Théorème de Hopf

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FACULTÉ
DES
S CIENCES A IN C HOCK , C ASABLANCA
Théorème de Hopf
I-F2 homologie et cohomologie
S AMEDI 8 M AI 2010
My Ismail Mamouni
Professeur Docteur-Agrégé
CPGE My Youssef, Rabat,
myismail.chez.com
[email protected]
Plan de l’exposé
• Partie 1 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn ,
• Partie 2 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn × RPn ,
• Partie 3 : démonstration topologique du théorème de Hopf
non commutatif.
Plan de l’exposé
• Partie 1 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn ,
• Partie 2 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn × RPn ,
• Partie 3 : démonstration topologique du théorème de Hopf
non commutatif.
Plan de l’exposé
• Partie 1 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn ,
• Partie 2 : homologie et de cohomologie à coefficients dans
F2 de RPn × RPn ,
• Partie 3 : démonstration topologique du théorème de Hopf
non commutatif.
Théorèmes de Hopf
Énoncés
Cas commutatif : 1940
Toute algèbre réelle commutative de division de dimension
finie, est au plus de dimension 2.
Cas non commutatif : 1940
La dimension d’algèbre réelle de division de dimension finie,
est une puissance de 2.
Vocabulaire : a ∈ A (R-algèbre)
• a inversible : La : A −→
A et Ra : A −→ A
x 7−→ a.x
x 7−→ x.a
inversibles pour la loi ◦ dans End(A),
• Algèbre de division : Tout élément non nul est inversible.
Théorèmes de Hopf
Énoncés
Cas commutatif : 1940
Toute algèbre réelle commutative de division de dimension
finie, est au plus de dimension 2.
Cas non commutatif : 1940
La dimension d’algèbre réelle de division de dimension finie,
est une puissance de 2.
Vocabulaire : a ∈ A (R-algèbre)
• a inversible : La : A −→
A et Ra : A −→ A
x 7−→ a.x
x 7−→ x.a
inversibles pour la loi ◦ dans End(A),
• Algèbre de division : Tout élément non nul est inversible.
Théorèmes de Hopf
Énoncés
Cas commutatif : 1940
Toute algèbre réelle commutative de division de dimension
finie, est au plus de dimension 2.
Cas non commutatif : 1940
La dimension d’algèbre réelle de division de dimension finie,
est une puissance de 2.
Vocabulaire : a ∈ A (R-algèbre)
• a inversible : La : A −→
A et Ra : A −→ A
x 7−→ a.x
x 7−→ x.a
inversibles pour la loi ◦ dans End(A),
• Algèbre de division : Tout élément non nul est inversible.
Coin de l’Histoire
Heinz Hopf
Heinz Hopf
Mathématicien allemand (1894-1971),
Médaille de la croix de Fer (1ère guerre mondiale),
Pourchassé par les nazis, il s’exile aux USA
Univ : Princeton, New York et Stanford.
Principaux Travaux :
• toute variété riemannienne de dimension 3 de courbure
constante est globalement isométrique à un espace
euclidien, sphérique ou hyperbolique.
• Théorème de Hopf-Poincaré : la somme des indices des
points singuliers d’un champ de vecteurs sur une variété
est égale à sa caractéristique d’Euler-Poincaré.
Coin de l’Histoire
Heinz Hopf
Heinz Hopf
Mathématicien allemand (1894-1971),
Médaille de la croix de Fer (1ère guerre mondiale),
Pourchassé par les nazis, il s’exile aux USA
Univ : Princeton, New York et Stanford.
Principaux Travaux :
• toute variété riemannienne de dimension 3 de courbure
constante est globalement isométrique à un espace
euclidien, sphérique ou hyperbolique.
• Théorème de Hopf-Poincaré : la somme des indices des
points singuliers d’un champ de vecteurs sur une variété
est égale à sa caractéristique d’Euler-Poincaré.
Coin de l’Histoire
Heinz Hopf
Heinz Hopf
Mathématicien allemand (1894-1971),
Médaille de la croix de Fer (1ère guerre mondiale),
Pourchassé par les nazis, il s’exile aux USA
Univ : Princeton, New York et Stanford.
Principaux Travaux :
• toute variété riemannienne de dimension 3 de courbure
constante est globalement isométrique à un espace
euclidien, sphérique ou hyperbolique.
• Théorème de Hopf-Poincaré : la somme des indices des
points singuliers d’un champ de vecteurs sur une variété
est égale à sa caractéristique d’Euler-Poincaré.
Algèbres réelles de division
Problématique et historique
• Les algèbres réelles de division sont de dimensions
respectives 1, 2, 4 et 8.
• A ce jour, les algébristes n’ont pas été capables de le
montrer, quoique fait surprenant ça a été prouvé par des
méthode topologiques :
• 1940, Hopf : c’est une puissance de 2,
Outils : groupes d’homologie et de cohomologie de
RPn × RPn .
• 1958, Kervaire-Milnor-Bott : 1,2,4,8.
Outils : K-théorie, théorème de périodicité.
Algèbres réelles de division
Problématique et historique
• Les algèbres réelles de division sont de dimensions
respectives 1, 2, 4 et 8.
• A ce jour, les algébristes n’ont pas été capables de le
montrer, quoique fait surprenant ça a été prouvé par des
méthode topologiques :
• 1940, Hopf : c’est une puissance de 2,
Outils : groupes d’homologie et de cohomologie de
RPn × RPn .
• 1958, Kervaire-Milnor-Bott : 1,2,4,8.
Outils : K-théorie, théorème de périodicité.
Algèbres réelles de division
Problématique et historique
• Les algèbres réelles de division sont de dimensions
respectives 1, 2, 4 et 8.
• A ce jour, les algébristes n’ont pas été capables de le
montrer, quoique fait surprenant ça a été prouvé par des
méthode topologiques :
• 1940, Hopf : c’est une puissance de 2,
Outils : groupes d’homologie et de cohomologie de
RPn × RPn .
• 1958, Kervaire-Milnor-Bott : 1,2,4,8.
Outils : K-théorie, théorème de périodicité.
Coin de l’Histoire
Raoul Bott
Raoul Bott
Hongrois : 1923-2005
Travaux : Géométrie, homotopie des
groupes de Lie, théorie de Morse,
Distinctions : Prix Wolf, membre Royal
Society.
Collaborateurs : Michael Attiyah,
Étudiants : Daniel Quillen, Stephen Smale,
Coin de l’Histoire
Michel André Kervaire
Michel André Kervaire
Polonais : 1927-2007
Travaux : Topologie, algèbre, Théorie
des nœuds,
Distinctions : Membre de la Swiss Mathematical Society
Coin de l’Histoire
John Willard Milnor
John Willard Milnor
Américain : 1931Travaux : topologie différentielle, Kthéorie.,
Distinctions : Médaille Fields
Résultat le plus connu : la sphère topologique de dimension 7
(dite exotique) possède 28 structures différentielles distinctes.
Homologie à coefficients dans F2
Rappel
VectF2 x = F2 .x = {0, x}
• H0 (Sn ; F2 ) = H0 (Sn ; F2 ) = F2 , les autres nuls,
• |P| ∈ H0 (Sn ; F2 ) et |Sn | ∈ Hn (Sn ; F2 ) non nuls,
• Hq (RPn ; F2 ) = F2 pour 0 ≤ q ≤ n les autres nuls,
• |RPp | ∈ Hq (RPn ; F2 ) non nul.
Homologie à coefficients dans F2
Cas de RPn × RPn
• Théorème de Künneth :
• Si X et Y CW-complexes et A corps,
M
• Alors : Hk (X × Y ; A) =
Hp (X ; A) ⊗ Hq (X ; A).
p+q=k
p
q
2 ) : |RP × RP | tel que
H2n−1 (RPn × RPn ; F2 ) :
= |RPn−1 × RPn |, v = |RPn × RPn−1 |,
• Base de Hk
• Base de
{u
(RPn
× RPn ; F
p + q = k,
• H∗ (RPn × RPn ; F2 ) = F2 [u, v]/(u n+1 = 0, v n+1 = 0)
• Argument :
|RPp × RPq |.|RPr × RPs | = |(RPp × RPq ) ∩ (RPr × RPs )|
= |(RPp ∩ RPr ) × (RPq ∩ RPs )|
Coin de l’Histoire
Otto Hermann Künneth
Otto Hermann Künneth
Allemand : 1892-1975
Travaux : topologie algébrique,
Participe à la première guerre mondiale et fût capturé par les britanniques
Théorème de Hopf commutatif
Démonstration : Échauffement
• f : X −→ Y induit f∗ : H∗ (X )
−→ H∗ (Y )
[x] 7−→ f∗ [x] = [f (x)]
• RPn−1 s’obtient à partir de Sn−1 en identifiant les points
antipodaux x et −x,
• g : Sn−1 × Sn−1 −→ Sn−1 impaire induit
G : RPn−1 × RPn−1 −→ RPn−1 ,
• Base de H 1 (X ; F2 ) : {|RP1 × pt|, |pt × RP1 |},
• Correspondance : entre γ chemins qui joignent deux
antipodaux dans Sn−1 et γ̃ chemins fermés dans RPn−1 ,
• Correspondance : entre chemins fermés et classe de
1-homologie non nulle,
Théorème de Hopf commutatif
Démonstration : Entrée dans le terrain
• RP1 × pt = γ × pt chemin fermé dans RPn−1 × RPn−1 ,
• γ̃ × pt joigne deux antipodaux dans Sn−1 × Sn−1 ,
• A ≃ Rn : algèbre de division, dim A = n,
• Multiplication : µ : Rn × Rn −→ Rn ,
• A de division : f|Sn−1 ×Sn−1 ne s’annule jamais,
f
: Sn−1 × Sn−1 −→ Sn−1 ,
kf k
• g(−x, y) = −g(x, y) = g(x, −y),
• g=
• g(γ̃ × pt) chemin de Sn−1 qui joigne deux antipodaux,
• Identification antipodale : g(γ̃ × pt) 7→ G(γ × pt) chemin
fermé dans RPn−1 × RPn−1 ,
• G∗ (|RP1 × pt|) 6= 0,
• G∗ (|RP1 × pt|) = G∗ (|pt × RP1 |) = |RP1 |,
Théorème de Hopf commutatif
Démonstration : Échauffement de la mi-temps
• H∗ (RPn−1 ; F2 ) =
n−1
M
Hk (RPn−1 ; F2 ) = F2 [t]/(t n = 0),
k =0
• H∗ (RPn−1 × RPn−1 ; F2 ) = F2 [u, v]/(u n = 0, v n = 0),
• Base de H2n−3 (RPn−1 × RPn−1 ) :
u = |RPn−2 × RPn−1 |, v = |RPn−1 × RPn−2 |,
• hu, RP1 × pti = hv, RP1 × pti = 1,
• hu, pt × RP1 i = hv, pt × RP1 i = 0,
• H ∗ (X ; F2 ) = Hom(H∗ (X ; F2 ), F2 ),
• f : X −→ Y induit f ∗ :
H ∗ (Y ) −→ H ∗ (X )
,
∗
[u] 7−→ f [u] = [u.f∗ ]
• u : H∗ (X ) −→ F2 , x ∈ H∗ (X ) : hu, xi := u(x) ∈ F2 ,
• hf ∗ .u, xi = hu.f∗ , xi.
Théorème de Hopf commutatif
Démonstration : Goal
hG∗ (t), |pt
= ht, G∗ |pt × RP1 |i = ht, |RP1 |i= 1 ∈ F2 ,
Pareil : hG∗ (t), |RP1 × pt|i = 1,
hu + v, |RP1 × pt|i = hu + v, |pt × RP1 |i = 1,
G∗ (t) = u + v (égalité sur la base),
t n = 0 =⇒ (u + v)n = G∗ (t)n = G∗ (t ∗ )= 0,
n−1 X
k k n−k
• u n = v n = 0 =⇒
u v
= 0,
n
k =1
• kn pair pour 1 ≤ k ≤ n − 1,
•
•
•
•
•
× RP1 |i
Théorème de Hopf commutatif
Démonstration : Goal
hG∗ (t), |pt
= ht, G∗ |pt × RP1 |i = ht, |RP1 |i= 1 ∈ F2 ,
Pareil : hG∗ (t), |RP1 × pt|i = 1,
hu + v, |RP1 × pt|i = hu + v, |pt × RP1 |i = 1,
G∗ (t) = u + v (égalité sur la base),
t n = 0 =⇒ (u + v)n = G∗ (t)n = G∗ (t ∗ )= 0,
n−1 X
k k n−k
• u n = v n = 0 =⇒
u v
= 0,
n
k =1
• kn pair pour 1 ≤ k ≤ n − 1,
•
•
•
•
•
× RP1 |i
n= puissance de 2
Bibliographie : Livres
Gu98: François Guénard, Les Nombres, Vuibert éd., Paris
1998.
Adaptation française de l’ouvrage collectif : Numbers
Pau10: Frédéric Paulin, Topologie algébrique élémentaire,
Cours Master I, ENS Paris, 2009-2010.
Ait05: My Elkebir Ait Ali Oubrahim, Algèbres de division et
phénomène 1, 2, 4, 8, Mémoire de DESA, Faculté des
Sciences Ben Msick, Casablanca, 2005.
Remerciements :
• Participants au séminaire : Algèbre, K-théorie et Topologie
Algébrique
FS (Ain Sbaa-Ain Chock)-EST Casablanca
• Co-organisateurs
Remerciements :
• Participants au séminaire : Algèbre, K-théorie et Topologie
Algébrique
FS (Ain Sbaa-Ain Chock)-EST Casablanca
• Co-organisateurs
Hinda Hamraoui
Abdelatif Rochdi
Remerciements :
Équipe de recherche :
Théorèmes de Hopf
Abdelatif Rochdi
Ahmed Chendid
Fin
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Merci