Intégration Analyse de Fourier Probabilités

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Bât. M2, F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex
Intégration
Analyse de Fourier
Probabilités
Réédition 2 septembre 2010
Charles SUQUET
Licence de Mathématiques 2003–2004

Table des matières
1 Mesures 13
1.1 Prologue .................................... 13
1.2 Tribus ..................................... 14
1.2.1 Exemples immédiats ......................... 14
1.2.2 Opérations ensemblistes dans une tribu ............... 15
1.2.3 Génération de tribus ......................... 17
1.2.4 Le théorème π-λ........................... 20
1.2.5 Tribus boréliennes .......................... 22
1.3 Mesures .................................... 25
1.3.1 Un peu de vocabulaire ........................ 25
1.3.2 Premiers exemples .......................... 25
1.3.3 Propriétés générales d’une mesure .................. 28
1.3.4 Fonction de répartition ........................ 32
1.3.5 Mesures extérieures .......................... 34
1.3.6 Théorème d’extension ........................ 37
1.3.7 Théorème d’unicité .......................... 43
1.3.8 Mesures de Stieltjes sur R...................... 45
1.3.9 Mesure de Lebesgue sur Rd..................... 49
2 Applications mesurables 57
2.1 Topologie et tribus boréliennes de Ret R+................. 57
2.2 Arithmétique dans R+............................ 61
2.3 Mesurabilité .................................. 61
2.4 Fonctions étagées ............................... 68
2.5 Mesures images, lois ............................. 70
2.5.1 Généralités .............................. 74
2.5.2 Lois discrètes classiques ....................... 76
2.5.3 Lois uniformes ............................. 80
2.5.4 Lois conditionnelles .......................... 80
2.5.5 Un premier exemple de modèle statistique ............. 81
3 Intégration des fonctions mesurables positives 85
3.1 Intégration des fonctions étagées positives ................. 85
3.2 Intégrale dans M+.............................. 89
3

3.3 Applications aux mesures .......................... 95
3.3.1 Mesure à densité par rapport à une autre mesure ......... 95
3.3.2 Transfert ................................ 98
3.3.3 Intégration par rapport à une série de mesures ...........100
4 Intégration, espace L1105
4.1 Fonctions µ-intégrables ............................105
4.2 Négligeabilité .................................115
4.2.1 Ensembles négligeables ........................115
4.2.2 Finitude presque partout .......................116
4.2.3 Égalité presque partout ........................118
4.3 L’espace de Lebesgue L1(µ).........................120
4.4 Le théorème de convergence dominée ....................122
4.5 Comparaison avec l’intégrale de Riemann ..................128
4.5.1 Intégrabilité au sens de Riemann ..................128
4.5.2 Comparaison .............................132
4.5.3 Changement de variable dans une intégrale Rfdλ.........135
4.5.4 Fonction de répartition et densité ..................137
4.6 Applications du théorème de convergence dominée .............139
5 Intégration sur des espaces produits 145
5.1 Produit de deux mesures ...........................145
5.1.1 Produit de deux tribus ........................145
5.1.2 Construction de la mesure produit .................148
5.1.3 Application aux calculs de volumes et d’espérances ........151
5.2 Intégrales doubles ...............................153
5.2.1 Cas des fonctions mesurables positives ...............153
5.2.2 Cas général ..............................154
5.2.3 Fonctions f1⊗f2...........................156
5.3 Intégration sur un produit fini d’espaces ..................157
5.3.1 Produits finis de tribus et de mesures ................157
5.3.2 Intégrales multiples ..........................161
5.3.3 Application aux lois marginales d’un vecteur aléatoire .......162
5.4 Changement de variable dans Rd......................163
5.4.1 Introduction ..............................163
5.4.2 Changement de variable linéaire ...................164
5.4.3 Le théorème de changement de variable C1.............167
5.4.4 Rappels sur les C1-difféomorphismes ................168
5.4.5 Méthode pratique ...........................169
5.4.6 Coordonnées polaires, coordonnées sphériques ...........170
5.4.7 Calculs de lois par changement de variable dans Rd........173
5.5 Indépendance .................................176
5.5.1 Indépendance d’évènements .....................176
5.5.2 Indépendance de variables aléatoires ................179
4

5.5.3 Covariance ...............................185
5.6 Convolution ..................................187
6 Espaces Lp191
6.1 Construction des espaces Lp.........................191
6.2 Comparaison des Lp.............................199
6.3 Théorèmes de densité .............................201
6.4 Dualité .....................................206
7 Espaces de Hilbert et séries de Fourier 209
7.1 Espaces de Hilbert ..............................209
7.1.1 Quelques définitions et rappels ....................209
7.1.2 Bases hilbertiennes et séparabilité ..................210
7.1.3 Meilleure approximation .......................212
7.1.4 Développement dans une base hilbertienne .............215
7.2 Séries de Fourier ...............................219
7.2.1 Espaces de fonctions 2π-périodiques .................219
7.2.2 Coefficients de Fourier ........................220
7.2.3 Bases trigonométriques de L2(T)..................221
7.2.4 Noyaux de Dirichlet et de Fejér ...................228
7.2.5 Le théorème de Fejér .........................233
8 Lois des grands nombres 235
8.1 Convergences de suites de variables aléatoires ...............235
8.2 Loi faible des grands nombres ........................238
8.3 Lois fortes des grands nombres ........................240
8.4 Quelques applications des lois des grands nombres .............248
8.4.1 Applications de la LFGN pour des v.a. bornées ..........248
8.4.2 La méthode de Monte Carlo .....................250
8.4.3 Estimation de paramètres ......................252
9 Transformation de Fourier et convergence en loi 255
9.1 Transformée de Fourier d’une mesure ....................255
9.1.1 Premières propriétés .........................255
9.1.2 Fonction caractéristique de la loi normale standard ........258
9.1.3 Transformée d’un produit de convolution ..............261
9.1.4 Caractérisation des mesures finies ..................262
9.2 Transformée de Fourier d’une fonction ...................267
9.2.1 Propriétés de la transformation de Fourier dans L1........267
9.2.2 Formule d’inversion ..........................270
9.3 Convergence en loi ..............................271
9.3.1 Discussion introductive ........................271
9.3.2 Définition et propriétés ........................272
9.3.3 Convergence en loi et fonctions caractéristiques ..........284
5