PROBLEME D` ELECTRONIQUE 3

Physique
ELECTROCINETIQUE - ELECTRONIQUE
PROBLEME
- PROBLEME D’ ELECTRONIQUE 3 -
l
ENONCE :
« Dispositifs électroniques de conversion »
I. Convertisseur tension-courant
On se propose d’étudier le montage représenté sur la figure 1) ; le quadripôle Q a une impédance
d’entrée supposée infinie, et il est équivalent en sortie à un générateur de courant commandé
par la tension
10−3
AV
. −1 .
15
e( t ) . Le coefficient k vaut
R1 = 11k Ω
R2 = 99k Ω
-
+
i = ke
e(t )
uC (t )
C
Q
C = 0,1µ F
R2
R1
L'AO est idéal et fonctionne
en régime non linéaire.
Les tensions de saturation de
l'AO sont: ±U sat = ±15V
- figure 1 -
1.1)
Donner la caractéristique de transfert
1.2)
hystérésis.
On part de l’état initial
e = f (uC ) du montage comparateur à
e = 15V avec le condensateur initialement chargé à la
uC 0 = −1,5V ; donner l’expression de uC en fonction du temps.
Donner la valeur de uC pour laquelle la sortie de l’amplificateur opérationnel
change d’état, ainsi que la valeur de l’instant t 0 correspondant à ce basculement.
Représenter les tensions uC ( t ) et e(t ) .
Donner la valeur numérique de la période T des oscillations.
valeur
1.3)
1.4)
1.5)
La tension
uC (t ) est alors appliquée au point A du montage ci-dessous :
+
uC
uS
E0
L'AO est idéal, fonctionne en régime non linéaire,
et la tension E0 est constante.
- figure 2 1.6)
1.7)
Page 1
Quelle est la fonction réalisée par le montage de la figure 2) ?
Représenter la tension uS (t ) lorsque E0 = 1V .
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1.8)
∆t
On appelle
uS est
positive ; montrer que ∆t = aE0 + b (on donnera les valeurs numériques de a et b ).
Calculer la valeur moyenne de uS en fonction de E0 ; comment évolue la valeur
moyenne de uS en fonction de E0 ?
1.9)
l’intervalle de temps sur une période pendant lequel
On s’intéresse maintenant à la réalisation pratique du quadripôle Q, représenté sur la figure 3) :
R4
R4
i1
L'AO est idéal et fonctionne dans son
domaine linéaire.
-
Q
+
R4
R4 = R3 + R5
R3
i2
e(t )
Les résistances sont choisies telles que:
R5
i3
A.N: R4 = 1M Ω; R3 =15k Ω; R5 = 985k Ω;
i
s(t )
- figure 3 1.10) Montrer que
i (t ) = ke( t ) ; quelle est la valeur numérique de k ?
II. Conversion numérique-analogique
On considère le quadripôle de la figure 4 :
A
I
U
R
2R
I'
A'
U'
2.1) Déterminer les valeurs de U et de I
en fonction de U' et I'.
B'
B
- figure 4 2.2)
2.3)
Quelle valeur de résistance r doit-on placer entre les points A’ et B’ pour que
la résistance équivalente entre A et B soit aussi égale à r ?
Déterminer la résistance équivalente existant entre les points A et B,
lorsqu’une infinité de ces quadripôles sont associés en série (réseau R-2R), le
« dernier » étant fermé sur une résistance R.
On considère maintenant le montage de la figure 5 ; les commutateurs
Sk peuvent occuper deux
positions repérées par bk : bk = 0 (connexion de la résistance 2R à la masse) et bk = 1
(connexion de la résistance 2R à l’entrée inverseuse de l’amplificateur opérationnel, supposé
idéal et en fonctionnement linéaire).
La tension V est constante, et l’indice k varie de 0 à n.
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I
R
R
R
2R
2R
2R
2R
Sn
Sn−1
S1
S0
V
2R
R
i
+
2.4)
2.5)
2.6)
Vs
Montrer que le courant d’entrée I ne dépend pas de la position des
commutateurs, l’amplificateur fonctionnant en régime linéaire ; exprimer le
courant I en fonction de V et R.
Déterminer le courant qui traverse le commutateur Sk en fonction de I, n, k.
On suppose que V est suffisamment petite pour que la tension de saturation
de l’AO ne soit pas atteinte ; déduire du résultat précédent la valeur du
courant i et la tension de sortie
Vs en fonction des coefficients bk , n et de V.
Quel est le domaine de variation de Vs ?
2.7)
2.8)
Montrer que l’on a réalisé un convertisseur numérique-analogique.
Proposer un montage permettant à l’aide d’un amplificateur opérationnel,
d’obtenir, lorsque les coefficients bk varient, des tensions de sortie
symétriques par rapport à la tension nulle.
*****************
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l
CORRIGE :
« Dispositifs électroniques de conversion »
1.1) Il s’agit du montage « classique » appelé « trigger de Schmitt », ou « comparateur à
hystérésis » ou « comparateur à deux seuils » ; en effet, l’AO fonctionnant en régime de
saturation (non linéaire), la tension de sortie
e( t ) ne peut prendre que deux valeurs, soit ± U sat .
e( t ) = +U sat : alors la relation du diviseur de tension (l’AO
R1
U
étant idéal, i− = 0 ⇒ R1 et R2 sont bien en série) montre que V+ =
U sat = sat = 1,5V ⇒
R1 + R2
10
cet état dure tant que V− = uC ≤ V+ = 1,5 .
Lorsque uC ≥ 1,5V , la sortie e( t ) bascule à −U sat , entraînant également l’entrée non inverseuse
R1
U
de l’AO à V+ = −
U sat = − sat = −1,5V .
R1 + R2
10
Si, à partir de cet état, on refait décroître uC (t ) , la sortie ne basculera à +U sat que pour
U
V− = uC ≤ V+ = −1,5 : on a donc effectivement un comparateur à deux seuils, ± sat .
10
Supposons que l’on parte de l’état
D’où, la courbe :
e
15
−1,5
1,5
0
On parle "d'hystérésis", car pour une même
valeur de uC , on peut avoir deux valeurs
différentes de e : la valeur effectivement
obtenue dépend donc de uC , mais aussi du
sens de variation (croissant ou décroissant)
de uC (on parle aussi "d'effet mémoire").
uC
−15
1.2) L’AO étant parfait,
Numériquement, il vient :
1.3)
i− = 0 ⇒ i = I = ke = kU sat = C
I = 10 −3 A ⇒
1.4)
pour
uC ( t ) = 104 × t + 1,5
D’après la question 1.1), il y a basculement de
t0 =
correspond à :
Pour
t 0 ≤ t ≤ 2 t0 , on a :
I
duC
⇒ uC ( t ) = × t + uC (0)
C
dt
e( t ) à −15V pour uC = 1,5V , ce qui
2 ×1,5
= 0,3ms
4
10
uC ( t ) = −104 × t + 1,5 , un nouveau basculement ayant lieu
uC = −1,5V ; on obtient donc les courbes suivantes :
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e(t )
uC (t )
15
0
0
t0
2t 0
t
t0
− 15
t
2t 0
T
1.5) Par symétrie, on constate que la période vaut :
T = 2t 0 = 0,6ms
uC ≤ E0 , us = +U sat =15V , et pour uC ≥ E0 , us = −U sat = −15V : le montage est
un comparateur (inverseur) à seuil réglable ( E0 ).
1.6) Pour
1.7) On obtient la courbe ci-dessous :
uC (t )
u s (t )
15V
1,5V
E0 = 1V
Rq: les tensions uC et us ne sont
pas tracées à la même échelle.
0
t
−1,5V
∆t
− 15V
T
1.8)
∆t est égal au double du
uC (t ) pour passer de −1,5V à E0 ; on a donc :
∆t
−4
−4
−1,5 + 104 × = E0 ⇒ ∆t = 2.10 × E 0 + 3.10
2
Par symétrie, on constate sur les courbes ci-dessus que
temps mis par la tension
1.9) La valeur moyenne de
us (t ) t =
1
×
T
∫
T
0
us (t ) dt =
us (t ) est définie par :
1
× [15 × ∆t −15 ×(T − ∆ t) ] ⇒
T
on trouve :
us (t ) t = 10 E0
us (t ) est donc proportionnelle à E0 ⇒ on peut contrôler très
facilement cette valeur à l’aide de la tension réglable E0 .
Rq :
la valeur moyenne de
1.10) En appelant v la tension sur la borne de sortie de l’AO et en appliquant la relation
du diviseur de tension sur la borne inverseuse de l’AO, il vient :
v− =
R4
v
v=
R4 + R4
2
Page 5
⇒
v+ =
v
, puisque l’AO est idéal et fonctionne en régime linéaire.
2
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En appliquant le théorème de Millman sur la borne non inverseuse de l’AO, on obtient :
e
s
+
v R R5
v −s
2R5
R4 − R5
v+ = = 4
; par ailleurs : i3 =
⇒ après calculs : i3 =
e+
s
1
1
2
R
R
(
R
+
R
)
R
(
R
+
R
)
3
4
5
3
4
5
+
R4 R5
e− s
R3 + 2 R5
R − R4 + R5
D’autre part : i2 =
⇒ i = i 2 + i3 =
e− 3
s
R4 + R5
R3 ( R4 + R5)
R3 (R4 + R5 )
Enfin, avec la condition R4 = R3 + R5 , on aboutit effectivement à :
i = ke
k=
avec :
1 10−3
=
AV
. −1
R3 15
Rq : c’est bien la valeur de la 1ère question.
2.1) Les lois de Kirchhoff permettent d’écrire :
U = U '+ RI '
U = 2R ( I − I ') et
⇒
I=
on a aussi :
U ' 3I '
+
2R 2
2.2) Maintenant, on a une résistance r en série avec une résistance
en parallèle avec une résistance 2R ; la résistance équivalente vaut :
R , l’ensemble étant
2R ×( R + r)
, résistance que l’on souhaite être égale à r ; il vient donc :
3R + r
r=R
2 R × ( R + r ) = r × (3R + r ) , dont la seule solution positive est :
Re =
2.3) Le « dernier » quadripôle étant fermé sur une résistance r = R , il est équivalent en
amont à une résistance Re = R (cf. question précédente) ; l’avant-dernier quadripôle est donc
également fermé sur une résistance
équivalente en amont égale à R .
R ⇒ par récurrence, le réseau « R-2R » a une résistance
2.4) L’AO étant en fonctionnement linéaire,
commutateur
V+ = V− = 0 ⇒ quelle que soit la position d’un
Sk , il est relié à la masse ⇒ le courant qui traverse une résistance 2R quelconque
reste constant ⇒ le courant I également ; on a alors :
I=
V V
=
Re R
2.5) En début de chaîne, le courant I se partage en 2 courants égaux puisque (au premier
nœud), il y a 2 dipôles en parallèle de résistances égales : 2R en parallèle avec {R en série avec
le reste de la chaîne, de résistance équivalente R, donc 2R} ; on a donc :
in =
I
I
I
; de même : I n −1 = n = 2 ⇒ par récurrence, on trouve :
2
2 2
2.6)
lesquels
n
Page 6
I
2
n −k +1
La loi des nœuds montre que le courant i est la somme des courants
I k pour
bk = 1 ; on en déduit :
i = ∑ bk
k=0
Ik =
I
2n− k +1
=
I
n
∑b 2
2 n+1 k =0
k
k
Par ailleurs :
Vs = − Ri et V = RI ⇒
Christian MAIRE
n
V
k
Vs = − n+1 × ∑ bk 2
2
k=0
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Domaine de variation de
si
bk = 1, ∀k , alors :
Vs
:
si tous les
V
V  1 − 2 n+1 
n
n +1
Vs = − n+1 (1 + 2 + .... + 2 ) = − n +1 
 = −V (1 − 1 / 2 )
2
2  1− 2 
Rq : si n est suffisamment grand,
2.7)
Vs ; V
.
La relation (1) montre que la grandeur analogique
nombre binaire
VS est proportionnelle au
{bnbn−1...bk ...b1b0 } : il y a bien eu « conversion numérique-analogique ».
VS varie entre 0 et ; −V ; pour que
varie entre −V /2 et V / 2 , il suffit de translater la tension −VS de −V / 2 ; proposons le
2.8)
VS
bk sont nuls, alors Vs = 0
Avec le présent montage, la tension de sortie
montage ci-dessous :
R0
R0
+
Vs
3R0
−V
L'AO est idéal et fonctionne en
régime linéaire.
Vs'
R0
Le diviseur de tension montre que :
V+ = −V ×
R0
V
=−
R0 + 3R0
4
Le théorème de Millman appliqué sur la borne inverseuse de l’AO conduit à :
V− = V+ ⇒
Rq :
ainsi, lorsque tous les
V− =
Vs + Vs'
; d’où :
2
Vs' = −Vs − V / 2
bk sont nuls, Vs = 0 ⇒ Vs' = −V / 2
; si
bk = 1, ∀k , alors Vs = −V ⇒
V = +V / 2 , ce qui est bien conforme au « cahier des charges ».
'
s
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