Idée de corrigé

Analyse
1- Fonction de répartition de X .
Pour étudier la fonction de répartition de la variable aléatoire X , nous complétons le tableau de
valeurs :
x
] − ∞, 0[
0
]0, 1[
0,63
P (X = x)
1
]1, 2[
0,24
2
]2, 3[
0,09
3
4
]3, 4[
0,03
]4, +∞[
0,01
P (X < x)
0,00
0,00
0,63
0,63
0,87
0,87
0,96
0,96
0,99
0,99
1,00
P (X ≤ x)
0,00
0,63
0,63
0,87
0,87
0,96
0,96
0,99
0,99
1,00
1,00
Deux dénitions sont usuelles pour la fonction de répartition de X :
ˆ F (x) = P (X < x) se rapproche de l'écriture utilisée en théorie du signal.
Cette dénition permet d'écrire une distribution discrète comme une distribution dont la densité
serait x 7−→ f (x) =
n
X
ni δxi (x).
i=1
ˆ F (x) = P (X ≤ x) est peut-être plus intuitive.
Nous retenons, ici, la première dénition pour la représentation graphique.
y
y = F (x)
1
0,5
x
O
1
2
3
4
Bien que ce ne soit pas demandé dans l'énoncé, nous remarquons que la distribution proposée se
rapproche ( aux moindres carrés ) d'une distribution de Poisson de moyenne λ = 0, 44.
y
0,6
0,5
y=
0,4
λx
e−λ
Γ(x + 1)
0,3
0,2
0,1
x
O
1
2
3
4
5
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2- Evaluation sommative en classe de baccalauréat professionnel.
D'une part, les lois normales sont incontournables dans l'évalution des processus industriels,
d'autre part, l'interprétation de la variance est plus aisée pour une loi normale que pour un
processus poissonien.
Nous compléterons donc le sujet proposé par l'étude de l'approximation normale du nombre de
pannes de cinquante et une machines identiques.
2-a. Textes des exercices :
Exercice I.
On considère la variable aléatoire discrète X qui, à un mois pris au hasard, associe le nombre de
pannes survenant à une machine d'un atelier au cours de ce mois.
La loi de probabilité de cette variable aléatoire est donnée par le tableau :
xi
0
1
2
3
4
P (X = xi )
0,63
0,24
0,09
0,03
0,01
Utiliser les données fournies pour répondre aux questions suivantes :
I-1.
I-2.
I-3.
I-4.
Quelle est la probabilité que la machine tombe en panne au cours du mois de référence ?
Quelle est la probabilité d'avoir plus d'une panne ( deux ou plus ) au cours du même mois ?
Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X .
Une usine utilise une centaine de machine identiques. Le coût ( au forfait ) d'une panne est
estimé à 69 ¿. A combien peut-on estimer le coût mensuel des pannes ?
I-5. Calculer la variance et l'écart-type de la variable aléatoire X .
Exercice II.
Une entreprise utilise un parc de 51 machines identiques au modèle étudié dans l'exercice I.
On établit que, dans un mois, la probabilité de n pannes suit une loi normale N (m, σ) d'espérance
mathématique m = 28 et d'écart-type σ = 6.
La densité de la loi N (m, σ) est représentée sur le diagramme :
y
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
x
O
10
20
30
40
50
60
70
80
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II-1. Placer sur le diagramme les valeurs m, m − σ , m + σ , m − 2 σ , m + 2 σ m − 3 σ et m + 3 σ .
Utiliser le diagramme pour répondre aux questions suivantes :
II-2. Quelle est la probabilité d'avoir au plus 34 pannes dans le mois considéré ?
II-3. Quelle est la probabilité d'avoir plus de 40 pannes dans le mois considéré ?
II-4. Esquisser la représentation de la fonction de répartition de la loi N (m, σ).
On rappelle que, pour une loi normale d'espérance m et d'écart-type σ , on vérie les trois
relations :
P (m − σ ≤ x ≤ m + σ) ' 0, 68
P (m − 2 σ ≤ x ≤ m + 2 σ) ' 0, 95
P (m − 3 σ ≤ x ≤ m + 3 σ) ' 0, 99
2-b. Correction des exercices.
Exercice I.
Les deux premières questions visent à évaluer l'aptitude à comprendre le problème.
On devrait, néanmoins, favoriser les réponses correctes les plus directes.
Une possibilité acceptable, mais risquée, reste l'interprétation du diagramme de la fonction de
répartition vue dans la première partie.
Soulignons le fait que, de facto, toutes les méthodes de calcul reprennent les pratiques et les
techniques du calcul statistique vues en classe de BEP.
L'univers étant un ensemble ni, le calcul de l'espérance mathématique et de la variance est
absolument analogue au calcul de la moyenne et de la variance déjà vus dans cette classe.
L'usage de moyens électroniques pour eectuer les calculs a, lui aussi, été largement développé
en classe de BEP.
I-1. L'évènement la machine tombe en panne est le complément de l'évènement le nombre
de pannes est 0 .
La probabilité de l'évènement la machine tombe en panne est le complément à 1 de la
probabilité de l'évènement le nombre de pannes est 0 .
La probabilité que la machine tombe en panne pendant le mois de référence est ici :
1 − 0, 63 = 0, 37
Il est évident que l'on admet comme bon tout calcul énumérant de façon exhaustive toutes
les possibilités de panne.
On devrait ajouter une petite prime à l'élève qui remarque que l'énoncé est désespérément
optimiste en s'arrêtant à quatre pannes et non à quatre pannes ou plus .
I-2. Les évènements deux pannes , trois pannes et quatre pannes sont disjoints. La
probabilité de l'évènement deux pannes ou plus est donc la somme de leurs probabilités
respectives, soit une probabilité de :
0, 09 + 0, 03 + 0, 01 = 0, 13
On admet aussi le passage par les complémentaires.
Par contre on devrait pénaliser les élèves qui ne justient pas, par un moyen ou un autre, la
clause de disjonction des évènements.
En désespoir de cause, une représentation sous forme d'une arborescence peut être acceptée.
Cette représentation sera d'ailleurs utilisée comme remède dans le cas d'une incompréhension
totale du sujet.
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Les questions suivantes, plus techniques testent, l'aptitude à manier les formules.
Deux points de vue sont envisageables :
Les calculs sont faits à la main, en tableau, et la calculette n'est qu'accessoire.
Les fonctions statistiques de la calculette sont utilisées de façon intensive.
I-3. Avec une calculette ( TI - 40 Collège ) on utilise les fonctions statistiques comme suit :
0 2nd FRQ
63 2nd Σ+
1 2nd FRQ
24 2nd Σ+
2 2nd FRQ
9 2nd Σ+
3 2nd FRQ
3 2nd Σ+
4 2nd FRQ
1 2nd Σ+
Il sut ensuite de lire la valeur de l'espérance E(X) avec la combinaison des touches 2nd
et x , ce qui donne
E(X) = 0, 55
Un élève astucieux remarquera certainement que la calculette présentée n'accepte que deux
chires pour des fréquences entières, en fait des eectifs, et que, pour le calcul, on travaille
en pourcentage, i.e. en multipliant toutes les probabilités par cent.
Cette remarque évite de taper huit fois le chire 0 et cinq fois le point décimal !
Pour ceux qui choisissent le calcul manuel, une méthode simple consiste à rajouter au tableau
de valeurs une ligne réservée aux produits probabilité par valeur avant de faire la somme
de tous les éléments de cette ligne. Voir le cours de statistiques de la classe de BEP.
Cette dernière méthode est aussi celle que l'on utilise avec un tableur quand on veut faire
comprendre le fond des choses.
I-4. Pour un grand nombre d'évènements on admet que la moyenne constatée est égale à l'espérance
mathématique d'un évènement.
Sur 100 machines, le nombre moyen de pannes est ainsi 100 × E(X), soit 55 pannes par mois.
Ce qui revient, au forfait, à :
55 × 69 = 3795 ¿.
Cette application de la loi faible des grands nombres ne doit pas poser de problème à des élèves
qui ont tendance à considérer la notion de probabilité comme une vérité statistique prévisible,
voire certaine.
Il peut être bon d'insister sur le fait que les pannes de diérentes machines étant des évènements
indépendants, la loi faible des grands nombres ( plus de trente ) peut s'appliquer.
I-5. Nous reprenons la calculette que nous n'avons pas éteinte depuis la question I-3, pour lire la
valeur de l'écart-type avec la combinaison des touches 2nd et σ , ce qui donne :
σ(X) = 0, 85
Le calcul de la variance s'en déduit immédiatement avec une pression sur la touche x2 :
V(X) = σ 2 (X) = 0, 73
Les données de départ sont fournies avec deux décimales, on sera donc très critique envers les
élèves qui fournissent des résultats avec cinq ou dix chires après la virgule.
On insistera sur le fait que variance ou écart-type donnent des indications sur l'allure de la
distribution mais ne requièrent pas une précision énorme.
En ce qui concerne le calcul manuel ou l'emploi d'un tableur, à partir de la dénition ou en
employant le théorème de Koenig, nous renvoyons nos lecteurs au cours de statistiques de la
classe de BEP.
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Exercice II.
Les lois normales sont utilisées dans tous les problèmes d'évaluation d'une chaîne de production.
Leur connaissance est indispensable au technicien.
Pour conserver la thématique du nombre de pannes, nous utilisons le théorème de la limite centrale
pour dénir la loi normale proposée.
On n'insiste pas sur le fait que la loi normale est une loi continue alors que le phénomène étudié
est discret.
II-1. Placer sur le diagramme les valeurs m, m − σ , m + σ , m − 2 σ , m + 2 σ m − 3 σ et m + 3 σ .
La question est ambigüe, exprès.
On attend que l'élève se pose la question de la nature de m et de σ avant d'en déduire que
ces valeurs sont homogènes à des nombres de pannes et représentent des abscisses, i.e. des
parallèles à l'axe des ordonnées.
y
0,07
m − 3σ
m+σ
m + 3σ
m−σ
m
m + 2σ
m − 2σ
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
x
O
10
20
30
40
50
60
70
80
Toute la suite de l'exercice repose sur l'analyse du diagramme et le fait qu'une distribution
normale est symétrique. On ne cherche pas une précision extrême, mais une localisation du
problème.
II-2. Sur le diagramme on constate que la valeur 34 est égale à m + σ .
La probabilité d'avoir au plus 34 pannes est égale à :
P (x ≤ m + σ) = P (x < m − σ) + P (m − σ ≤ x ≤ m + σ)
Par raison de symétrie :
1
(1 − P (m − σ ≤ x ≤ m + σ)
2
1
'
(1 − 0.68)
2
P (x < m − σ) =
Nous en déduisons que la probabilité d'avoir au plus 34 pannes est voisine de 0,84.
La diculté vient de la localisation des classes ] − ∞, m − σ[, [m − σ, m + σ] et ]m + σ, +∞[.
On suggère de hachurer ou de colorier légèrement les diérents demi plans ou bandes de plan
qui correspondent à ces classes.
Ceci fait il reste à souligner que la probabilité d'une classe est gurée par l'aire de la surface
limitée par l'axe des abscisses et la gaussienne.
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II-3. Sur le diagramme on constate que la valeur 40 est égale à m + 2 σ .
La probabilité d'avoir plus de 40 pannes est égale à P (m + 2 σ < x), soit, par raison de
symétrie :
1
P (m + 2 σ < x) = (P (x < m − 2 σ) + P (m + 2 σ < x)) ' 0, 025
2
II-4. Représentation de la fonction de répartition de la loi N (m, σ).
En reprenant les calculs précédents, nous complétons le tableau :
x
F (x) = P (X ≤ x)
m − 3σ
m − 2σ
m−σ
m
m+σ
m + 2σ
m + 3σ
10
16
22
28
34
40
46
0,005
0,025
0,16
0,50
0,84
0,975
0,995
Il est alors facile de tracer la courbe y = F (x).
y
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
x
O
10
20
30
40
50
60
70
80
Même si on ne demande qu'une esquisse, quelques principes doivent être mis en évidence :
Une fonction de répartition est positive et monotone croissante.
On sanctionnera toute velléité de passage en dessous de l'axe des abscisses.
Une fonction de répartition est monotone croissante et asymptote à la droite y = 1.
On sanctionnera toute velléité de passage au dessus de cette dernière.
Pour conclure.
Nous proposons une évaluation homogène sur le thème du nombre des pannes d'une machine, il
y a beaucoup d'autres façons d'aborder les probabilités en classe de baccalauréat professionnel.
Il semble qu'un lon beaucoup plus riche reste l'exploitation des contrôles de qualité en n de
chaîne et la gestion des intervalles de tolérance.
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