations en phase
ϕ1 – ϕ2 = 2 Π
θ = T
A tracer
37
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D-LE M OUVEM ENT PERIODIQUE
QUELCONQUE
1) Définition
Au bout du temps T le mobile M se retrouve pour la première fois au même
endroit qu’au départ.
x (t) = x (t + T) = x (t + 2T) = … = x (t + kT)
2) Théorème de Fourier
x = a 1 sin (2 Π ft + ϕ 1 ) + a 2 sin (4 Π ft + ϕ 2 ) + …
3) Harmoniques
Harmonique
Harmonique
Harmonique
Harmonique
1 ou fondamentale : fréquence f
2
: fréquence 2 f
3
: fréquence 3 f
4
: fréquence 4 f
38
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