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Introduction ` a la Cryptologie
Chapitre 10 : Anneaux euclidiens, principaux, factoriels
Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)
Ann´ ee 2008-2009
IF / IMAG, Master 1, S1-S2
document mis ` a jour le 7 juillet 2009
FOURIER
INSTITUT
f
i
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto

Sommaire
1Anneaux euclidiens, principaux, factoriels
2Polynˆ omes sur un corps
3Exercices

Sommaire
1Anneaux euclidiens, principaux, factoriels
Divisibilit´ e et pgcd dans un anneau int` egre
Anneaux euclidiens, algorithmes d’Euclide et de B´ ezout
Anneaux principaux, lemmes de Gauss et d’Euclide
Anneaux factoriels, probl` emes algorithmiques
2Polynˆ omes sur un corps
3Exercices

Divisibilit´ e dans un anneau int` egre
D´ efinition
Soit Aun anneau int` egre et a, b ∈A.
On dit que bdivise adans A, ou que a
est un multiple de bdans A, not´ eb|a, s’il existe c∈Atel que a=bc.
Remarque
La divisibilit´ e se reformule de mani ` ere ´ el´ egante dans le langage des id´ eaux :
b|a⇔a=bc ⇔a∈(b)⇔(a)⊂(b).
Remarque
La divisibilit´ e d´ efinit une relation de pr´ e-ordre sur A:
r´ eflexivit´ e : on a toujours a|a.
transitivit´ e : a|bet b|centraˆ ınent a|c.
antisym´ etrie : a|bet b|aentraˆ ınent (a) = (b).
De plus, pour tout a, b, c ∈Anous avons :
1|aet a|0.
Si a|b, alors a|bc.
Si a|bet a|c, alors a|b+c.

Divisibilit´ e dans un anneau int` egre
D´ efinition
Soit Aun anneau int` egre et a, b ∈A. On dit que bdivise adans A, ou que a
est un multiple de bdans A, not´ eb|a, s’il existe c∈Atel que a=bc.
Remarque
La divisibilit´ e se reformule de mani ` ere ´ el´ egante dans le langage des id´ eaux :
b|a⇔a=bc ⇔a∈(b)⇔(a)⊂(b).
Remarque
La divisibilit´ e d´ efinit une relation de pr´ e-ordre sur A:
r´ eflexivit´ e : on a toujours a|a.
transitivit´ e : a|bet b|centraˆ ınent a|c.
antisym´ etrie : a|bet b|aentraˆ ınent (a) = (b).
De plus, pour tout a, b, c ∈Anous avons :
1|aet a|0.
Si a|b, alors a|bc.
Si a|bet a|c, alors a|b+c.