Introduction à la mécanique classique

Introduction à la mécanique classique
cours ESAIP
13 avril 2006

Table des matières
1 Les vecteurs 2
1.1 Définition ................................................. 2
1.2 Changementdebase ........................................... 2
1.3 Dérivéed’unvecteur ........................................... 2
1.4 Moment d’un vecteur par rapport a un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 La mécanique du point 3
2.1 Lacinématiquedupoint......................................... 3
2.1.1 Définitions ............................................ 3
2.1.2 Mouvement à accélération constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Mouvement parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.4 Mouvementrelatif ........................................ 4
2.1.5 Mouvementcirculaire ...................................... 4
2.2 Dynamiquedupoint ........................................... 4
2.2.1 LoisdeNewton.......................................... 4
2.2.2 Lafriction............................................. 4
2.2.3 Lagravitation .......................................... 5
2.2.4 Letravail ............................................. 5
2.2.5 Lependule ............................................ 5
2.3 Problèmes................................................. 6
3 La mécanique des solides rigides 8
3.1 La cinématique des solides rigides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1 Centredemasses......................................... 8
3.1.2 Energiecinétique......................................... 8
3.1.3 Rotation.............................................. 9
3.1.4 Equilibrestatique ........................................ 9
3.2 Problèmes................................................. 10
4 La mécanique des fluides 11
4.1 Définitions................................................. 11
4.1.1 Equilibre hidrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 PrincipedePascal ........................................ 11
4.1.3 Principe d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.4 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Problèmes................................................. 12
1

Chapitre 1
Les vecteurs
1.1 Définition
Un vecteur est défini comment un segment orienté AB où on a défini l’origine sur A et l’extrémité sur B. Pour
définir un vecteur il est nécessaire d’avoir défini préalablement un repère. Dans le repère utilisé le vecteur sera
exprimé selon les trois composantes sur les trois axes du repère :
−−→
AB =λ1−→ e1+λ2−→ e2+λ3−→ e3(1.1)
Le vecteur peut s’exprimer aussi d’une façon plus compacte :
−−→
AB = (λ1, λ2, λ3)(1.2)
où on considère la base implicitement.
1.2 Changement de base
Pour changer le repère dans lequel le vecteur est exprimé, il faut exprimer les vecteurs directeurs du premier
repère en fonction des vecteurs directeurs du deuxième.
−→
ei=X
j
αij −→ ej(1.3)
1.3 Dérivée d’un vecteur
La dérivé d’un vecteur est définie comme :
d−→ v
dx = lim
x→0
∆−→ v
∆x(1.4)
C’est à dire :
d−−→ AB
dx =dλ1 dx −→
e1+λ1
d−→ e1
dx +dλ2 dx −→
e2+λ2
d−→ e2
dx +dλ3 dx −→
e3+λ3
d−→ e3
dx (1.5)
1.4 Moment d’un vecteur par rapport a un point
On définit le moment d’un vecteur −→ vappliqué à un point Oexprimé en un autre point Ccomme :
−→
M=−−→ OC ∧−→ v(1.6)
2

Chapitre 2
La mécanique du point
2.1 La cinématique du point
La cinématique du point s’occupe de l’étude du mouvement des corps en supposant toute la masse concentrée
sur un seul point de l’espace. La cinématique ne s’occupe pas de l’étude des forces qui provoquent le mouvement,
c’est le rôle de la dynamique.
Pour décrire le mouvement d’un corps il faut toujours le référencer dans un repère. Il y a deux types de repères :
–inertiel : le repère ne subit pas d’accélérations au cours du temps. Ce type de repères n’existent pas dans la
nature, mais, pour chaque problème en particulier, on va en définir un.
–non inertiel : le repère subit d’accélérations au cours du temps.
2.1.1 Définitions
On définit la position d’un corps comme la distance entre sa position en un instant donné et l’origine du repère :
−→
r=−−→ OM (2.1)
Pour connaître le mouvement du corps, il suffit de connaître sa position au cours du temps :
−→
r= (x(t), y(t), z(t)) (2.2)
On définit la vitesse d’un corps comme la dérivée de sa position par rapport au temps :
−→
v=d−→
r
dt (2.3)
Et son accélération comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps :
−→
a=d−→
v
dt (2.4)
On définit aussi la quantité de mouvement d’un corps comme la multiplication de sa masse et sa vitesse :
−→
p=m−→ v(2.5)
2.1.2 Mouvement à accélération constante
A étudier vous-même
2.1.3 Mouvement parabolique
A étudier vous-même
3

2.1.4 Mouvement relatif
On parle de mouvement relatif quand on met en relation le mouvement par rapport à deux repères différents.
La relation de composition de positions est donné par :
−−→
OM =−−→ OO′+−−−→ O′M(2.6)
Et on applique la définition de la vitesse pour trouver la relation entre les vitesses :
d−−→ OM
dt =d−−→
OO′
dt +d−−−→
O′M
dt (2.7)
De la même façon on trouve des relations pour les accélérations :
d2−−→
OM
dt2=d2−−→
OO′
dt2+d2−−−→
O′M
dt2(2.8)
2.1.5 Mouvement circulaire
2.2 Dynamique du point
2.2.1 Lois de Newton
En 1687, Newton publie dans ces ’Principia’ les trois lois de la dynamique :
1. Dans un repère inertiel, les corps gardent leur état initial, ou bien le repos, ou bien la vitesse, en absence
de forces externes
2. Dans un repère inertiel, la variation de quantité de mouvement est proportionelle à la force qui agit sur
le corps :
d−→ p
dt =−→
F(2.9)
3. Principe d’action et réaction : quand un corps A produit une force sur un corps B, le corps B produit une
force sur le corps A égale en direction et module, mais avec le sens inverse.
2.2.2 La friction
Quand un corps est en equilibre sur une surface, cette surface peut exercer une force pour compenser la force
qui ménerait le corps hors de équilibre. Cette force doit être toujours perpendiculaire à la surface, c’est une
force dite ’normale’.
Le frottement entre la surface et le corps va créer une résistance au mouvement, on va l’appeler force de
frottement. La force de fortement est proportionnelle à la normale exercée par la surface sur le corps et a un
coefficient de frottement µ. Ce coefficient est différent en fonction de si il y a un mouvement relatif ou non. S’il
n’y a pas de mouvement relatif :
FF≤µsN(2.10)
et s’il y a un mouvement relatif :
FF=µdN(2.11)
avec :
µd< µs(2.12)
µd: coefficient de frottement dynamique
µs: coefficient de frottement statique
Ces deux coefficients sont déterminés d’une façon empirique.
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