Séance de travaux dirigés n°2 (22/11/05) Exercice n° 1 : Atmosphère Un avion volant à l’altitude de 5000m et à la vitesse conventionnelle de 400kts entame une montée à iso Vc. 1 - Calculer le Mach de vol à l’altitude de départ. 2 - Établir la relation liant la pression statique à la vitesse conventionnelle. 3 - Calculer l’altitude à laquelle le vol devient supersonique. Exercice n° 2 : Virage Un avion exécute un virage à 280kt de vitesse indiquée à l’altitude-pression de 35000 ft avec une inclinaison de 25°. La température extérieure est de –35°C. 1 – Quel est son rayon de virage en Nm? (1Nm = 1852m; 1kt = 1Nm/heure). Exercice n° 3 : Montée et DMF Les caractéristiques d’un avion à hélice sont les suivantes : Masse = 500 kg Surface de référence = 10m2 Cx = 0.02 + Cz2/20 Czmax = 1.6 Moteur de 500hp (1hp = 745.7W) 1 – Calculer le Cz pour que Vc = 200kt au niveau de la mer. 2 – Calculer la puissance nécessaire au vol en palier. 3 – Calculer la pente de montée maximum dans ces conditions 4 – Calculer le plus petit rayon de virage stabilisé possible et la vitesse-air. 5 – Calculer la vitesse maximum à l’altitude où la masse volumique de l’air est de 1.15kg/m3. 6 – L’avion vole à l’altitude 0. Calculer la consommation spécifique du moteur sachant qu’il peut parcourir 500km avec 100kg d’essence en volant dans les conditions de distance franchissable maximum. 7 – Dans les conditions de la question précédente, calculer les vitesses-air en début et en fin de croisière. Exercice n° 4 : Décollage On considère un avion de 145 tonnes, de surface alaire de 270 m2, propulsé par 4 réacteurs de 75000N de poussée au décollage. Cet avion décolle sur une piste horizontale par vent nul et au niveau de la mer dans une atmosphère standard. Son incidence reste constante et faible pendant le roulement, et telle que Cx = 0.07 et Cz = 0.61. Le coefficient de roulement est de 0.03. 1 – Quelle sera l’accélération au lâcher des freins? 2 – Quelle sera l’accélération à la vitesse de rotation VR (VR correspondant à une vitesse telle que l’avion de sustente avec un Cz de 1,55). 3 – Calculer la longueur et le temps de roulement dans les conditions précédentes en prenant pour accélération la moyenne arithmétique des deux valeurs trouvées ci-dessus. 4 – Calculer la longueur et le temps de roulement si l’avion décolle avec 10 m/s de vent debout. Exercice n° 5 : Étude sommaire d’un quadriplace léger à turboréacteur (Exo de l’examen de février 04) Dans tout le problème, on se placera aux conditions atmosphériques standard, les vitesses seront exprimées en m/s et en km/h. 1. Après avoir écrit l’équilibre du vol rectiligne, calculer la vitesse minimale de vol Vs à la masse maximale, à l’altitude nulle. La polaire équilibrée de l’appareil est supposée parabolique de la forme Cxaeq = Cxa0 + k(Czaeq)2. On cherche à déterminer les coefficients Cxa0 et. k. L’incidence de finesse maximale est de 7.67°. 2. Établir, à partir de la somme des résultantes aérodynamiques de chaque surface, respectivement aile et empennage, la valeur du Cz équilibré correspondant au vol à finesse maximale. Les calages (position angulaire de chaque surface par rapport à l’axe longitudinal TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 1 sur 11 de l’appareil, servant de référence au repère avion) des surfaces portantes étant de 1° pour l’aile et de 0° pour l’empennage. 3. Démontrer la relation permettant de relier Cxa0 au Cx de finesse maximale puis calculer la valeur de Cxa0 à partir de la finesse maximale de l’appareil et de la valeur du Cz de finesse maximale établie précédemment. 4. Calculer le coefficient k de la polaire parabolique. Dans la suite du problème on supposera que Cxaeq = 0.035 + 0.04(Czaeq)2 Calcul du plafond de propulsion à la masse maximale 5. Quelles sont les conditions de vol au plafond de propulsion? Pourquoi? 6. A partir de l’équation de propulsion en ce point, calculer le plafond de propulsion (en m et en ft) 7. A partir de l’équation de propulsion, calculer la vitesse maximale de vol de l’appareil à la masse maximale et à l’altitude nulle. Le profil de mission de l’appareil se compose de trois phases : une montée au niveau de vol correspondant à l’altitude de 1000m, une croisière en tenant compte d’une réserve en carburant correspondant à un vol de 45mn puis en une descente dans le circuit d’approche. Dans la suite de cette partie on négligera la consommation de carburant pendant la montée et la descente. 8. Quel régime de vol le pilote adopterait-il s’il devait consommer les 45 minutes de réserve de carburant dans une phase d’attente? Calcul de l’endurance à incidence constante et altitude constante. 9. A partir de l’expression de la consommation instantanée (c=-dm/dt), établissez l’expression de l’endurance en fonction de ρ, g, f, Cs, ma (masse inconnue de début de l’attente), mf (masse de fin d’attente, assimilée à la masse réservoir vide). Dans quelle condition cette endurance est-elle maximale (consommation minimale pour un temps de vol donné)? 10. Calculez, dans ces conditions la masse de début d’attente ma pour un vol à l’altitude de 1000m. Calcul de la distance maximale franchissable D à incidence constante et altitude de 1000m. 11. A partir de l’expression de la consommation instantanée (c=-dm/dt), établissez l’expression de la distance maximale franchissable en fonction de ρ, S, g, Cxa, Cza, Cs, mi (masse de début de croisière, assimilée à la masse maximale au décollage) et ma (masse de fin de croisière assimilée à la masse de début de l’attente). 12. Dans quelle condition cette distance est-elle maximale? 13. Calculer sa valeur. Données • Envergure de l’aile : 10m • Surface de l’aile (de référence) : 10m2 • Surface de l’empennage : 2m2 • Pente du coefficient de portance de la voilure rapportée à sa surface : 0.0917/degré d’incidence • Pente du coefficient de portance de l’empennage, rapportée à sa surface de : 0.088/degré d’incidence • Finesse maximale de l’appareil : 13.40 • Czmax : 1.5 en configuration lisse • Masse maximale au décollage : 1200kg incluant 4 passagers de 75kg, 50kg de bagages et 250kg de carburant. • Moteur : o Poussée au sol F0 = 2000 N o o Consommation spécifique supposée constante Cs = 0.6kg/daN/h Évolution de la poussée en fonction de l’altitude F / F0 = ( ρ / ρ 0 ) TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau 0.85 Page 2 sur 11 Corrigé Exercice n° 1 Il aurait été plus futé d’inverser les deux premières questions. Relation liant la pression statique à la vitesse conventionnelle. Voir le poly pour la démonstration 3.5 2 ⎡ ⎛ Vc ⎞ ⎤ + 1 0 . 2 ⎟ ⎥ −1 ⎜ ⎢ ⎝ 661.471 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ Ps = 101325 3.5 1 + 0.2 M 2 − 1 ( ) Mach de vol à l’altitude de départ. Application directe de la formule précédente. 2 ⎡ ⎛ 400 ⎞ ⎤ dp = 101325⎢1 + 0.2⎜ ⎟ ⎥ ⎝ 661.471 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎛ dp + Ps ⎞ M = 2 5⎜⎜ 3.5 − 1⎟⎟ = 2 Ps ⎝ ⎠ 3.5 − 101325 = 28395 Pa ⎛ 28395 + 54020 ⎞ − 1⎟⎟ = 0.8 5⎜⎜ 3.5 54020 ⎝ ⎠ Altitude à laquelle le vol devient supersonique Toujours la même formule 2 ⎡ ⎛ 400 ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎢1 + 0.2⎜ ⎝ 661.471 ⎠ ⎦⎥ ⎢ ⎣ Ps = 101325 (1 + 0.2)3.5 − 1 3.5 −1 = 28395 = 31800 Pa 0.8929 D’après la table d’atmosphère, l’altitude recherchée est voisine de 8775m Exercice n° 2 Rayon de virage en Nm. A l’altitude de vol et en conditions standard, Ps = 23842 Pa et Ts = 218.08 K 2 3.5 ⎡⎡ ⎤ ⎤ Vc ⎛ ⎞ ⎢ D’après la loi de Saint Venant, dP = 101325 ⎢1 + 0.2⎜ ⎟ ⎥ − 1⎥ = 13288.5Pa ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎝ 661.471 ⎠ ⎦⎥ ⎣ ⎦ ⎡⎛ dP ⎞ 13.5 ⎤ − 1 en subsonique, il vient M = 5⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ = 0.821 . Ps ⎠ ⎢⎣⎝ ⎥⎦ La température réelle est de Tréelle = 273.15 − 35 = 238.15 K ( dP Puisque = 1 + 0.2 M 2 Ps ) 3.5 La vitesse-air est donc de V = M γRTréelle = 254m / s L’inclinaison étant de 25°, le facteur de charge est n = 1 = 1.103 . cos ϕ En appliquant le théorème de Pythagore aux forces de masse, on montre que R = V2 g n2 − 1 . Il s’ensuit que R = 14103m = 7.62 Nm Exercice n° 3 Les caractéristiques d’un avion à hélice sont les suivantes : Masse = 500 kg Surface de référence = 10m2 Cx = 0.02 + Cz2/20 TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 3 sur 11 Czmax = 1.6 Moteur de 500hp (1hp = 745.7W) Cz pour que Vc = 200kt au niveau de la mer Au sol et en l’absence de vent, la vitesse-air est égale à la Vc, alors V = 200kt = 103m / s Cx = 0.0203 2mg 1 ρSV 2Cz ⇒ Cz = = 0.0755 et 2 f = 3.72 ρSV 2 D’après l’équilibre des forces : mg = Puissance nécessaire au vol en palier D’après l’équilibre des forces : Wn = 1 ρSV 3Cx ⇒ Wn = 135198W 2 Pente de montée maximum D’après le cours, tan γ max = tan γ max = 0.469 500 * 745.7 Fu 1 − , comme Fu = = 3620 N ,⇒ γ max = 25° mg f 103 Plus petit rayon de virage stabilisé possible et vitesse-air 2 Pu ρSC z 2 ( ρS )3 C z V = 1 , V3 = , n= En virage, R = ρSC x 2mg g n2 − 1 2 3 mg 1 V2 2 ⎛ Pu ⎞ 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Cx ⎠ 2 Il s’ensuit que R = ⎛ 2 Pu ⎞ 3 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ρSC x ⎠ ⎛ ρS ⎞ g ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 3 ⎛ Cz ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ mg ⎠ 2 La minimisation de R par rapport au 4 3 1 = 2 3 2 3 2 4 ⎛ ρS ⎞ ⎛ ρS ⎞ ⎛ C z ⎞ ⎛⎜ C x ⎞⎟ 3 ⎟⎟ − g⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ mg ⎠ ⎜⎝ Pu ⎟⎠ ⎛ ∂R ⎞ = 0 ⎟ est atteint lorsque la Cz, montre que le minimum ⎜ ⎝ ∂Cz ⎠ ⎛ Pu ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1 ⎝ Cx ⎠ dérivée, par rapport au Cz, de la partie sous le radical est nulle. 3 2 ⎡ ⎤ 3 P 3 S ∂R ρ ⎞ ⎛ u ⎢ = 0 ⇒ C x = Pu ⎟ ⎥ >>> (C x )C z max ⎜ ⎢ 4k (mg )2 ⎝ 2 ⎠ ⎥ ∂Cz ⎣ ⎦ La contrainte réelle sur le rayon mini sera donc la portance maximale, Cz max = 1.6 et Cx = 0.148 Le rayon minimal est donc R = 53m et la vitesse-air est V = 74.88m / s TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 4 sur 11 Remarques : 1) Le facteur de charge max est atteint avant le Czmax ∂n 3C x 0 = 0 ⇒ Cz = ≈ 1.1 < 1.6 ∂C z k ∂n = 0 ⇒ n ≈ 11.4 ∂C z 2) En tenant compte de la résistance du pilote : nmax = 6 ⇒ C z = 0.25 R = 331m, V = 138m / s Vitesse maximum à l’altitude où la masse volumique de l’air est de 1.15kg/m3 Il faut commencer par calculer les conditions de portance et de traînée avant de calculer la vitesse. TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 5 sur 11 D’après l’équilibre des forces : Pn = 1 1 ρSV 3C x et mg = ρSV 2C z ⇒ V = 2 2 Il faut donc trouver la valeur minimale de C z qui vérifie l’équation 2mg P C = u z . ρSC z mg C x Cx P = u C z C z mg ρS 2mg Un calcul par itération montre que C z = 0.039 et C x ≅ 0.02 ⇒ V = 147.17 m / s . Consommation spécifique du moteur en condition de DMF Pour cet avion la DMF est obtenue à la finesse max. (il faut savoir le démontrer).. C x = 2C x 0 = 0.04 Cx0 = 0.632 k f = 15.8 Puisque la polaire est parabolique de la forme C x = C x 0 + kC z , alors C z = 2 Puisque Pn mg P dm = que = −c = − n et que c = Cs P , V f ηg L dt il s’ensuit que D = f fPn ⎛ m1 ⎞ ⎛ m1 ⎞ −7 ln⎜ ln⎜ ⎟ et que Cs = ⎟ = 7.187 10 kg / s / w = 1.929kg / h / hp gc ⎝ m2 ⎠ gD ⎝ m2 ⎠ Attention le calcul ci-dessous n’est volontairement pas détaillé. Un petit effort pour calculer les masse en début et en fin de croisière. Vitesse en début de croisière V= 2mg = 35.6m / s ρSC z V= 2mg = 31.8m / s ρSC z Vitesse en fin de croisière Exercice n° 4 La projection des forces en présence suivant l’axe de la traînée est la suivante dVk F ρS (Vk − Vw ) (Cx − rCz ) − rmg = (cos α + r sin α ) − dt m m 2 dans laquelle : Vk est la vitesse par rapport au sol Vw est la vitesse du vent par rapport au sol Accélération au lâcher des freins Au lâcher des freins la vitesse est nulle. Alors dV F = − rmg = 1.77ms −2 dt m Accélération à la vitesse de rotation VR. Il faut d’abord calculer la vitesse de rotation en supposant l’équilibre. V = TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau 2mg = 74.5ms −1 ρSCz Page 6 sur 11 Juste avant la rotation, l’incidence étant supposée négligeable, l’application de la formule précédente donne dV = 1.45ms − 2 dt Longueur et le temps de roulement à vent nul ⎛ dV ⎞ = 1.611ms − 2 . ⎟ ⎜ ⎝ dt ⎠ moyen −1 ⎛ dV ⎞ T =V⎜ ⎟ = 46.24s ⎝ dT ⎠ 1 ⎛ dV ⎞ 2 La distance parcourue est de D = ⎜ ⎟T = 1722.5m 2 ⎝ dT ⎠ Le temps du roulement est de. Accélération au lâcher des freins avec 10 m/s de vent debout Au lâcher des freins la vitesse-sol est nulle mais il y a du vent. Alors : dVk F ρS (Vw ) (Cx − rCz ) − rmg = 1.769ms −2 = − dt m m 2 Accélération à la vitesse de rotation VR. avec 10 m/s de vent debout Il faut d’abord calculer la vitesse de rotation en supposant l’équilibre. ⇒ Vk = 64.5ms V = 74.5ms −1 −1 Juste avant la rotation, l’incidence étant supposée négligeable, l’application de la formule précédente donne dVk = 1.447ms −2 dt Longueur et le temps de roulement avec 10 m/s de vent debout ⎛ dV ⎞ = 1.608ms − 2 ⎜ ⎟ ⎝ dt ⎠ moyen −1 ⎛ dV ⎞ ⎟ = 40.11s ⎝ dT ⎠ 1 ⎛ dV ⎞ 2 La distance parcourue est de D = ⎜ ⎟T = 1293.5m 2 ⎝ dT ⎠ Le temps du roulement est de. T = V ⎜ Exercice n° 5 Vitesse minimale de vol Vs à la masse maximale, à l’altitude nulle. 1 ρ SV 2Cza 2 2mg VS = ρ SCzamax mg = VS = 2 ⋅1200 ⋅ 9,81 = 35,8 m / s = 128,9 km / h 1, 225 ⋅10 ⋅1,5 Valeur du Cz équilibré correspondant au vol à finesse maximale TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 7 sur 11 S ⋅ Czaeq = Saile ⋅ Czaα aile (α − α 0 aile ) + Seh ⋅ Czaα eh (α eh − α 0eh ) Czaeq = Czaα aile (α + 1) + Seh ⋅ Czaα eh (α + δ m ) S 1 Czaeq = 0, 0917 ⋅ 8, 67 + ⋅ 0, 088 ( 7, 67 + δ m ) 5 Czaeq = 0,93 + 0, 0176 ⋅ δ m 0,93 Relation permettant de relier Cxa0 au Cx de finesse maximale Cza Cza = Cxa Cxa0 + k ⋅ Cza 2 f = Cxa0 + k ⋅ Cza 2 − 2 ⋅ k ⋅ Cza 2 Cxa0 − k ⋅ Cza 2 df = = 2 2 dCza ( Cxa0 + k ⋅ Cza 2 ) ( Cxa0 + k ⋅ Cza 2 ) f max ⇒ Cza = Cxa0 k Cxa = 2 ⋅ Cxa0 0,93 = 0, 0694 13, 40 Cxa0 = 0, 0347 Cxa = Coefficient k de la polaire parabolique. k= Cxa − Cxa0 Cxa0 = = 0, 04 Cza 2 Cza 2 Conditions de vol au plafond de propulsion mg = 1 ρ SV 2Cza 2 1 ρ SV 2Cxa 2 F= Donc f = mg F Au plafond de propulsion on est au minimum de la poussée nécessaire donc on vole à la finesse max. Plafond de propulsion TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 8 sur 11 Fmax = ρ SV 2Cxa0 Fmax / F0 = ( ρ / ρ 0 ) F0 ( ρ / ρ 0 ) 0.85 0.85 = ρ SV 2Cxa0 Cxa0 1 1 ρ SV 2Cza = ρ SV 2 k 2 2 2mg ρ SV 2 = Cxa0 k mg = F0 ( ρ / ρ 0 ) ( ρ / ρ0 ) 0.85 0.85 = = 2mg k ⋅ Cxa0 2mg k ⋅ Cxa0 = 0, 44 F0 ρ / ρ0 = 0,38 ρ = 0, 4665 Z = 8996 m = 29500 ft Vitesse maximale de vol de l’appareil à la masse maximale et à l’altitude nulle. mg = 1 ρ SV 2Cza 2 1 1 ρ SV 2Cxa = ρ SV 2 ( Cxa0 + kCza 2 ) 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ( mg ) ⎟ = ⎜ 1 ρ SV 2Cxa + k ( mg ) ⎟⎟ 1 F = ρ SV 2 ⎜ Cxa0 + k 0 2 ⎜ ⎟ ⎜2 2 ⎛1 2⎞⎟ ⎛1 2⎞ ρ SV ⎜ ρ SV ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠⎠ ⎝2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ F= 2 1 2 ⎛1 2⎞ 2 ⎜ ρ SV ⎟ Cxa0 − ρ SV F + k ( mg ) = 0 2 ⎝2 ⎠ F + F 2 − 4Cxa0 k ( mg ) 1 2 ρ SV = = 54222 2 2Cxa0 2 V = 94 m / s = 339 km / h Régime de vol 45 minutes de réserve de carburant dans une phase d’attente Il adopterait le vol d’autonomie maximum, donc à la consommation horaire minimale. Expression de l’endurance TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 9 sur 11 f = ma g F mg dm Cs = − f dt f dm dt = − gCs m Ch = FCs = t= ⎛m f Log ⎜ a ⎜ mf gCs ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ L’autonomie sera maximale, donc Ch mini à la finesse max Masse de début d’attente ma pour un vol à l’altitude de 1000m. t= ⎛m f max Log ⎜ a ⎜ mf gCs ⎝ ma = m f ⋅ e ⎞ ⎟⎟ ⎠ t ⋅ g ⋅Cs f max 45 ma = 950 ⋅ e 60 ⋅9,81⋅0,06 13,4 ma = 982 kg Expression de la distance maximale franchissable en fonction de ρ, S, g, Cxa, Cza, Cs, mi 1 ⎛ 2mg ⎞ 2 Ch F ⋅ Cs 1 1 dm = = ρ SV ⋅ Cxa ⋅ Cs = ρ S ⎜ Ck = ⎟ ⋅ Cxa ⋅ Cs = − V V 2 2 dl ⎝ ρ S ⋅ Cza ⎠ dl = − l= 2 dm Cxa ⋅ Cs m gρS ⋅ Cza 2 2 Cxa ⋅ Cs gρS ⋅ Cza ( mi − ma ) Dans quelle condition cette distance est-elle maximale? Elle est maximale pour A= Cxa min imal Cza Soit TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 10 sur 11 A= A& = Cxa0 + k ⋅ Cza 2 Cza 2k ⋅ Cza ⋅ Cza − ( Cxa0 + k ⋅ Cza 2 ) Cza Cza = l= 1 1 2 Cza =0 Cxa0 3k 2 2 Cxa ⋅ Cs gρS ⋅ Cza ( mi − ma ) Calculer sa valeur. Cza = 0,54 Cxa = 0, 0467 l = 846 km La vitesse de vol en début de croisière sera Vi = 62, 6 m / s = 225,5 km / h En fin de croisière Vi = 56, 7 m / s = 204 km / h TD_2_Corrigé.doc Créé le 2005-12-04 6:47 Dernier enregistrement par Philippe Guicheteau Page 11 sur 11