Électromagnétisme : Devoir Maison n˚2 — LP 205

Électromagnétisme : Devoir Maison n˚2
— LP 205 —
L’atome de Thomson
Brahim Lamine & Nicolas Treps
6 avril 2006
Ce devoir comporte deux exercices et un problème. Les deux exercices contiennent essentiellement des questions de cours, le problème demande par contre un peu plus de réflexion !
Exercice 1 : fission de l’atome d’oxygène
On suppose que le noyau d’un atome d’oxygène se brise tout à coup en deux fragments
identiques se réduisant à deux charges ponctuelles placées en A et B distants de a = 2×10−12 cm.
1. Comparer la valeur de la distance a à la taille d’un atome d’oxygène.
2. Donner l’expression de la force appliquée sur B. Introduire à partir de l’expression de la
force la notion de champ électrique.
3. Calculer le travail nécessaire que doit fournir un opérateur extérieur pour amener de l’infini
la charge B à la distance a de A. En déduire l’expression de l’énergie du système (A+B).
Introduire à partir de cette expression la notion de potentiel.
4. Sachant que Zoxygène = 8, calculer cette énergie.
5. Une fois l’atome brisé, les deux charges A et B vont se repousser. En supposant le système
parfaitement symétrique, et en utilisant la conservation de l’énergie, calculer la vitesse que
vont acquérir ces 2 charges. Commenter.
On donne la masse molaire de l’oxygène Moxygène = 16 g.mol−1 .
Exercice 2 : les conducteurs parfaits
On vous demande ici de redémontrer, rapidement, un certain nombre de propriétés des conducteurs vues en cours.
1. Rappeler la définition d’un conducteur parfait.
2. En déduire la valeur du champ électrique à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre.
3. En déduire le potentiel à l’intérieur du conducteur.
4. Quelle est la densité de charge ρ dans le conducteur ? Où est située la charge dans un
conducteur ?
5. Calculer le champ électrostatique au voisinage immédiat du conducteur. Tracer l’allure des
lignes du champ électrique au voisinage immédiat de sa surface.
On considère maintenant une cavité à l’intérieur de ce conducteur.
6. Démontrer que le champ électrostatique est nul à l’intérieur de cette cavité.
7. En déduire qu’il ne peut pas y avoir de charge superficielle sur la surface intérieure du
conducteur.
1
Licence de physique
LP205
Année 2005-2006
Problème : l’atome de Thomson
+e
En 1907, avant la découverte du noyau par Ernest Rutherford, le
physicien anglais Joseph John Thomson émet l’hypothèse que l’atome
est constitué :
– d’une sphère pleine, positivement et uniformément chargée, dont
le rayon est de l’ordre de quelques Angström ;
– d’électrons ponctuels qui peuvent se déplacer librement à l’intérieur
de la sphère chargée positive. L’atome reste électriquement neutre.
R
m;-e
er
Ainsi, l’atome d’hydrogène est constitué d’une sphère de rayon R, de charge +e et de centre O
et d’un électron de charge −e, de masse m. On prendra les valeurs suivantes pour les applications
numériques :
masse de l’électron : m = 9, 11 × 10−31 kg
vitesse de la lumière : c = 3 × 108 m.s−2
charge élémentaire : e = 1, 6 × 10−19 C
−12
permittivité du vide : ε0 = 8, 8 × 10
(1)
S.I.
◦
rayon de l’atome d’hydrogène : R = 1 A
1. Rappeler la définition de l’Angström.
~
2. En utilisant les règles de symétries, montrer que le champ électrique E(M
) créé par la
sphère pleine en un point M à l’intérieur de la sphère ne dépend que de la distance r au
~
centre et est dirigé radialement vers l’extérieur de telle sorte que E(M
) = E(r) ~er .
3. Utiliser le théorème de Gauss pour calculer la valeur E(r) de ce champ électrique en
fonction de e, r et R.
4. En déduire la force exercée par la sphère pleine sur l’électron que l’on place au point M .
Interpréter cette force.
On cherche maintenant à décrire le mouvement de l’électron sous l’action de cette force. Il est
possible de montrer que ce mouvement est nécessairement plan (plan que nous notons (xOy)) et
que, dans le cas général, l’électron décrit une ellipse autour du centre du noyau. Pour simplifier,
nous allons supposer que le mouvement de l’électron est linéaire, c’est-à-dire que celui se déplace
selon un axe, que nous prendrons égal à l’axe (Ox).
5. Écrire l’équation du mouvement de l’électron le long de cet axe. Montrer qu’elle peut se
mettre sous la forme :
d2 x
+ ω02 x = 0
(2)
dt2
Déterminer ω0 en fonction des données du problème.
6. Montrer que la période d’oscillation T de l’électron s’écrit
4π p
T =
πε0 mR3
e
(3)
7. Calculer T à l’aide des valeurs (1).
8. ∗ Montrer que le potentiel V (0) au centre de la sphère s’écrit :
V (0) =
Devoir maison numéro 2
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3e
8πε0 R
(4)
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Indications : en écrivant la relation entre le potentiel et le champ électrique, calculer,
à une constante près, l’expression du potentiel à l’intérieur de la sphère pour r ≤ R.
Vous remarquerez alors que la valeur du potentiel au centre se réduit à la valeur de cette
constante. Pour la calculer, rappeler l’expression du potentiel à l’extérieur de la sphère et
faire appel à la continuité du potentiel en r = R.
9. Déterminer de ce qui précède l’énergie de ionisation de l’atome d’hydrogène dans le modèle
de Thomson. Exprimer le résultat en électron volt.
Rappel : 1 eV = 1, 6 × 10−19 J.
Question subsidiaire : Lorsqu’un électron décrit une trajectoire périodique, du fait de sa charge
il génère un champ périodique de même période. Ainsi, l’électron en rotation autour du noyau
émet de la lumière. Rappeler la relation entre la longueur d’onde de la lumière et sa période.
Quelle est la longueur d’onde de la lumière émise par l’atome d’hydrogène dans notre modèle ?
À quel domaine du spectre lumineux correspond la longueur d’onde trouvée ?
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