1) Définir le système étudié et les forces extérieures appliquées.
Système : bille ; forces extérieures : 𝑚𝑔 et 𝑇 la tension du fil.
2) Faire un schéma avec les forces, l’axe de rotation et le sens positif de rotation choisi.
3) Que vaut le moment d’inertie du système par rapport à l’axe de rotation ?
𝐼!=𝐼+𝑚𝑅+!!.
4) Donner l’expression de l’énergie cinétique du système.
𝐸𝑐 =!
!
𝐼!𝜔!.
5) Montrer que l’énergie potentielle du système vaut 𝐸𝑝 =−𝑚!+𝑅𝑔cos𝜃+𝑐𝑡𝑒, où 𝑔 est
l’accélération de la pesanteur.
6) En déduire la vitesse angulaire du pendule quand il passe par sa position d’équilibre.
La conservation de l’énergie mécanique donne 𝜔=±!!!!!!(!!cos!!)
!!
.
7) Quelle est la vitesse du centre de masse de la bille au même moment ? Donner sa direction,
son sens et sa norme.
𝑣=𝑅+!𝜔𝑢!.
B) Etude du choc.
On va maintenant étudier le choc entre les deux billes. On suppose que la bille de gauche, notée 1,
arrive avec une vitesse horizontale 𝑣! au moment où elle heurte la bille de droite, immobile, notée 2.
Dans la suite, on va assimiler les billes à des points matériels et regarder des instants juste avant et
juste après le choc de façon à ce que le problème soit à une dimension.
1) Qu’appelle-t-on choc élastique ? On supposera que c’est bien le cas.
Conservation de l’énergie cinétique.
2) Déterminer 𝑢! et 𝑢!, les vitesses des billes dans le référentiel de leur centre de masse, juste
avant le choc.
𝑣!=!
!!!
𝑣!=!
!
𝑣!. Et donc, 𝑢!=𝑣!−𝑣!=!
!
𝑣!!; 𝑢!=−!
!
𝑣!.
3) Donner, sans démonstration, 𝑢′! et 𝑢′!, les vitesses de ces billes dans le référentiel de leur
centre de masse, juste après le choc.
𝑢′!=−𝑢! et 𝑢′!=−𝑢!.
4) En déduire la vitesse de ces billes juste après le choc dans le référentiel du laboratoire.
𝑣′!=𝑢′!+𝑣!=0 et 𝑣′!=𝑣!.
5) En déduire, sans calcul, l’angle maximal que va atteindre le pendule n°2. Justifier votre
réponse. Que se passe-t-il ensuite ?
Angle maximal : 𝜃!.
Le deuxième pendule revient à la verticale, cogne le premier. Le deuxième mobile est de
nouveau immobile et le premier va faire une demi-oscillation…
C) Etude de la fréquence des chocs
On veut maintenant calculer avec quelle fréquence ont lieu les chocs. On reprend donc l’étude d’un
pendule seul, comme dans la partie A.
1) A l’aide du théorème du moment cinétique, trouver l’équation différentielle satisfaite par
l’angle 𝜃.
!!!
!"
=𝑂𝐺 ∧𝑚𝑔 => 𝐼!𝜃=−𝑚𝑔 !+𝑅sin 𝜃.
2) En déduire la période des oscillations du pendule seul dans l’approximation des petits angles.
Petits angles : 𝜃=−!" !!!
!!
𝜃 => 𝑇=!!
!
=2𝜋!!
!" !!!.
3) Quelle est alors la durée entre deux chocs pour le pendule de Newton à deux billes ?
𝑇/2.