Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 1

Terminale S - sp´ecialit´e Correction du devoir maison n˚1
Correction du devoir non surveill´e de math´ematiques no1
Exercice 1 :
On dispose de 70 bonbons rouges et 63 bonbons bleus. On souhaite les r´epartir ´equitablement dans des sachets.
1. Les diff´erentes combinaisons possibles pour r´epartir les bonbons rouges correspondent aux diff´erentes d´ecom-
positions de 70 en produit de deux entiers naturels :
1 sachet de 70 bonbons rouges ;
2 sachets de 35 bonbons rouges ;
5 sachets de 14 bonbons rouges ;
7 sachets de 10 bonbons rouges ;
10 sachet de 7 bonbons rouges ;
14 sachets de 5 bonbons rouges ;
35 sachets de 2 bonbons rouges ;
70 sachets de 1 bonbon rouge.
2. On proc`ede de mˆeme avec les 63 bonbons bleus :
1 sachet de 63 bonbons bleus ;
3 sachets de 21 bonbons bleus ;
7 sachets de 9 bonbons bleus ;
9 sachets de 7 bonbons bleus ;
21 sachet de 3 bonbons bleus ;
63 sachets de 1 bonbon bleu.
3. Pour connaˆıtre le nombre de sachets permettant une r´epartition identique et compl`ete des bonbons, il suffit de
d´eterminer `a l’aide des deux questions pr´ec´edentes une r´epartition (nombre de sachets) commune aux bonbons
rouges et bleus. La seule possibilit´es est une r´epartition en 7 sachets contennat chacun 10 bons rouges et 9
bonbons bleus.
Exercice 2 :
Supposons que pet qsont deux entiers naturels tels que p
q=√2, la fraction p q´etant irr´eductible.
1. Montrons que pour tout entier n,n2a mˆeme parit´e que n. Nous proc´edons pas disjonction de cas :
si nest un entier naturel pair alors il existe un entier ktel que n= 2k. Ainsi, n2= 4k2= 2 ×2k2avec
2k2∈N. Donc n2est un entier pair.
si nest un entier naturel impair alors il existe un entier ktel que n= 2k+ 1.
Ainsi, n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2 ×2k2+ 2k+ 1 avec 2k2+ 2k∈N. Donc n2est un entier
impair.
2. On sait que p
q=√2(q6= 0). Il s’en suit que p=√2×q, et par passage au carr´e, p2= 2q2. Ainsi, p2est un
nombre entier pair. D’apr`es la question pr´ec´edente, pest forc´ement un entier pair.
3. Puisque pest un entier pair, il existe un entier ktel que p= 2k. De l’´ecriture pr´ec´edente p2= 2q2, il vient
4k2= 2q2=⇒2k2=q2. On en d´eduit que q2est un nombre pair et que qest aussi un entier pair.
4. On d´eduit des questions pr´ec´edentes que, s’il existe deux entiers pet q(q6= 0) tels que p
q=√2, la fraction
p
q´etant irr´eductible, alors les nombres pet qsont des entiers pairs. Dans ce cas, la fraction p qn’est pas
irr´eductible (on peut simplifier par 2 ...). Il y a contradiction. On ne peut donc pas ´ecrire √2sous la forme
d’une fraction : √2n’est pas un nombre rationnel.
http://mathematiques.ac.free.fr 11 septembre 2012