Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP Mme ACHKAR Yamina Année Universitaire 2015/2016 UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULTE DES SCIENCES DHAR EL MAHRAZ - FES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE T.D de Physique Quantique - SMP - S5 SERIE N°4 Exercice1/ Moment cinétique On considère une particule ayant un moment cinétique J et se trouve dans un état propre j, m de J2 et Jz correspondant au couple de valeurs propres j( j 1)2 et m . 1) Calculer les éléments de matrice suivants: ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽2 |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑧 |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽± |𝑗, 𝑚⟩ , ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑥 |𝑗, 𝑚⟩ et ⟨𝑗 ′ , 𝑚′|𝐽𝑦 |𝑗, 𝑚⟩ j, m , ainsi que les 2) En déduire l’expression de la valeur moyenne de Jx et Jy dans l’état écarts quadratiques moyens ΔJx et ΔJy. 3) On suppose que la particule a pour moment cinétique j = 1, en utilisant les résultats de la 1ère question, écrire les matrices représentant J2, Jz, J, Jx, Jy dans la base j, m . 3) Cette particule est soumise à un gradient de champ électrique et son hamiltonien s’écrit alors: H 0 ( J u2 J v2 ) ou Ju et Jv sont les composantes de J sur les directions Ou et Ov du plan XOZ à 45 de OX et OZ, et ω0 est une constante réelle. Donner l’expression de H en fonction de Jx, Jy et Jz et écrire la matrice qui représente cet hamiltonien dans la base j, m 5) Déterminer les énergies propres et les états stationnaires 1 , 2 , 3 de cette particule. 6) A t=0 la particule est dans l’état 0 1 11, 1,1 quel l’état du système à l’instant 2 t? Exercice 2/ Partie A : Oscillateur harmonique à 2 dimensions Une particule de masse m est assujettie à se déplacer dans le plan XOY et qu'elle est soumise au potentiel harmonique 𝑉(𝑋, 𝑌). Ce système est un oscillateur harmonique à 2 dimensions de 2015/2016 1 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP Mme ACHKAR Yamina pulsation ω, dont le potentiel est : 1 𝑉(𝑋, 𝑌) = 2 𝑚𝜔2 (𝑋 2 +𝑌 2 ) On pose : 𝑎𝑥 = avec 1 √2 [𝑋̂ + 𝑖𝑃̂𝑥 ]; 𝑎𝑦 = 1 ; 𝑃̂𝑥 = 𝛽ℏ 𝑃𝑥 𝑋̂ = 𝛽𝑋 1 √2 [𝑌̂ + 𝑖𝑃̂𝑦 ] ; 𝑁𝑥 = 𝑎𝑥+ 𝑎𝑥 ; 𝑌̂ = 𝛽𝑌 1 𝑃̂𝑦 = 𝛽ℏ 𝑃𝑦 ; ; 𝑁𝑦 = 𝑎𝑦+ 𝑎𝑦 ; 𝑚𝜔 𝛽=√ ℏ Soit |𝜑𝑛𝑥 ⟩ les états propres de 𝑁𝑥 de valeurs propres nx, |𝜑𝑛𝑦 ⟩ les états propres de 𝑁𝑦 de valeurs propres ny , et soit |𝜑𝑛𝑥 𝜑𝑛𝑦 ⟩ leur produit tensoriel. Tous ces états sont normés. 1°) Montrer que l'hamiltonien H de ce système s'écrit sous la forme d'une somme de deux hamiltoniens Hx et HY . Donner l'expression de H en fonction de Nx et NY. 2°) Déterminer les états propres de H ainsi que les valeurs propres qui leurs sont associées et leur degré de dégénérescence. Donner un ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) dans l'espace des états de cette particule. 3°) A t = 0 la particule est dans l'état : |𝜓(0)⟩ = 1 √2 |𝜑00 ⟩ + 1 √2 |𝜑01 ⟩ quel est son état à l'instant t? Quelle est la probabilité pour qu'une mesure de l'énergie donne une valeur inférieure à 2 ?. 4°) On introduit les opérateurs : et Montrer que les vecteurs : |𝜑00 ⟩ , |𝑑⟩ = 𝐴+ et |𝑔⟩ = 𝐴𝑔+ |𝜑00 ⟩ sont des états 𝑑 |𝜑00 ⟩ propres de H orthogonaux et normés et déterminer les valeurs propres qui leur correspondent. Partie B – Oscillateur harmonique à 3 dimensions La particule de masse m se déplace maintenant dans l'espace à trois dimensions et soumise à une force centrale F = kr. L'énergie de la particule est donnée par 2 E = P + 1 m 2r 2 avec = 2m 2 k , k>0 m 1°) Quel est l'hamiltonien H de la particule. 2°) Calculer les états propres et les niveaux d'énergies de la particule. H forme-t-il un E.C.O.C dans l'espace des états ξr . Donner un E.C.O.C dans ξr. 3°) Quel est le degré de dégénérescence du niveau fondamental de cette particule et celui du ième n niveau excité. 4°) Montrer qu'il existe une relation entre le nème état excité et l'état fondamental 2015/2016 2 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP Mme ACHKAR Yamina Exercice 3/ ⃗ ; une base de On considère un système quantique sans spin de moment cinétique orbital 𝐿 l’espace des états de ce système est considérée par les états propres communs à L² et LZ et notés |𝑙, 𝑚⟩ . 1) Exprimer L+L- et L-L+ en fonction de L² et LZ et en déduire les propriétés : 𝐿± |𝑙, 𝑚⟩ = ħ√𝑙(𝑙 + 1) − 𝑚(𝑚 ± 1)|𝑙, 𝑚 ± 1⟩ 2) On suppose maintenant dans toute la suite que l=1 a) Calculer, dans la base {|𝑙, 𝑚⟩}, les éléments de matrices des opérateurs L², Lz, Lx et Ly. b) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de Ly. 3) On considère que la particule est dans l'état normé: |𝜓⟩ = 𝑎|1,1⟩ + 𝑏|1,0⟩ + 𝑐|1, −1⟩ a) Quelle est la probabilité de trouver ℏ si l'on mesure Ly? b) Calculer la valeur moyenne <Lz > lorsque le système est dans l'état |𝜓⟩ , ainsi que les probabilités des différents résultats possibles lors d'une mesure portant sur cette observable. ⃗ dirigé selon une 4) Ce système est un noyau atomique soumis à un champ magnétique 𝐵 direction unitaire 𝑢 ⃗ d’angles polaires 𝜃 et 𝜑 / [𝑢 ⃗ (sin 𝜃 cos 𝜑 , sin 𝜃 sin 𝜑 , cos 𝜃)]. On supposera que le rapport gyromagnétique 𝛾 du noyau est négatif et on posera : 𝜔= ⃗ −𝛾𝐵. En écrivant que l’hamiltonien d’interaction est : 𝐻 = −𝜇 . 𝐵 où 𝜇 = 𝛾𝐽. Montrer que la matrice représentant H dans la base des états propres {|𝑙, 𝑚⟩} est donnée par : 𝑐𝑜𝑠𝜃 sin 𝜃 𝑒 𝑖𝜑 𝑀𝐻 = ħ𝜔 √2 ( 0 sin 𝜃 𝑒 −𝑖𝜑 √2 sin 𝜃 𝑒 −𝑖𝜑 0 sin 𝜃 𝑒 √2 0 𝑖𝜑 √2 − cos 𝜃 ) Calculer les énergies propres du système. 2015/2016 3 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 4 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 5 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 6 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 7 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 8 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 9 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 10 Sol. Serie 4 Physique Quantique - S5 SMP 2015/2016 Mme ACHKAR Yamina 11 Sol. 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