CTU Master Unité d`Enseignement - page professionnelle de Jean

CTU
Besançon
Master
Mathématiques
Unité d’Enseignement
(( MODULES SUR LES
ANNEAUX PRINCIPAUX ))
Responsable : J.-R. Belliard.
Centre de Télé-enseignement Universitaire.
Besançon.
b[email protected]te.fr1
MMVI
1Toute correspondance relative à l’unité (( MODULES )) (envoi de devoirs, demande de
renseignements sur le cours. . . ) est à adresser à :
Université de Franche-Comté.
Télé-enseignement mathématique.
Jean-Robert Belliard.
25030 BESANÇON CEDEX

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A
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EX 2ε.
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ATable des matières.
Table des matières.
0 Groupes et Anneaux :
Rappel de définitions. 1
0.1 Objets, sous-objets, morphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Noyaux, images, quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Modules sur un anneau commutatif : Généralités. 11
1.1 Modules, sous-modules, applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Noyaux, images, produits directs, sommes directes et quotients . . . . . . . 15
1.3 Systèmes libres, générateurs, bases, rang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Suitesexactes,torsion. ............................. 23
2 Classification des modules de type fini sur les anneaux principaux 27
2.1 Présentation matricielle des modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 le théorème de la base adaptée : énoncé de résultats . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Opérations élémentaires sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Équivalences de matrices : l’algorithme de Smith . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Démonstration du lemme 2.3 pour les anneaux principaux . . . . . . . . . 37
3 Exercices du chapitre 0. 41
3.2 Exercice1. ................................... 41
3.3 Exercice2. ................................... 41
3.4 Exercice3. ................................... 41
3.5 Exercice4. ................................... 41
3.6 Exercice5. ................................... 41
3.7 Exercice6. ................................... 41
3.8 Exercice7. ................................... 42
3.9 Exercice8. ................................... 42
3.10Exercice9. ................................... 42
3.11Exercice10. ................................... 42
4 Exercices du chapitre 1. 43
4.2 Exercice11. ................................... 43
4.3 Exercice12. ................................... 43
4.4 Exercice13. ................................... 43
4.5 Exercice14. ................................... 43
4.6 Exercice15. ................................... 43
4.7 Exercice16. ................................... 44
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BTable des matières.
4.8 Exercice17. ................................... 44
4.9 Exercice18. ................................... 44
4.10Exercice19. ................................... 44
4.11Exercice20. ................................... 44
4.12Exercice21. ................................... 44
4.13Exercice22. ................................... 44
4.14Exercice23. ................................... 45
4.15Exercice24. ................................... 45
4.16Exercice25. ................................... 45
5 Exercices du chapitre 2. 47
5.2 Exercice26. ................................... 47
5.3 Exercice27. ................................... 47
5.4 Exercice28. ................................... 47
5.5 Exercice29. ................................... 47
5.6 Exercice30. ................................... 48
5.7 Exercice31. ................................... 48
6 Corrigé des exercices du chapitre 0 51
6.1 Exercice1. ................................... 51
6.2 Exercice2. ................................... 51
6.3 Exercice3. ................................... 52
6.4 Exercice4. ................................... 52
6.5 Exercice5. ................................... 52
6.6 Exercice6. ................................... 52
6.7 Exercice7. ................................... 53
6.8 Exercice8. ................................... 53
6.9 Exercice9. ................................... 53
6.10Exercice10. ................................... 55
7 Corrigé des exercices du chapitre 1 57
7.11Exercice11. ................................... 57
7.12Exercice12. ................................... 57
7.13Exercice13. ................................... 59
7.14Exercice14. ................................... 59
7.15Exercice15. ................................... 60
7.16Exercice16. ................................... 60
7.17Exercice17. ................................... 60
7.18Exercice18. ................................... 61
7.19Exercice19. ................................... 61
7.20Exercice20. ................................... 61
7.21Exercice21. ................................... 61
7.22Exercice22. ................................... 61
7.23Exercice23. ................................... 62
7.24Exercice24. ................................... 62
7.25Exercice25. ................................... 63
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CTable des matières.
8 Corrigé des exercices du chapitre 2 65
8.26Exercice26. ................................... 65
8.27Exercice27. ................................... 65
8.28Exercice28. ................................... 67
8.29Exercice29. ................................... 67
8.30Exercice30. ................................... 68
8.31Exercice31. ................................... 69
9 Annales. 71
9.1 premierdevoir04/05............................... 71
9.2 solution du premier devoir 04/05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.3 deuxièmedevoir04/05.............................. 73
9.4 solution du deuxième devoir 04/05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.5 Épreuve principale première session 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.6 Solution de l’épreuve principale première session 2005. . . . . . . . . . . . . 78
9.7 Épreuve complémentaire première session 2005. . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.8 Solution de l’épreuve complémentaire première session 2005. . . . . . . . . 81
9.9 Épreuve principale deuxième session 2005. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.10 Solution de l’épreuve principale deuxième session 2005. . . . . . . . . . . . 83
9.11 Épreuve complémentaire deuxième session 2005. . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.12 Solution de l’épreuve complémentaire deuxième session 2005. . . . . . . . . 85
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