Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 1

Terminale S - spécialité
Correction du devoir maison n˚1
Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 1
Exercice 1 :
On dispose de 70 bonbons rouges et 63 bonbons bleus. On souhaite les répartir équitablement dans des sachets.
1. Les différentes combinaisons possibles pour répartir les bonbons rouges correspondent aux différentes décompositions de 70 en produit de deux entiers naturels :
1 sachet de 70 bonbons rouges ;
10 sachet de 7 bonbons rouges ;
2 sachets de 35 bonbons rouges ;
5 sachets de 14 bonbons rouges ;
14 sachets de 5 bonbons rouges ;
35 sachets de 2 bonbons rouges ;
7 sachets de 10 bonbons rouges ;
70 sachets de 1 bonbon rouge.
2. On procède de même avec les 63 bonbons bleus :
1 sachet de 63 bonbons bleus ;
9 sachets de 7 bonbons bleus ;
21 sachet de 3 bonbons bleus ;
3 sachets de 21 bonbons bleus ;
7 sachets de 9 bonbons bleus ;
63 sachets de 1 bonbon bleu.
3. Pour connaı̂tre le nombre de sachets permettant une répartition identique et complète des bonbons, il suffit de
déterminer à l’aide des deux questions précédentes une répartition (nombre de sachets) commune aux bonbons
rouges et bleus. La seule possibilités est une répartition en 7 sachets contennat chacun 10 bons rouges et 9
bonbons bleus.
Exercice 2 :
Supposons que p et q sont deux entiers naturels tels que
1. Montrons que pour tout entier n,
n2
p
q
=
√
2, la fraction
p
q
étant irréductible.
a même parité que n. Nous procédons pas disjonction de cas :
2
2
2
si n est un entier naturel pair alors il existe un entier k tel que n = 2k. Ainsi, n = 4k = 2 × 2k avec
2
2
2k ∈ N. Donc n est un entier pair.
si n est un entier naturel impair alors il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Ainsi, n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 × 2k2 + 2k + 1 avec 2k2 + 2k ∈ N. Donc n2 est un entier
impair.
√
√
2. On sait que pq = 2 (q 6= 0). Il s’en suit que p = 2 × q, et par passage au carré, p2 = 2q 2 . Ainsi, p2 est un
nombre entier pair. D’après la question précédente, p est forcément un entier pair.
3. Puisque p est un entier pair, il existe un entier k tel que p = 2k. De l’écriture précédente p2 = 2q 2 , il vient
4k2 = 2q 2 =⇒ 2k2 = q 2 . On en déduit que q 2 est un nombre pair et que q est aussi un entier pair.
√
4. On déduit des questions précédentes que, s’il existe deux entiers p et q (q 6= 0) tels que pq = 2, la fraction
p
p
q étant irréductible, alors les nombres p et q sont des entiers pairs. Dans ce cas, la fraction
q n’est pas
√
irréductible (on √
peut simplifier par 2 ...). Il y a contradiction. On ne peut donc pas écrire 2 sous la forme
d’une fraction : 2 n’est pas un nombre rationnel.
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11 septembre 2012