Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP

Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP
Mme ACHKAR Yamina
2015/2016
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UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH Année Universitaire 2015/2016
FACULTE DES SCIENCES DHAR EL MAHRAZ - FES
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE
T.D de Physique Quantique - SMP - S5
SERIE N°4
Exercice1/ Moment cinétique
On considère une particule ayant un moment cinétique J et se trouve dans un état propre
mj,
de J2 et Jz correspondant au couple de valeurs propres
 metjj )1( 2
.
1) Calculer les éléments de matrice suivants:
 ,  ,  ,  et 
2) En déduire l’expression de la valeur moyenne de Jx et Jy dans l’état
mj,
, ainsi que les
écarts quadratiques moyens ΔJx et ΔJy.
3) On suppose que la particule a pour moment cinétique j = 1, en utilisant les résultats de la
1ère question, écrire les matrices représentant J2, Jz, J, Jx, Jy dans la base
mj,
.
3) Cette particule est soumise à un gradient de champ électrique et son hamiltonien s’écrit
alors:
)( 22
0vu JJH  
ou Ju et Jv sont les composantes de J sur les directions Ou et Ov du
plan XOZ à 45 de OX et OZ, et ω0 est une constante réelle. Donner l’expression de H en
fonction de Jx, Jy et Jz et écrire la matrice qui représente cet hamiltonien dans la base
mj,
5) Déterminer les énergies propres et les états stationnaires
1 2 3
, ,
de cette particule.
6) A t=0 la particule est dans l’état
01
211 1 1  , ,
quel l’état du système à l’instant
t ?
Exercice 2/ Partie A : Oscillateur harmonique à 2 dimensions
Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan XOY et qu'elle est soumise
au potentiel harmonique . Ce système est un oscillateur harmonique à 2 dimensions de

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pulsation ω, dont le potentiel est :
On pose : 
 ;    ; 
 ; 
avec 
 ; 
 ; 
 ; 
 ; 
Soit  les états propres de  de valeurs propres nx,  les états propres de  de
valeurs propres ny , et soit  leur produit tensoriel. Tous ces états sont normés.
1°) Montrer que l'hamiltonien H de ce système s'écrit sous la forme d'une somme de deux
hamiltoniens Hx et HY . Donner l'expression de H en fonction de Nx et NY.
2°) Déterminer les états propres de H ainsi que les valeurs propres qui leurs sont associées et
leur degré de dégénérescence. Donner un ensemble complet d'observables qui commutent
(ECOC) dans l'espace des états de cette particule.
3°) A t = 0 la particule est dans l'état : 
 quel est son état à l'instant
t?
Quelle est la probabilité pour qu'une mesure de l'énergie donne une valeur inférieure à
2
?.
4°) On introduit les opérateurs : et
Montrer que les vecteurs :  , 
 et 
 sont des états
propres de H orthogonaux et normés et déterminer les valeurs propres qui leur correspondent.
Partie B – Oscillateur harmonique à 3 dimensions
La particule de masse m se déplace maintenant dans l'espace à trois dimensions et soumise à
une force centrale F = kr. L'énergie de la particule est donnée par
1°) Quel est l'hamiltonien H de la particule.
2°) Calculer les états propres et les niveaux d'énergies de la particule. H forme-t-il un E.C.O.C
dans l'espace des états ξr . Donner un E.C.O.C dans ξr.
3°) Quel est le degré de dégénérescence du niveau fondamental de cette particule et celui du
nième niveau excité.
4°) Montrer qu'il existe une relation entre le nème état excité et l'état fondamental
E = P2
2m + 1 2 m2r2 avec  = k
m , k>0

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Exercice 3/
On considère un système quantique sans spin de moment cinétique orbital  ; une base de
l’espace des états de ce système est considérée par les états propres communs à L² et LZ et
notés  .
1) Exprimer L+L- et L-L+ en fonction de L² et LZ et en déduire les propriétés :
2) On suppose maintenant dans toute la suite que l=1
a) Calculer, dans la base , les éléments de matrices des opérateurs L², Lz, Lx et Ly.
b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de Ly.
3) On considère que la particule est dans l'état normé: 
a) Quelle est la probabilité de trouver  si l'on mesure Ly?
b) Calculer la valeur moyenne <Lz > lorsque le système est dans l'état  , ainsi que
les probabilités des différents résultats possibles lors d'une mesure portant sur cette
observable.
4) Ce système est un noyau atomique soumis à un champ magnétique  dirigé selon une
direction unitaire  d’angles polaires  et  /  .
On supposera que le rapport gyromagnétique  du noyau est négatif et on posera : 
. En écrivant que l’hamiltonien d’interaction est :   où .
Montrer que la matrice représentant H dans la base des états propres  est donnée par :
Calculer les énergies propres du système.

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