245 Fonctions holomorphes et méromorphes

Leçon 245: Fonctions holomorphes et méromorphes
sur un ouvert de C.
Exemples et applications.
Adrien Fontaine
26 novembre 2012
1
Table des matières
1 Généralités sur les fonctions holomorphes
1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Holomorphie et différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
2 Fonctions holomorphes. Propriétés générales
2.1 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Représentation en séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lemme de Schwarz et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
13
3 Fonctions méromorphes
3.1 Singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorème des résidus et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
17
2
1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES
3
Dans toute la leçon, Ω désigne un ouvert de C.
1
Généralités sur les fonctions holomorphes
1.1
Définitions et premières propriétés
Définition 1
Soit f une fonction complexe définie sur Ω. Si z0 ∈ Ω et si
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
z − z0
existe, alors on dit que f est C-dérivable en z0 et on note f 0 (z0 ) sa dérivée en z0 .
Si f 0 (z0 ) existe pour tout z0 ∈ Ω, nous dirons que f est holomorphe sur Ω.
La classe de toutes les fonctions holomorphes sur Ω sera noté H(Ω).
Exemple 1
– z 7→ z est holomorphe sur C de dérivée 1.
– z→
7 z̄ n’est C-dérivable en aucun point de C.
Proposition 1
Si f ∈ H(Ω) et g ∈ H(Ω), alors f + g et f g appartiennent aussi à H(Ω).
De plus, si f ∈ H(Ω), si f (Ω) ⊂ Ω1 , et si g ∈ H(Ω1 ), alors h = g ◦ f ∈ H(Ω) et pour tout
z0 ∈ Ω,
g ◦ f 0 (z0 ) = g 0 (f (z0 ))f 0 (z0 )
Démonstration : Rudin, remarques 10.3p242
Exemple 2
– Pour tout n ∈ N, z 7→ z n est holomorphe sur C, et de même pour tout polynôme en z.
– z 7→ z1 est holomorphe sur C \ {0}. Et donc, si f1 et f2 sont dans H(Ω) et si Ω0 est un
ouvert de Ω sur lequel f2 n’a pas de zéro, alors ff12 ∈ H(Ω1 ).
Définition 2
Une fonction f est dite analytique si elle est développable en série entière dans Ω, c’est à dire
si pour tout D(a, r) ⊂ Ω, il existe (cn ) ∈ (C)N telle que
∀z ∈ D(a, r), f (z) =
∞
X
cn (z − a)n
n=0
On note A(Ω) l’ensemble des fonctions analytiques sur Ω.
Théorème 1
Si f ∈ A(Ω), alors f ∈ H(Ω). De plus f 0 est aussi analytique sur Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.6p243
1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES
4
Corollaire 1
Si f ∈ A(Ω), alors f a des dérivées de tout ordre, et toutes ses dérivées sont dans A(Ω).
Démonstration : Rudin, corollaire p244
1.2
Holomorphie et différentiabilité
Proposition 2
Soit f une fonction définie sur un voisinage de z0 = x0 + iy0 . Les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. f est C-dérivable en z0 .
2. f est différentiable en (x0 , y0 ) et on a :
∂f
∂f
(x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = 0
∂x
∂y
3. f est différentiable en (x0 , y0 et df (x0 , y0 ) est C-linéaire.
Si ces conditions sont vérifiées, on a :
f 0 (z0 ) =
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = −i (x0 , y0 )
∂x
∂y
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.2p59
Exemple 3
Ainsi, une fonction holomorphe est différentiable, mais la réciproque est fausse comme le montre
le contre-exemple z 7→ z̄ qui est C ∞ mais pas holomorphe.
Corollaire 2 (Conditions de Cauchy Riemann)
Soit f : Ω → C. On note u = Re(f ) et v = Im(f ) de sorte que f = u + iv. Alors, les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. f est holomorphe sur Ω
2. f est différentiable sur Ω et

 ∂u
∂x
 ∂u
∂y
∂v
= ∂y
∂v
= − ∂x
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.14p57
Exemple 4
Les conditions de Cauchy-Riemann, seules, ne suffisent pas pour caractériser l’holomorphie,
q
l’hypothèse de R-différentiabilité est nécessaire. Par exemple, la fonction f (z) = |xy| pour
tout z = x + iy n’est pas holomorphe en 0, bien que les parties réelles et imaginaires u et v de f
possèdent des dérivées partielles en 0, et qu’elles vérifient les conditions de Cauchy-Riemann.
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
5
Proposition 3
Si Ω est un ouvert connexe de C et si f ∈ H(Ω), alors si f 0 est identiquement nulle sur Ω, alors
f est constante.
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.6p61
Proposition 4
On suppose que Ω est un ouvert connexe et que f ∈ H(Ω). Alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
1. f est constante sur Ω.
2. Re(f ) est constante sur Ω.
3. Im(f ) est constante sur Ω.
4. |f | est constante sur Ω.
5. f¯ ∈ H(Ω).
Démonstration : Tauvel, proposition 5.2.7p61
2
Fonctions holomorphes. Propriétés générales
2.1
Formule de Cauchy
Définition 3
Un chemin est une application γ de classe C 1 par morceaux, définie sur un segment compact
[α, β] ⊂ R, à valeur dans C. Si de plus, γ(α) = γ(β), on dit que γ est un chemin fermé. On
note γ ∗ l’image de [α, β] par γ.
Définition 4
Si γ est un chemin et si f est continue sur γ ∗ , l’intégrale de f le long de γ est définie par :
Z
γ
f=
Z
γ
f (z)dz =
Z β
α
f (γ(t))γ 0 (t)dt
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
6
Théorème 2
Soit γ un chemin fermé, et Ω le complémentaire de γ ∗ relativement au plan complexe. On
définit :
1 Z dξ
∀z ∈ Ω, Indγ (z) =
2iπ γ ξ − z
La fonction Indγ est une fonction à valeurs entières sur Ω, constante sur chaque composante
connexe de Ω, nulle sur la composante connexe non bornée de Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.10p247
Intuitivement, il y a plusieurs façons d’entourer un point z : une courbe peut en faire plusieurs
fois le tour dans un sens ou dans l’autre. La notion d’indice d’une courbe par rapport à z quantifie
ce phénomène.
Exemple 5
Si γ est le cercle orienté positivement de centre a et de rayon r, on a :

1
Indγ (z) = 
0
si |z − a| < r
si |z − a| > r
Démonstration : Rudin, théorème 10.11p248
Théorème 3 (Théorème de Cauchy pour un triangle)
Soit ∆ un triangle fermé inclus dans Ω. Soit pΩ et soit f une fonction continue sur Ω telle que
f ∈ H(Ω \ {p}). On a :
Z
f (z)dz = 0
∂∆
Démonstration : Rudin, théorème 10.13p249
Théorème 4 (Théorème de Cauchy pour un ensemble convexe)
On suppose que Ω est convexe, p ∈ H(Ω) et f ∈ H(Ω \ {p}). On a pour tout chemin fermé γ
dans Ω :
Z
f (z)dz = 0
γ
Démonstration : Rudin, théorème 10.14p250
Théorème 5 (Formule de Cauchy pour un ensemble convexe)
Soit γ un chemin fermé dans un ouvert convexe Ω et soit f ∈ H(Ω). Si z ∈ Ω et si z ∈
/ γ ∗ , on
a:
1 Z f (ξ)
f (z)Indγ (z) =
dξ
2iπ γ ξ − z
Le cas le plus intéressant est évidemment le cas où Indγ (z) = 1.
Démonstration : Rudin, théorème 10.15p250
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
7
Théorème 6
Toute fonction holomorphe sur Ω est analytique sur Ω. Plus précisément,
1. f est analytique et le rayon de convergence de la série entière au point a est au moins
égal à d(a, C \ Ω).
2. Si Ω est convexe, et si γ est un chemin fermé dans Ω tel que a ∈
/ γ ∗ , on a :
f
(n)
n! Z
f (ξ)
(a)Indγ (a) =
dξ
2iπ γ (ξ − a)(n+1)
pour tout n ∈ N.
Démonstration : Rudin, théorème 10.16p250 + Tauvel, théorème 6.5.2p77
Le théorème de Cauchy a une réciproque utile :
Théorème 7 (Théorème de Morera)
Soit f une fonction continue complexe sur un ouvert Ω telle que pour tout triangle fermé
∆ ⊂ Ω,
Z
f (z)dz = 0
∂∆
Alors f ∈ H(Ω).
Démonstration : Rudin, théorème 10.17p251
2.2
Représentation en séries entières
Théorème 8 (Théorème des zéros isolés)
On suppose que Ω est un ouvert connexe non vide. Soit f ∈ H(Ω). Posons :
Z(f ) = {a ∈ Ω/f (a) = 0}
Alors ou bien Z(f ) = Ω ou bien Z(f ) n’a pas de point d’accumulation dans Ω. Dans ce dernier
cas, à chaque a ∈ Z(f ) correspond un unique entier positif m tel que
∀z ∈ Ω, f (z) = (z − a)m g(z)
où g ∈ H(Ω) et g(a) 6= 0. De plus„ Z(f ) est au plus dénombrable.
Démonstration : Rudin, théorème 10.18p251
Corollaire 3
Si f et g sont des fonctions holomorphes sur un ouvert connexe Ω et si f (z) = g(z) pour tout
z dans un ensemble ayant un point d’accumulation dans Ω, alors f (z) = g(z) pour tout z dans
Ω.
Démonstration : Rudin, corollaire p252
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
8
Théorème 9
Si f est définie par
∀z ∈ D(a, R), f (z) =
+∞
X
cn (z − a)n
n=0
et si 0 < r < R, on a :
+∞
X
2 2n
|cn | r
n=0
1 Zπ
|f (a + reiθ )|2 dθ
=
2π −π
Démonstration : Rudin, théorème 10.22p254
Théorème 10 (Théorème de Liouville)
Toute fonction entière (i.e holomorphe sur tout le plan complexe) et bornée est constante.
Démonstration : Rudin, théorème 10.23p254
Théorème 11
On suppose que Ω est un ouvert connexe non vide, f ∈ H(Ω) et D̄(a, r) ⊂ Ω où r > 0. Alors :
|f (a)| ≤ max |f (a + reiθ )|
θ
avec égalité si et seulement si, f est constante sur Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.24p254
Par conséquent, à moins que f ne soit constante, |f | ne possède pas de maximum en un point
quelconque de Ω.
Corollaire 4
Avec les mêmes hypothèses, si f ne s’annule pas dans D(a, r),
|f (a)| ≥ min |f (a + reiθ )|
θ
Démonstration : Rudin, corollaire p255
Applications :
1. Théorème 12 (Théorème de d’Alembert-Gauss)
Tout polynôme P ∈ C[X] de degré n a exactement n racines (comptées avec leur ordre de
multiplicité) dans le plan complexe.
Démonstration : Rudin, théorème 10.25p255
Théorème 13 (Holomorphie sous le signe somme)
Soit (X, A, µ) un espace mesuré, et f : Ω × X → C. Posons :
∀z ∈ C, F (z) =
Z
X
f (z, x)dµ(x)
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
9
On suppose que :
2. – Pour tout z ∈ Ω, l’application x 7→ f (z, x) est mesurable.
– Pour presque tout x ∈ X, z 7→ f (z, x) est holomorphe.
– Pour tout compact K de Ω, il existe gK ∈ L1 (X) (indépendant de z) telle que |f (z, x)| ≤ g(x
pour presque tout x ∈ X et pour tout z ∈ K.
Alors F est holomorphe sur Ω et pour tout z ∈ Ω, et tout n ∈ N,
F
(n)
(z) =
Z
X
∂ nf
(z, x)dµ(x)
∂z n
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.34 pour la formulation et Tauvel, p91 pour la
démonstration
Applications : Transformée de Fourier holomorphe et théorèmes de Paley-Wiener
Usuellement, la transformée de Fourier d’une fonction f définie sur R est considérée comme une
fonction fˆ, également définie sur R. Il est souvent possible de prolonger fˆ en une fonction holomorphe sur un certain domaine du plan complexe. Le théorème de Morera permet de démontrer
deux théorèmes de Paley et Wiener, qui donnent deux classes de fonctions qui assurent l’holomorphie de fˆ sur certains domaines. On désigne par Π+ l’ensemble {z ∈ C/Im(z) > 0} 1 .
Théorème 14 (Premier théorème de Paley-Wiener)
1. Soit F ∈ L2 (R) telle que F ≡ 0 sur ] − ∞, 0[. Alors la fonction f définie sur Π+ par
+
∀z ∈ Π , f (z) =
Z +∞
F (t)eitz dt
(1)
0
est holomorphe sur Π+ et ses restrictions aux droites horizontales de Π+ constituent un
sous-ensemble borné de L2 (R).
2. Réciproquement, soit f ∈ H(Π+ ) telle que
1 Z +∞
|f (x + iy)|2 dx = C < +∞
sup
0<y<+∞ 2π −∞
Alors, il existe F ∈ L2 (R+ ) telle que
∀z ∈ Π+ , f (z) =
Z +∞
F (t)eitz dt
0
et
Z +∞
|F (t)|2 dt = C
0
Démonstration :
1. Montrons que f est holomorphe sur Π+ .
+
– ∀z ∈ Π , t 7→ F (t)eitz est mesurable
– ∀t ∈]0, +∞[, z 7→ F (t)eitz est holomorphe sur Π+
– Soit K un compact de Π+ . Alors il existe δ > 0 tel que ∀ ∈ K, Im(z) > ∆. On a alors
−δt
∀t ∈]0, +∞[∀z ∈ K, |F (t)eitz | ≤ |F (t)| e|{z}
∈ L1
| {z }
∈L2
1. ou demi-plan de Poincarré pour les intimes
∈L2
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Donc d’après le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale, f est holomorphe sur Π+ .
Récrivons maintenant (1) sous la forme,
Z +∞
f (x + iy) =
F (t)e−ty eitx dt
0
Considérons y comme fixé. On a alors d’après le théorème de Plancherel,
1
2π
Z +∞
2
|f (x + iy)| dx =
−∞
Z +∞
|F (t)|2 e−2ty dy
0
≤
Z +∞
|F (t)|2 dt
0
Donc, les restriction de f aux droites horizontales de Π+ constituent un sous ensemble borné
de L2 (] − ∞, +∞[).
2. La fonction F que nous recherchons doit posséder la propriété suivante : f (x + iy) est la
transformée de Fourier de F (t)e−yt (où y est considéré comme une constante strictement
positive).
Si on utilise la formule d’inversion, la fonction F souhaitée devra être de la forme
F (t) = ety
1
2π
Z +∞
f (x + iy)e−itx dx
−∞
1
f (z)e−itz dz
=
2π
où la dernière intégrale est prise sur une droite horizontale de Π+ . La valeur de cette intégrale
ne doit pas dépendre du choix d’une droite particulière, ce qui suggère un appel au théorème
de Cauchy.
Soit y fixé tel que 0 < y < +∞. Pour tout α > 0, on définit Γα comme le chemin rectangulaire
dont les sommets sont ±α + i et ±α + iy (faire un dessin).
D’après le théorème de Cauchy, on a :
Z
Z
f (z)e−itz dz = 0
Γα
Soit
Z
Φ(β) =
[β+i,β+iy]
f (z)e−itz dz pour β ∈ R
On note I = (1, y).
Alors,
2
|Φ(β)| = |
≤
Z
f (β + iu)e−it(β+iu) du|2
Z I
|f (β + iu)|2 du ×
I
Z
e2tu du d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz
I
Définissons maintenant
Z
Λ(β) =
|f (β + iu)|2 du
I
Alors,
1
2π
=
Z +∞
Λ(β)dβ
−∞
1
2π
Z +∞ Z
(
−∞
1
2π
I
≤ Cλ(I)
Z
=
Z
I
+∞
(
−∞
|f (β + iu)|2 du)dβ
|f (β + iu)|2 dβ)du par Fubini-Tonelli
10
11
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
où λ désigne la mesure de Lebesgue sur R.
Donc, il existe donc une suite (αj )j∈N ∈ RN
+ telle que αj → +∞ et Λ(αj ) + Λ(−αj ) → 0.
Comme
Z
2
|Φ(β)| ≤ Λ(β) × e2u du
I
On a :
|Φ(αj )| ≤ Λ(αj ) ×
Z
e2u du
I
Or Λ(αj ) ≥ 0 et Λ(−αj ) ≥ 0, donc
(
Λ(αj )
→0
Λ(−αj ) → 0
(
→0
→0
D’où,
Φ(αj )
Φ(−αj )
On remarque par ailleurs, que ceci a lieu pour tout t et que la suite (αj ) ne dépend pas de t.
On pose alors :
Z
1 +αj
gj (y, t) =
f (x + iy)e−itx dx
2π −αj
Alors,
1
0=
2π
Z
f (z)e−itz dz
Γαj
= gj (y, t)ety − et gj (1, t) + Φ(αj ) + Φ(−αj )
{z
|
→0
}
Donc,
lim
j→+∞
h
i
ety gj (y, t) − et gj (1, t) = 0
(2)
et ce pour tout t ∈ R.
Notons fy (x) au lieu de f (x + iy). Par hypothèse, fy ∈ L2 (R). Donc, d’après le théorème de
Plancherel,
Z +∞
lim
|fˆy (t) − gj (y, t)|2 dt = 0
j→+∞ −∞
Donc, il existe une sous-suite de (gj (y, t))j∈N qui converge vers fˆy (t) pour presque tout t.
On pose
F (t) = et fˆ1 (t)
Grâce à (2), on a alors pour tout 0 < y < +∞ et pour presque tout t :
F (t) = eyt fˆy (t)
(3)
On applique alors le théorème de Plancherel :
Z +∞
−∞
e−2ty |F (t)|2 dt =
Z +∞
−∞
1
=
2π
|fˆy (t)|2 dt
Z +∞
−∞
|fy (x)|2 dx ≤ C
(4)
(5)
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
12
Si on fait tendre y vers +∞ dans (3), on a grâce à (4), F (t) = 0 presque partout sur ]−∞, 0[.
Par ailleurs, si on fait tendre y vers 0 dans (4), on obtient
Z +∞
|F (t)|2 dt ≤ C
0
Enfin,
−ty
fˆy (t) = e|{z}
F (t) ∈ L1
| {z }
∈L2 ∈L2
Donc, fˆy ∈ L1 .
Comme fy ∈ L2 , on peut appliquer le théorème d’inversion :
Z +∞
fy (x) =
−∞
fˆy (t)eitx dt
ou encore
Z +∞
f (z) =
F (t)e−yt eitx dt
0
Z +∞
=
F (t)eitz dt
0
Théorème 15 (Deuxième théorème de Paley-Wiener)
1. Soit 0 < A < +∞ et F ∈ L2 ([−A, A]). Alors la fonction f définie sur C par
Z A
∀z ∈ C, f (z) =
F (t)eitz dt
−A
est une fonction entière qui vérifie
∀z ∈ C, |f (z)| ≤
Z A
|F (t)|dteA|z|
−A
et dont la restriction à l’axe réel appartient à L2 .
2. Réciproquement, soient A et C deux constantes positives, et soit f une fonction entière
telle que pour tout z ∈ C,
|f (z)| ≤ CeAz
On suppose aussi que
Z +∞
|f (x)|2 dx < +∞
−∞
Alors, il existe une fonction F ∈ L2 ([−A, A]) telle que pour tout z ∈ C,
f (z) =
Z A
−A
Démonstration : Rudin, théorème 19.3p421
F (t)eitz dt
2 FONCTIONS HOLOMORPHES. PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
2.3
13
Lemme de Schwarz et applications
Lemme 1 (Lemme de Schwarz)
Soit f ∈ H(D(0, 1)) telle que f 0) = 0 et |f (z)| < 1 pour tout z ∈ D(0, 1). Alors on a :
1. ∀z ∈ D(0, 1), |f (z)| ≤ |z|
2. |f 0 (0)| ≤ 1 En outre, si |f 0 (0)| = 1 ou s’il existe z ∈ D(0, 1) \ {0} tel que |f (z)| = |z|,
alors il existe λ ∈ C tel que |λ| = 1 et f (z) = λz pour tout z ∈ D(0, 1).
Démonstration : Tauvel, théorème 7.3.1p87
Définition 5
Soient U et V des ouverts de C. Un isomorphisme analytique de U sur V est une bijection
de f sur U telle que f ∈ H(U ) et f −1 ∈ H(V ). On note Isom(U, V ) l’ensemble des isomorphismes analytiques de U sur V et Aut(U ) = Isom(U, U ). Un élément de Aut(U ) est appelé
un automorphisme de U .
Remarque 1
Si U et V sont isomorphes, alors ils sont homéomorphes. La réciproque est fausse, comme le
montre le contre-exemple suivant :
Proposition 5
Les ensembles C et D(0, 1) sont homéomorphes mais non isomorphes.
Démonstration : Tauvel, 7.3.2p87
Si a ∈ D(0, 1), on définit ϕa : D(0, 1) → C par :
ϕa (z) =
z−a
1 − āz
On remarque que ϕa est encore défini si |z| = 1, et que si t ∈ R :
eit − a
|ϕa (e )| = | −it
=1
e − ā
it
On a alors ϕa (D(0, 1)) ⊂ D(0, 1). Et on vérifie immédiatement que ϕa ◦ ϕ−a = Id. Donc, ϕa ∈
Aut(D(0, 1)).
Théorème 16
L’ensemble Aut(D(0, 1)) est constitué des applications λϕa , avec |λ| = 1 et a ∈ D(0, 1).
Démonstration : Tauvel, théorème 7.3.3p88
Théorème 17
Soit P = {z ∈ C/Re(z) > 0}. L’ensemble Aut(P ) est constitué des applications
z 7→
avec a, b, c, d ∈ R et ad − bc > 0.
az + b
cz + d
14
3 FONCTIONS MÉROMORPHES
Démonstration : Tauvel, théorème 7.3.5p88
Pour plus de précisions sur cette partie et son intérêt, on peut lire les quelques lignes dans Objectif Agrégation page 60, sur le problème
de la représentation conforme. Le résultat fondamental étant le théorème de la représentation conforme de Riemann. On peut en trouver
la démonstration dans Rudin, théorème 14.8p330. On rappelle pour information son énoncé, il est bon de le savoir mais dangereux de
la mettre dans un plan (démonstration difficile et théorie non triviale autour).
Avant toute chose, il est nécessaire de rappeler quelques définitions sur la notion d’homotopie et de simple connexité.
Définition 6
1. Deux courbes fermés γ1 et γ2 dans Ω, ayant même origine a et même extrémité b sont dits homotopes dans Ω s’il existe
une application continue H de [0, 1] × [0, 1] dans Ω telle que
– ∀t ∈ [0, 1], H(t, 0) = γ1 (t) et H(t, 1) = γ2 (t).
– ∀u ∈ [0, 1], H(0, u) = H(1, u)
S’il en est ainsi, on dit que H est une homotopie de γ1 à γ2 . Le sens intuitif est que γ1 peut être continument déformé en
γ2 .
2. Si une courbe fermée γ1 est homotope à une application constante, on dit que γ1 est d’homotopie nulle dans Ω.
3. Si Ω est connexe, et si toute courbe fermée est d’homotopie nulle dans Ω, on dit que Ω est simplement connexe.
Théorème 18 (Théorème de représentation conforme de Riemann)
Tout ouvert simplement connexe Ω du plan (autre que le plan lui même) est conformément équivalent au disque unité ouvert.
Autrement dit, Isom(Ω, D(0, 1)) 6= ∅.
3
Fonctions méromorphes
3.1
Singularités
Soit une fonction holomorphe sur un ouvert Ω ayant un "trou". On veut expliquer le comportement de f en tenant compte de ce
"trou" et pour cela donner un développement de f avec des fonctions simples qui font intervenir le "centre du trou". Les séries entières
ne suffisent plus et on introduit les séries de Laurent.
Théorème 19 (Développement en série de Laurent)
Soit f une fonction holomorphe sur une couronne K(a, ρ1 , ρ2 ) avec 0 ≤ ρ1 < ρ2 ≤ +∞. Alors
f est développable en série de Laurent dans cette couronne : il existe une famille de nombres
complexes (an )n∈Z telle que
∀z ∈ K(a, ρ1 , ρ2 ), f (z) =
+∞
X
an (z − a)n
n=−∞
De plus, la convergence est normale sur tout compact de la couronne.
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.27p65
Définition 7
Soient f une fonction holomorphe sur un ouvert Ω et a ∈
/ Ω. On dit que a est une singularité
isolée de f s’il existe ρ > 0 tel que K(a, 0, ρ) ⊂ Ω.
On s’intéresse au comportement de la fonction f dans un voisinage de a. Le développement en
séries de Laurent dans K(a, 0, ρ) nous amène à distinguer trois types de singularités isolées.
3 FONCTIONS MÉROMORPHES
15
Définition 8
– Si pour tout n < 0, an = 0, alors a est une singularité artificielle.
– S’il existe N > 0 tel que pour tout n < −N , an = 0 et a−N 6= 0, alors a est un pôle
d’ordre N .
– S’il existe une infinité de n < 0 tel que an 6= 0, alors est un singularité essentielle.
Exemple 6
La fonction z 7→ exp(1/z) admet en 0 une singularité essentielle.
Démonstration : Objectif Agrégation, exemple 2.29p66
Définition 9
Une fonction f est méromorphe sur un ouvert Ω s’il existe un ensemble A ⊂ Ω tel que :
1. A n’a pas de point d’accumulation dans Ω.
2. f ∈ H(Ω \ A).
3. Chaque point de A est un pôle pour f .
On note M (Ω) l’ensemble des fonctions méromorphes sur Ω.
Remarque 2
On exclut pas la possibilité A = ∅. En particulier, toute fonction holomorphe sur Ω est méromorphe sur Ω.
Proposition 6
On suppose Ω connexe. Si g, h ∈ H(Ω) \ {0}, alors g/h ∈ M (ω).
Démonstration : Tauvel, 8.3.2p101
Proposition 7
Si Ω est connexe, alors l’ensemble M (Ω) est un corps.
Démonstration : Tauvel, proposition 8.3.4p101
Théorème 20
Soit (fn ) une suite de fonctions méromorphes sur Ω telle que pour tout compact K ⊂ Ω, ∃NK
P
tel que ∀n ≥ NK , les fn n’ont pas de pôle dans K et que, n≥NK fn converge uniformément
sur K. Alors la somme de cette série est méromorphe sur Ω et on peut dériver la série terme
à terme.
Démonstration : Objectif Agrégation, théorème 2.42p71
L’hypothèse permet d’isoler les pôles sur tout compact dans une somme finie et de traiter le reste comme une conséquence
du théorème de Weierstrass.
Application :
Développement :Prolongement méromorphe de Γ sur C
Proposition 8
Considérons la fonction Γ d’Euler définie sur P = {z/Re(z) > 0} par
Γ : P →
C
R +∞ −t z−1
z 7→ 0 e t dt
16
3 FONCTIONS MÉROMORPHES
La fonction Γ est holomorphe sur P et se prolonge en une fonction méromorphe sur C.
Démonstration : Γ est holomorphe sur P. En effet :
– ∀z, t 7→ e−t tz−1 est mesurable sur R+ .
– ∀t, z 7→ e−t tz−1 est holomorphe sur P.
– Soit K un compact de P. On a Re(z) ∈ [ε, M ], pour tout z ∈ K pour un certain ε > 0 et
un M > 0. D’où, pour tout z ∈ K :
|e−t tz−1 | ≤ e(ε−1) ln(t) =
1
t1−ε
si t ∈]0, 1]
≤ tM −1 e−t si t ≥ 1
et ces deux fonctions sont intégrables.
On peut alors appliquer le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale pour en déduire l’holomorphie de Γ sur P.
Montrons que pour tout z ∈ P :
+∞
X
(−1)n
Γ(z) =
+
n!(z + n)
n=0
On a :
Z 1
Γ(z) =
e−t tz−1 dt +
Z +∞
e−t tz−1 dt
1
Z +∞
e−t tz−1 dt
1
0
On écrit alors :
+∞
X
(−1)n n+z−1
t
n!
n=0
e−t tz−1 =
et on va essayer d’intervertir somme et intégrale dans
Z 1
Z 1 +∞
X (−1)n
tn+z−1 dt
e−t tz−1 dt =
0 n=0
0
n!
Il suffit pour cela de montrer que
Z 1 +∞
X (−1)n
|
tn+z−1 |dt < +∞
0 n=0
n!
Or,
+∞
X
n=0
|
(−1)n n+z−1
t
| = tRe(z)−1 et
n!
Comme Re(z) > 0 sur P, t 7→ tRe(z)−1 et est intégrable et on obtient d’après le théorème de Fubini
que :
Z 1
+∞
X (−1)n
e−t tz−1 dt =
n!(z + n)
0
n=0
n
(−1)
Montrons maintenant que f : z 7→ +∞
n=0 n!(z+n) est méromorphe sur C et ses pôles sont les entiers
négatifs ou nuls, et ils sont simples.
(−1)n
– Pour tout n, fn : z 7→ n!(z+n)
est méromorphe sur C avec pour seul pôle simple l’entier −n.
¯ N ) et ∀n > N , fn n’a pas de
– Soit K un compact de C : il existe N ∈ N tel que K ⊂ D(0,
P
pôle dans K. De plus,
∀z ∈ K, |z + n| ≥ n − |z| ≥ n − N
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3 FONCTIONS MÉROMORPHES
Donc,
∀z ∈ K, |fn (z)| ≤
1
n!(n − N )
P
Et donc, on peut appliquer le théorème de méromorphie sous le signe somme car n>N fn
est normalement convergente sur K.
Donc, f est ine fonction méromorphe sur C, ses pôles simples étant les entiers négatifs.
On peut maintenant conclure quant au prolongement de Γ en une fonction méromorphe sur C.
On applique le théorème d’holomorphie sous le signe intégrale.
∀t ≥ 1, z 7→
Z +∞
e−t tz−1 dt
1
est holomorphe sur C tout entier. Alors,
z 7→
+∞
X
(−1)n
+
n!(z + n)
n=0
Z +∞
e−t tz−1 dt
1
établit une prolongement méromorphe de la fonction Γ sur C.
Le théorème de prolongement analytique entraîne de plus que c’est le seul prolongement analytique
de Γ sur l’ouvert connexe C \ N.
3.2
Théorème des résidus et applications
Théorème 21 (Théorème des résidus)
Soient Ω un ouvert convexe de C, a1 , ..., an des points deux à deux distincts de Ω et f ∈
H(Ω \ {a1 , ..., an }). On suppose que chaque ak est un pôle de f . Si γ est un chemin fermé dans
Ω dont l’image ne contient aucun des ak , alors on a :
Z
f (z)dz = 2iπ
γ
n
X
Indγ (ak )Res(f, ak )
k=1
où Res(f, ak ) correspond au développement c−1 de f en série de Laurent en ak .
Démonstration : Tauvel, théorème 8.4.3p103
Application :
1. Calcul d’intégrale :
Proposition 9 (Intégrale de Fresnel)
Z +∞
−∞
e
ix2
r
dx =
π
(1 + i)
2
2. Dénombrement des zéros :
Théorème 22 (Théorème de Rouché)
Soient Ω un ouvert convexe de C, f, g ∈ H(Ω) et γ un chemin fermé dans Ω. On suppose
18
3 FONCTIONS MÉROMORPHES
vérifiées les conditions suivantes :
(a) f (resp. g) n’a qu’un nombre fini a1 , ..., am (resp. b1 , ..., bn ) de zéros dans Ω comptés ave
leur multiplicité.
(b) Pour tout z ∈ γ ∗ , on a |f (z) − g(z)| < |f (z)|.
Alors :
m
X
Indγ (ak ) =
k=1
n
X
Indγ (bj )
j=1
Démonstration : Tauvel, théorème 8.6.2p106
Corollaire 5
Soient Ω un ouvert de C, a ∈ Ω et r > 0 tels que D0 (a, r) ⊂ Ω. Soient f, g ∈ H(Ω) vérifiant
|f (z) − g(z)| < |f (z)| pour tout z ∈ C(a, r). Alors f et g ont même nombre de zéros (comptés
avec leur multiplicité) dans D(a, r).
Démonstration : Tauvel, corollaire 8.6.3p107