245 Fonctions holomorphes et méromorphes

Leçon 245: Fonctions holomorphes et méromorphes
sur un ouvert de C.
Exemples et applications.
Adrien Fontaine
26 novembre 2012
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Table des matières
1 Généralités sur les fonctions holomorphes 3
1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Holomorphie et différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Fonctions holomorphes. Propriétés générales 5
2.1 FormuledeCauchy................................... 5
2.2 Représentation en séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Lemme de Schwarz et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Fonctions méromorphes 14
3.1 Singularités ....................................... 14
3.2 Théorème des résidus et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES 3
Dans toute la leçon, Ωdésigne un ouvert de C.
1 Généralités sur les fonctions holomorphes
1.1 Définitions et premières propriétés
Définition 1
Soit fune fonction complexe définie sur Ω. Si z0∈Ωet si
lim
z→z0
f(z)−f(z0)
z−z0
existe, alors on dit que fest C-dérivable en z0et on note f0(z0)sa dérivée en z0.
Si f0(z0)existe pour tout z0∈Ω, nous dirons que fest holomorphe sur Ω.
La classe de toutes les fonctions holomorphes sur Ωsera noté H(Ω).
Exemple 1
–z7→ zest holomorphe sur Cde dérivée 1.
–z7→ ¯zn’est C-dérivable en aucun point de C.
Proposition 1
Si f∈H(Ω) et g∈H(Ω), alors f+get fg appartiennent aussi à H(Ω).
De plus, si f∈H(Ω), si f(Ω) ⊂Ω1, et si g∈H(Ω1), alors h=g◦f∈H(Ω) et pour tout
z0∈Ω,
g◦f0(z0) = g0(f(z0))f0(z0)
Démonstration : Rudin, remarques 10.3p242
Exemple 2
– Pour tout n∈N,z7→ znest holomorphe sur C, et de même pour tout polynôme en z.
–z7→ 1
zest holomorphe sur C\ {0}. Et donc, si f1et f2sont dans H(Ω) et si Ω0est un
ouvert de Ωsur lequel f2n’a pas de zéro, alors f1
f2∈H(Ω1).
Définition 2
Une fonction fest dite analytique si elle est développable en série entière dans Ω, c’est à dire
si pour tout D(a, r)⊂Ω, il existe (cn)∈(C)Ntelle que
∀z∈D(a, r), f(z) =
∞
X
n=0
cn(z−a)n
On note A(Ω) l’ensemble des fonctions analytiques sur Ω.
Théorème 1
Si f∈A(Ω), alors f∈H(Ω). De plus f0est aussi analytique sur Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.6p243

1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES 4
Corollaire 1
Si f∈A(Ω), alors fa des dérivées de tout ordre, et toutes ses dérivées sont dans A(Ω).
Démonstration : Rudin, corollaire p244
1.2 Holomorphie et différentiabilité
Proposition 2
Soit fune fonction définie sur un voisinage de z0=x0+iy0. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. fest C-dérivable en z0.
2. fest différentiable en (x0, y0)et on a :
∂f
∂x(x0, y0) + i∂f ∂y (x0, y0) = 0
3. fest différentiable en (x0, y0et df(x0, y0)est C-linéaire.
Si ces conditions sont vérifiées, on a :
f0(z0) = ∂f
∂x(x0, y0) = −i∂f ∂y (x0, y0)
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.2p59
Exemple 3
Ainsi, une fonction holomorphe est différentiable, mais la réciproque est fausse comme le montre
le contre-exemple z7→ ¯zqui est C∞mais pas holomorphe.
Corollaire 2 (Conditions de Cauchy Riemann)
Soit f: Ω →C. On note u=Re(f)et v=Im(f)de sorte que f=u+iv. Alors, les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. fest holomorphe sur Ω
2. fest différentiable sur Ωet 
∂u
∂x =∂v ∂y
∂u
∂y =−∂v ∂x
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.14p57
Exemple 4
Les conditions de Cauchy-Riemann, seules, ne suffisent pas pour caractériser l’holomorphie,
l’hypothèse de R-différentiabilité est nécessaire. Par exemple, la fonction f(z) = q|xy|pour
tout z=x+iy n’est pas holomorphe en 0, bien que les parties réelles et imaginaires uet vde f
possèdent des dérivées partielles en 0, et qu’elles vérifient les conditions de Cauchy-Riemann.

2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES 5
Proposition 3
Si Ωest un ouvert connexe de Cet si f∈H(Ω), alors si f0est identiquement nulle sur Ω, alors
fest constante.
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.6p61
Proposition 4
On suppose que Ωest un ouvert connexe et que f∈H(Ω). Alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. fest constante sur Ω.
2. Re(f)est constante sur Ω.
3. Im(f)est constante sur Ω.
4. |f|est constante sur Ω.
5. ¯ f∈H(Ω).
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.7p61
2 Fonctions holomorphes. Propriétés générales
2.1 Formule de Cauchy
Définition 3
Un chemin est une application γde classe C1par morceaux, définie sur un segment compact
[α, β]⊂R, à valeur dans C. Si de plus, γ(α) = γ(β), on dit que γest un chemin fermé. On
note γ∗l’image de [α, β]par γ.
Définition 4
Si γest un chemin et si fest continue sur γ∗, l’intégrale de fle long de γest définie par :
Zγf=Zγf(z)dz =Zβ
αf(γ(t))γ0(t)dt