Introduction `a la logique TD 6 : structures et interprétations

Introduction `a la logique
TD 6 : structures et interpr´etations (bis)
Pierre Hyvernat
Institut math´ematique de Luminy
bureau 230
t´el´ephone : 04 91 26 96 59
email : [email protected]
http://iml.univ-mrs.fr/~hyvernat/enseignement.html
Exercice 1 :
On note Rl’ensemble des nombres r´eels et R+l’ensemble des nombres r´eels positifs.
Question 1 : soit Lle langage ne contenant qu’une relation binaire R. On d´efinit deux structures
pour L:
–Mavec |M| =Ret RMest la relation ≤;
–Navec |N | = ]0,1[ et RNest la relation ≤.
Montrez que les deux structures sont isomorphes.
Question 2 : on d´efinit une nouvelle structure Spour ce langage :
–|S| =R+et RSest la relation ≤.
Est-ce que cette structure est isomorphe `a M?
Exercice 2 : soit Mune structure sur un langage L; soit Xun ensemble et fune bijection
de Xdans |M|. Faites de Xune structure pour le langage L.
Est-ce que cette structure est isomorphe `a M?
Exercice 3 : si Fest une formule, on note S(F) l’ensemble des entiers npour lesquels Fa un
mod`ele de cardinalit´e n. Dans chacun des cas, d´eterminez une formule Ftelle que S(F) = E:
(les premiers sont faciles, mais les derniers sont difficiles !)
–E=N∗
–E={1, . . . k}
–E=N\ {0,1, . . . k}
–E={k}
–E={n|n= 2 (mod 3)}
–E={n2|n∈N∗}
–E={n|n > 1 et nnon premier}