3DS2A - Correction

Correction du devoir surveillé n° 2.
☺ Exercice 1 :
En détaillant, calculer et donner le résultat sous forme d’un nombre entier ou d’une fraction irréductible :
3 2
2 3
A
−
= +
;
(
)
15
4 4 2
10 3 2 7B= − × − .
Correction :
3 2
2 3
A
−
= +
(
)
15
4 4 2
10 3 2 7B= − × −
1
8
9
A
= +
( )
15
10000 3 16 49
B= − × −
72 1
9 9
A
= +
( )
15
10000 48 49
B= − −
73
9
A= .
( )
15
10000 1
B= − −
(
)
10000 1
B
= − −
10000 1
B
= +
10001
B
=
.
☺ Exercice 2 :
Sans détail, écrire sous forme d’un nombre entier
ou d’une fraction irréductible :
Correction :
Sans détail, écrire sous forme d’un nombre entier
ou d’une fraction irréductible :
En effet :
Soit a un nombre relatif non nul.
L’inverse de a est
1
a
.
Donc si x est un nombre relatif non nul, alors l’inverse de
1
x
est
1
1
x
.
Or, l’inverse de
1
x
est x.
Donc : 1
1
x
x
=
.
1
.........
1
1
1
3
=
1
.........
1
1
1
1
7
=
1
1
1
1
3
3
=
. 1
1
1
1
1
7
1
7
=
.

Dès lors :
1 1
11
1
1
3
3
3
= =
.
1 1 1
11
11
7
7
1
1
7
= =
.
☺ Exercice 3 :
1) a) Tracer un segment
[
]
AB
mesurant 13 cm, puis le cercle
(
)
C
de diamètre
[
]
AB
.
b) Construire un point C du cercle
(
)
C
tel que
5
AC
=
cm.
3) Calculer la longueur BC. Justifier.
Correction :
1) a) et b) Figure : RAS.
2) Longueur BC :
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle
(
)
C
et le côté
[
]
AB
est un diamètre du cercle
(
)
C
.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu’un côté du triangle est un diamètre du cercle, alors ce triangle
est rectangle.
Donc le triangle ABC est rectangle en C.
Dès lors, on applique le théorème de Pythagore :
2 2 2
AB CA CB
= +
donc
2 2 2
BC AB AC
= −
2 2 2
13 5
= −
BC
2
169 25
= −
BC
2
144
=BC .
D’où :
144
=BC
12
=
BC cm.
Le segment
[
]
BC
mesure donc 12 cm.
☺ Exercice 4 :
1) Compléter :
...... 3
274,8 2,748 10 ........................ 10
−
= × = ×
...... 2
0,016 160 10 ........................ 10
= × = × .
2) Ecrire sous forme scientifique :
0,0092 ........................
=
15400 ........................
=
.
Correction :
1) Compléter :
2
3
274,8 2,748 10 27480
10
0
−
= × = ×
4
2
0,01 06 1 ,060 1 00
0 1
6
0
1
−
= × = × .
2) Ecrire sous forme scientifique :
3
9,20,00
0
92
1
−
=×
4
1,5415400
10
×=.

☺ Exercice 5 :
1) Reproduire en vraie grandeur la figure ci-contre sachant que :
B, C et D sont alignés
A, D, E et F sont alignés
4
AB
=
cm
2,5
BC
=
cm
1
AF
=
cm.
2) Trouver, en justifiant :
a) deux droites parallèles ; b) un triangle rectangle.
3) Soit G le point d’intersection des droites
(
)
AB
et
(
)
CE
.
Démontrer que B est le milieu du segment
[
]
AG
.
Correction :
1) Figure :
2
=
BD BC
3
=
AD AF
2 2,5
= ×
BD
3 1
= ×
AD
5
=
BD cm.
3
=
AD cm.
(La construction du triangle ABD s’effectue bien sûr au compas.)
2) a) Dans le triangle BDF, C est le milieu du côté
[
]
BD
et E le milieu du côté
[
]
FD
.
Donc, d’après le théorème de la droite des milieux, les droites
(
)
CE
et
(
)
BF
sont parallèles.
b)
[
]
BD
est le plus grand côté du triangle ABD.
On a :
2 2
5 25
= =
BD .
Par ailleurs :
2 2 2 2
4 3 16 9 25
+ = + = + =
AB AD .
On constate que
2 2 2
= +
BD AB AD
.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.
3) Dans le triangle AEG, F est le milieu du côté
[
]
AE
, B un point du côté
[
]
AG
, et les droites
(
)
BF
et
(
)
EG
sont parallèles (d’après la question 2.a).
Donc, d’après la réciproque du théorème de la droite des milieux, le point B est le milieu du segment
[
]
AG
.
☺ Exercice 6 :
On dit qu’un nombre décimal strictement positif est écrit en notation ingénieur s’il est écrit sous la forme
10
n
a×, où a est un nombre décimal tel que
1 1000
a
<
et n un nombre entier relatif multiple de 3.
Ecrire les nombres suivants en : a) notation scientifique : b) notation ingénieur :
......
25600000000 ............... 10
= ×
......
25600000000 ............... 10
= ×
......
0,0008 ............... 10
= ×
......
0,0008 ............... 10
= × .
CB D
A
F
E

Correction :
On dit qu’un nombre décimal est écrit en notation ingénieur s’il est écrit sous la forme
10
n
a×, où a est un
nombre décimal tel que
1 1000
a
<
et n un entier relatif multiple de 3.
Ecrire les nombres suivants en : a) notation scientifique : b) notation ingénieur :
10
25600000000 2,56
10
= ×
9
25600000000 25,6
10
= ×
4
0,0008 8
10
−
= ×
6
800
0,0008 10
−
= × .