Introduction à la mécanique classique

Introduction à la mécanique classique
cours ESAIP
13 avril 2006
Table des matières
1 Les
1.1
1.2
1.3
1.4
vecteurs
Définition . . . . . . . . . . . . .
Changement de base . . . . . . .
Dérivée d’un vecteur . . . . . . .
Moment d’un vecteur par rapport
. . .
. . .
. . .
a un
. . . .
. . . .
. . . .
point
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
2 La mécanique du point
2.1 La cinématique du point . . . . .
2.1.1 Définitions . . . . . . . .
2.1.2 Mouvement à accélération
2.1.3 Mouvement parabolique .
2.1.4 Mouvement relatif . . . .
2.1.5 Mouvement circulaire . .
2.2 Dynamique du point . . . . . . .
2.2.1 Lois de Newton . . . . . .
2.2.2 La friction . . . . . . . . .
2.2.3 La gravitation . . . . . .
2.2.4 Le travail . . . . . . . . .
2.2.5 Le pendule . . . . . . . .
2.3 Problèmes . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
constante
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 La mécanique des solides rigides
3.1 La cinématique des solides rigides
3.1.1 Centre de masses . . . . .
3.1.2 Energie cinétique . . . . .
3.1.3 Rotation . . . . . . . . . .
3.1.4 Equilibre statique . . . .
3.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
. 8
. 8
. 8
. 9
. 9
. 10
4 La mécanique des fluides
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Equilibre hidrostatique .
4.1.2 Principe de Pascal . . .
4.1.3 Principe d’Archimède .
4.1.4 Equation de Bernoulli .
4.2 Problèmes . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
11
11
11
11
11
11
12
Chapitre 1
Les vecteurs
1.1
Définition
Un vecteur est défini comment un segment orienté AB où on a défini l’origine sur A et l’extrémité sur B. Pour
définir un vecteur il est nécessaire d’avoir défini préalablement un repère. Dans le repère utilisé le vecteur sera
exprimé selon les trois composantes sur les trois axes du repère :
−−→
→
→
→
AB = λ1 −
e 1 + λ2 −
e 2 + λ3 −
e3
(1.1)
Le vecteur peut s’exprimer aussi d’une façon plus compacte :
−−→
AB = (λ1 , λ2 , λ3 )
(1.2)
où on considère la base implicitement.
1.2
Changement de base
Pour changer le repère dans lequel le vecteur est exprimé, il faut exprimer les vecteurs directeurs du premier
repère en fonction des vecteurs directeurs du deuxième.
X
−
→
→
ei =
αij −
ej
(1.3)
j
1.3
Dérivée d’un vecteur
La dérivé d’un vecteur est définie comme :
→
→
d−
v
∆−
v
= lim
x→0 ∆x
dx
(1.4)
−−→
→
→
→
dAB
dλ1 −
dλ2 −
dλ3 −
d−
e1
d−
e2
d−
e3
→
→
→
=
+
+
e 1 + λ1
e 2 + λ2
e 3 + λ3
dx
dx
dx
dx
dx
dx
dx
(1.5)
C’est à dire :
1.4
Moment d’un vecteur par rapport a un point
→
On définit le moment d’un vecteur −
v appliqué à un point O exprimé en un autre point C comme :
−
→ −−→ →
M = OC ∧ −
v
2
(1.6)
Chapitre 2
La mécanique du point
2.1
La cinématique du point
La cinématique du point s’occupe de l’étude du mouvement des corps en supposant toute la masse concentrée
sur un seul point de l’espace. La cinématique ne s’occupe pas de l’étude des forces qui provoquent le mouvement,
c’est le rôle de la dynamique.
Pour décrire le mouvement d’un corps il faut toujours le référencer dans un repère. Il y a deux types de repères :
– inertiel : le repère ne subit pas d’accélérations au cours du temps. Ce type de repères n’existent pas dans la
nature, mais, pour chaque problème en particulier, on va en définir un.
– non inertiel : le repère subit d’accélérations au cours du temps.
2.1.1
Définitions
On définit la position d’un corps comme la distance entre sa position en un instant donné et l’origine du repère :
−−→
−
→
r = OM
(2.1)
Pour connaître le mouvement du corps, il suffit de connaître sa position au cours du temps :
−
→
r = (x(t), y(t), z(t))
(2.2)
On définit la vitesse d’un corps comme la dérivée de sa position par rapport au temps :
→
d−
r
−
→
v =
dt
Et son accélération comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps :
(2.3)
→
d−
v
−
→
(2.4)
a =
dt
On définit aussi la quantité de mouvement d’un corps comme la multiplication de sa masse et sa vitesse :
−
→
→
p = m−
v
2.1.2
Mouvement à accélération constante
A étudier vous-même
2.1.3
Mouvement parabolique
A étudier vous-même
3
(2.5)
2.1.4
Mouvement relatif
On parle de mouvement relatif quand on met en relation le mouvement par rapport à deux repères différents.
La relation de composition de positions est donné par :
−−→ −−→′ −−′−→
OM = OO + O M
(2.6)
Et on applique la définition de la vitesse pour trouver la relation entre les vitesses :
−−→
−−−→
−−→
dOM
dOO′
dO ′ M
=
+
dt
dt
dt
De la même façon on trouve des relations pour les accélérations :
−−→
−−−→
−−→
d2 OO′
d2 O ′ M
d2 OM
=
+
dt2
dt2
dt2
2.1.5
2.2
2.2.1
(2.7)
(2.8)
Mouvement circulaire
Dynamique du point
Lois de Newton
En 1687, Newton publie dans ces ’Principia’ les trois lois de la dynamique :
1. Dans un repère inertiel, les corps gardent leur état initial, ou bien le repos, ou bien la vitesse, en absence
de forces externes
2. Dans un repère inertiel, la variation de quantité de mouvement est proportionelle à la force qui agit sur
le corps :
→
−
→
d−
p
=F
dt
(2.9)
3. Principe d’action et réaction : quand un corps A produit une force sur un corps B, le corps B produit une
force sur le corps A égale en direction et module, mais avec le sens inverse.
2.2.2
La friction
Quand un corps est en equilibre sur une surface, cette surface peut exercer une force pour compenser la force
qui ménerait le corps hors de équilibre. Cette force doit être toujours perpendiculaire à la surface, c’est une
force dite ’normale’.
Le frottement entre la surface et le corps va créer une résistance au mouvement, on va l’appeler force de
frottement. La force de fortement est proportionnelle à la normale exercée par la surface sur le corps et a un
coefficient de frottement µ. Ce coefficient est différent en fonction de si il y a un mouvement relatif ou non. S’il
n’y a pas de mouvement relatif :
FF ≤ µs N
(2.10)
FF = µd N
(2.11)
µd < µs
(2.12)
et s’il y a un mouvement relatif :
avec :
µd : coefficient de frottement dynamique
µs : coefficient de frottement statique
Ces deux coefficients sont déterminés d’une façon empirique.
4
2.2.3
La gravitation
Newton donna aussi une loi qui relie la force à laquelle est soumise une masse en présence d’une autre masse.
La force créée par la masse 2 sur la masse 1 est donnée par l’expression :
−
→
Gm1 m2 −
→
F 12 = − −
3 r 12
|→
r 12 |
(2.13)
−
→
Gm1 m2 −
→
F 21 = − −
3 r 21
|→
r 21 |
(2.14)
De la même façon, la masse 1 va exercer une force sur la particule 2 :
mi : masse de la particule i
−
r→
12 : distance entre les particules 1 et 2
2.2.4
Le travail
Le travail est défini comme :
W =
Z
tf
t0
−
→ −
F d→
x
(2.15)
On peut l’interpréter comme la capacité de réaliser un travail. On associe une énergie à chaque force qui dérive
d’un potentiel. On aura donc l’énergie potentielle de la gravité :
E = mgh
(2.16)
L’énergie potentiel d’un ressort :
1
mx2
2
Et on associe aussi une énergie à la vitesse, on l’appele énergie cinétique :
E=
1
mv 2
2
On peut utiliser le theorème de conservation de l’ énergie pour calculer la dynamique d’un sytème :
2.2.5
(2.17)
E=
(2.18)
∆W = ∆E
(2.19)
Le pendule
5
2.3
Problèmes
Exercice 1 : Gravité avec frottement de l’air
Un objet qui tombe dans l’atmosphère est soumis à la force de la gravité et à une force de frottement avec l’air
qui est proportionnelle à la vitesse, avec une constante de proportionalité K. Calculer la vitesse et la position
de l’objet en fonction des conditions initiales x0 et v0 .
Exercice 2 : Trajectoire d’un ballon
Un ballon est lancé avec une vitesse initiale v0 , un angle avec l’horizontal de 45◦ , à une hauteur h, et à une
distance d’une paroi verticale 2h. A quelle distance de la paroi le ballon va t’il tomber ? (quand le ballon arrive
à la parois, la composante verticale du ballon change de signe et la composante verticale reste invariante)
Exercice 3 : Angle de tir
Deux balles sont lancées, depuis un bâtiment avec des vitesses, égales en module, mais avec des angles par
rapport à l’horizontal differents α < 0, β > 0. Montrer que les deux balles vont arriver au sol avec la même
vitesse et calculer cette vitesse en fonction de la hauteur du bâtiment, et du module initial de la vitesse.
Exercice 4 : Calcul d’un rayon de courbure
Un mobile M décrit une hélice circulaire d’axe Oz, définie par les équations, en coordonnées cartésiennes :
x = R cos θ
y = R sin θ
H
θ
z = 2π
H
On posera h = 2π
1. Le mouvement est défini par la loi θ(t) = ωt (avec ω constant).
−
→
1.1. Déterminer la vitesse V du mobile : on précisera son module et son orientation.
−
→
Déterminer l’accélération A , en module et direction.
En déduire l’expression du rayon de courbure RC de la trajectoire.
1.2. Reprendre la même étude en coordonnées cylindriques.
2. Utiliser encore les coordonnées cylindriques, et la loi θ(t) étant maintenant quelconque.
−
→ −
→
→
→
→
2.1. Exprimer V et A dans la base (−
er , −
eθ , −
ez ) associée aux coordonnées cylindriques, en fonction des données
et des dérivéees de θ(t).
2.2. En introduisant le rayon de courbure RC , montrer que :
√
−
→
−
→
V =
RRC θ̇ T
√
−
→
−
→
−
→
A =
RRC θ̈ T + Rθ̇2 N
−
→ −
→
( T , N ) étant les vecteurs de base du repère mobile.
Exercice 5 : Mouvement rectiligne uniforme
→
Un navire N est animé d’un mouvement rectiligne uniforme de vitesse −
v le long d’une droite D. Un sous-marin
−−→
−
→
immobile S tire une torpille T à l’instant où l’angle ( v , N S) a la valeur α. T étant animée d’un mouvement
−−→ →
→
rectiligne uniforme de vitesse −
u , quelle doit être la valeur de l’angle de tir θ = (SN , −
u ) si l’on veut couler
N . Si l’on veut que T atteigne N en un temps minimum, à quel instant, c’est-à-dire pour quelle valeur de α,
convient-il de tirer ? Calculer la valeur de l’angle de tir θ0 correspondant.
Exercice 6 : Mouvement circulaire
La Terre décrit autour du Soleil, d’un mouvement uniforme, une orbite assimilée à un cercle de rayon R = 150
millions de kilomètres en T = 365 jours. Déterminer par rapport au référentiel lié au Soleil :
– la vitesse linéaire du centre de la Terre
– l’accélération du centre de la Terre
Exercice 7 : Composition des vitesses
6
−
→
Un nageur parti de A, se déplace à la vitesse constante V par rapport à l’eau d’une rivière de largeur d dont
→
les eaux sont animées d’un courant de vitesse constante −
v (v < V ).
1. Le nageur effectue les trajets aller et retour AA1 A en un temps t1 et AA2 A en un temps t2 .
1.1. Exprimer le rapport tt21 en fonction du rapport des vitesses Vv .
−
→
1.2. Sachant que t2 = 2t1 = 7 min, déterminer la direction de la vitesse V du nageur qui se déplace à contre
courant pour atteindre A (en partant de A1 ).
2. Le nageur quitte le bord A, au moment où il se trouve à la distance d de l’avant d’un bateau, de largeur l,
→
qui se déplace à la vitesse constante −
u par rapport à l’eau, en suivant le bord de la rivière dans le sens de A
vers A2 .
2.1. Déterminer la direction et la grandeur de la vitesse absolue minimale du nageur pour ne pas être heurté
par le bateau.
A.N. l = 20m, d = 98m, u = 19, 8km/h, v = 1, 8km/h.
−
→
2.2. Déterminer alors la direction et la grandeur de la vitesse V du nageur par rapport à l’eau.
Exercice 8 : Composition d’un mouvement d’entraînement circulaire et d’un mouvement relatif
circulaire
Dans le plan xOy, un cercle de diamètre OA tourne à la vitesse angulaire constante ω autour du point O. On
lie à son centre mobile O′ deux axes rectangulaires O′ x′ et O′ y ′ ; l’axe O′ x′ est dirigé suivant OA. A l’instant
initial, A est sur Ox. Un point M initialement en A parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même
vitesse angulaire ω.
1. Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le référentiel lié à Oxy
−−→
(en dérivant les composantes de OM ).
2. Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération de M dans son mouvement relatif (c’est-à-dire dans
le référentiel lié à O′ x′ y ′ z ′ ).
3. Calculer la vitesse d’entraînement, l’accélération d’entraînement et l’accélération complémentaire. Montrer
qu’en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, on retouve les résultats du 1.
Exercice 9 : Mouvement d’un disque autour d’un autre
Un disque (d) de rayon r, roule sans glisser autour d’un disque (D) de rayon R. Soit M un point de la périphérie
de (d).
Exprimer la vitesse et l’accélération de M dans le repère lié à (D).
Exercice 10 : Train d’engrenages
Un train d’engrenages est constitué par 4 roues dentées (1), (2), (3), (4), de rayons R1 , R2 , R3 , R4 dont les
centres O, A, B, C restent alignés sur le bras OC tournant autour de Oz dans le plan (Ox, Oy) à la vitesse
angulaire Ω.
La roue dentée (1) étant fixe dans le plan (Ox, Oy), calculer les vitesses angulaires ω2 , ω3 , ω4 des roues (2), (3),
(4) par rapport au repère (Ox, Oy).
Exercice 11 : Mouvement d’un cône sur un plan horizontal
Un cône plein homogène de demi-angle au sommet α, de hauteur h et de sommet O, roule sans glisser sur un
→
plan horizontal. On appelle −
u le vecteur unitaire porté par la génératrice de contact cône-plan, et l’on repère
→
la position du cône par l’angle θ(t) que fait −
u avec l’axe Ox d’un référentiel R, appartenant au plan horizontal.
1. Déterminer l’axe instantané de rotation du cône.
2. Déterminer la vitesse dans R du centre C de la base du cône, en fonction de h, α et θ.
3. En déduire l’expression du vecteur rotation instantané du cône dans R.
4. Déterminer la vitesse et l’accélération d’un point de la périphérie de la base du cône au moment où il coïncide
avec le point de contact cône-plan.
7
Chapitre 3
La mécanique des solides rigides
3.1
La cinématique des solides rigides
On définit un solide rigide comme un ensemble de particules qui gardent les distances entre elles.
3.1.1
Centre de masses
On définit le centre de masses comme :
On va noter :
R−
→
x dm
−
→
X CM = R
dm
MT =
Z
dm
Pour un système discret de particules la formule devient :
P −
→
−
→
i x i mi
x CM = P
i mi
Et en dérivant ces expressions on trouve aussi la vitesse et l’accélération du centre de masses :
R−
→
v dm
−
→
v CM = R
dm
R−
→
a dm
−
→
a CM = R
dm
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Et on peut appliquer aussi le lois de Newton au système :
−
→
d
→
(MT −
v CM )
(3.6)
F ext =
dt
On peut annoncer la troisième loi de Newton en disant que le centre de masse d’un système bouge comme une
particule avec une masse égale à la somme de toutes les masses du système, sous l’action des forces externes au
système. De la même façon, en absence de forces exterieures la quantité de mouvement du système est conservé.
3.1.2
Energie cinétique
L’énergie cinétique d’un système est définie de la façon suivante :
Z
1
−
→
Ec =
v (m)2 dm
2 V
8
(3.7)
3.1.3
Rotation
Pour décrire le mouvement d’un solide rigide, il ne suffit pas de connaître la position d’un des points du solide, il
faut aussi connaître son orientation dans l’espace. La cinématique étudie la variation de l’orientation du solide.
La rotation d’un solide rigide a toujours lieu autour d’un axe privilégié qui est l’axe de rotation. L’axe de
rotation n’est pas forcement constant, il peut varier au cours du temps. La magnitude qui décrit la rotation est
la vitesse de rotation :
dΩ
dt
où Ω est un angle qui décrit l’orientation du solide est ω est la vitesse angulaire
On définit aussi l’accélération angulaire comme le taux de variation de la vitesse angulaire :
ω=
(3.8)
dω
(3.9)
dt
La dynamique, qui va s’occuper d’étudier les forces qui provoquent ces changements de vitesse, utilise une
nouvelle quantité, appelée moment d’inertie, et qui est définie comme :
Z
I=
r2 dm
(3.10)
α=
V
r est la distance entre le différentiel de masse et un axe (l’axe de rotation), donc le moment d’inertie est défini
par rapport à une distribution de masses et par rapport à un axe aussi. La même masse aura des moments
d’inertie différents par rapport à des axes differents. La relation entre le moment d’inertie de la même masse
par rapport à l’axe qui passe par le centre de masses et un axe parallèle situé à une distance h est :
I = M h2 + ICM
(3.11)
L’équivalent de la deuxième équation de Newton pour la rotation est :
Mext = Iα
3.1.4
(3.12)
Equilibre statique
Un cas particulier de la cinématique est la statique, qui s’occupe d’étudier les corps qui sont en repos ; lorsque
la vitesse de tous les points du corps est nulle.
Pour un solide rigide, il y a deux conditions d’equilibre :
X−
→
F ext
X−
→
M ext
9
−
→
0
−
→
= 0
=
(3.13)
3.2
Problèmes
Exercice 1 : Calcul du centre de gravité
Pour localiser le centre de gravité d’une personne on fait l’expérience suivante. On place une personne de masse
m allongée sur une table de longueur l. La table est appuyé sur les deux côtés et sur un côté on y a mit un
dynamomètre qui mesure une force N. Quelle est la position du centre de gravité de la personne ?
Exercice 2 : Equilibre d’une boîte
Une boîte carrée de côté l et de masse uniforme est placée à l’extrémité d’un plan incliné avec un angle
d’inclinaison variable θ. En sachant que la force de frottement est assez grande pour empécher le glissement de
la boîte, calculer l’angle θmax auquel on peut arriver sans faire tomber la boîte.
Exercice 3 : Equilibre d’un cylindre
Un cylindre de masse homogène m et rayon R repose sur une surface horizontale et sur une marche de hauteur
h (h < R). Calculer la force F qu’il faut appliquer sur l’axe pour faire monter la marche au cylindre.
Exercice 4 : Forces sur les charnières
Une porte de poids 200N est soutenue par deux charnières (une au plus haut de la porte, et l’autre tout un
bas) et par un câble, comme montre la figure.
1. Quelle est la force du cable en sachant que la charnière supérieure n’a aucune composante horizontale ?
2. Quelle est la composante horizontale de la charnière inférieure ?
3. Quelles sont les forces verticales sur les deux charnières ?
10
Chapitre 4
La mécanique des fluides
4.1
Définitions
La mécanique des fluides s’occupe d’étudier le mouvement d’un ensemble de particules, quand elles ne conservent
pas les distances entre elles, et quand elles sont assez nombreuses pour appliquer les lois de la statistique. Elle
s’occupe aussi d’étudier les causes qui provoquent ces mouvements.
Pour cette étude, il faut définir la densité comme le coefficent entre une masse et le volume qu’elle occupe :
m
(4.1)
V
La pression sur un fluide est le coefficient entre la force et la surface sur la quelle la force est appliquée :
ρ=
P =
4.1.1
F
S
(4.2)
Equilibre hidrostatique
A étudier vous-même
4.1.2
Principe de Pascal
"Toute pression appliquée à un liquide confiné dans un récipient, est transmise sans pertes sur tous les points
du liquide et sur les parois du réservoir qui le contient."
4.1.3
Principe d’Archimède
"Tout corps partiellement ou complètement submergé dans un fluide subit une force ascensionnelle égale au
poids du fluide déplacé"
4.1.4
Equation de Bernoulli
L’équation de Bernoulli éxprime la conservation de l’énergie dans un fluide :
1
P + ρg∆h + ρv 2 = cte.
2
où :
– ∆h : différence de hauteur par rapport à une référence
– v : vitesse du fluidee
– P : pression
11
(4.3)
4.2
Problèmes
Exercice 1 : Reservoir d’eau
Un grand réservoir d’eau de profondeur H, a un trou à une distance h de la surface. Calculer la distance x à
laquelle l’eau va tomber par terre.
Exercice 2 : Dimensionnement d’une pompe
Une source dimensionnée pour produire une colonne verticale d’eau de 12m a un diamètre à la sortie d’1cm. La
pompe d’eau est à 3m sous terre. Le tube jusqu’à la sortie de la source a un diamètre de 2cm. Quelle doit être
la pression de la pompe ?
Exercice 3 : Temps de vidange
Un grand récipient à bière de hauteur H et d’aire transversale A1 est rempli de bière et il est ouvert à la pression
atmosphérique. En bas du récipient, il y a un robinet d’aire A2 , avec
√ A2 << A1 .
1. Montrer que pour une hauteur de bière h la vitesse de sortie est 2gh.
2. Montrer que la variation de hauteur est donnée par :
dh
A1 p
2gh
=−
dt
A2
3. Calculer le temps necessaire pour vider le récipient.
12
(4.4)
Bibliographie
[1] Goldstein H. : Mécanique Classique. Presses Universitaires de France
[2] Landau & Lifchitz : Mécanique
[3] Tipler P. A. : Modern Physics
13