Synthèse de la géométrie plane du collège 1 Théorèmes

Synthèse de la géométrie plane du collège
1 Théorèmes principaux de la géométrie plane
Configuration de Thalès : Deux droites sécantes en un
point Oet deux autres droites (AB)et (A0B0)coupant les
premières en des points A,B,A0et B0de façon que A,A0
et Od’une part et B,B0et Od’autre part soient alignés.
Théorème de Thalès
Si les droites (AB)et (A0B0)sont parallèles, alors on a :
OA0
OA =OB0 OB =A0B0 AB
Réciproque
Il suffit que l’une des trois égalités suivantes soit vraie :
OA0
OA =OB0 OB
OA0
OA =A0B0 AB
OB0
OB =A0B0 AB
pour que, les droites (AB)et (A0B0)soient parallèles.
Cas particulier de Thalès : droites des milieux.
Le segment joignant les milieux de deux côtés d’un tri-
angle mesure la moitié du côté restant et est parallèle à
celui-ci.
Réciproque
Une droite passant par le milieu d’un côté d’un triangle
parallèlement à un autre, coupe le côté restant en son mi-
lieux.
Théorème de Pythagore
Pour qu’un triangle ABC soit rectangle en A, il faut que
l’égalité suivante soit vérifiée : BC2=AB2+AC 2
Réciproque
Il suffit qu’on ait BC 2=AB2+AC 2pour que le triangle
ABC soit rectangle en A.
2 Droites remarquables, triangles et quadrilatères
ABC est un triangle.
2.1 Droites remarquables
Médiane issue de A : droite passant par Aqui coupe le
côté opposé en son milieu.
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un
point appelé centre de gravité du triangle. Ce point
est situé au deux tiers de chaque médiane en partant du
sommet correspondant.
Médiatrice du côté [AB] : droite coupant [AB]perpen-
diculairement en son milieu.
Propriété de la médiatrice :
elle est le lieu des points équidistants des extrémités du
segment.
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un
point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Bissectrice de l’angle ˆ A: droite partageant l’angle ˆ A
en deux angles égaux.
Propriété de la bissectrice
elle est le lieu des points équidistants des côtés de l’angle.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes au
centre du cercle inscrit dans ce triangle (plus grand
cercle qu’il est possible d’enfermer dans le triangle)
Hauteur issue de A : droite passant par A qui coupe le
prolongement du côté opposé perpendiculairement.
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un
point appelé orthocentre du triangle.
Notes de logique : Une propriété qui peut se formuler selon la forme :
«Si une certaine hypothèse,alors une certaine conclusion »
peut aussi être formulée de la manière suivante :
–Il suffit qu’on ait une certaine hypothèse pour avoir une certaine conclusion
– Pour qu’une certaine hypothèse soit vraie, il faut qu’une certaine conclusion le
soit.
– La vérité de l’hypothèse implique la vérité de la conclusion
icela se note : hyp. =⇒concl., on parle d’implication.
L’hypothèse est souvent qualifiée de condition suffi-
sante et la conclusion de condition nécéssaire.
Lorsqu’ une implication et sa réciproque
«hyp. =⇒concl. »et «concl. =⇒hyp. »
sont toutes deux vraies, on dit qu’on a l’hypothèse si
et seulement si on a la conclusion, ou encore qu’elles
sont toutes deux équivalentes.
Dans ce cas, on note : hyp. ⇐⇒ concl.

2.2 Triangles particuliers
ABC est rectangle en A ⇐⇒ l’angle ˆ A
vaut 90˚ ⇐⇒ la médiane issue de Avaut
la moitié de BC ⇐⇒ le cercle de diamètre
[BC ]passe par A.
ABC est isocèle en A ⇐⇒ Aest équi-
distant de Bet C⇐⇒ médiatrice, médiane,
bissectrice et hauteurs relatives au sommet A
et au côté opposé coincident. ⇐⇒ la média-
trice de [AB]est un axe de symétrie pour le
triangle ABC .
ABC est équilatéral ⇐⇒ les trois côtés ont
même longueur ⇐⇒ médiatrice, médiane,
bissectrice et hauteurs relatives à chaque som-
met et au côté opposé coincident.
2.3 Quadrilatères particuliers
ABCD est un parallèlogramme ⇐⇒ les côtés opposés sont pa-
rallèles ⇐⇒ les côtés opposés ont même longeur ⇐⇒ les diagonales
se coupent en leur milieu ⇐⇒ le centre du quadrilère est un centre
de symétrie pour celui-ci.
ABCD est un rectangle ⇐⇒ ABCD est un parallèlogramme
ayant un angle droit ⇐⇒ les diagonales se coupent en leur milieux
et sont de même longueur
ABCD est un losange ⇐⇒ ABCD est un parallèlogramme ayant
2 côtés adjacents de même longueur ⇐⇒ les diagonales se coupent en
leur milieux et sont perpendiculaires ⇐⇒ les 4 côtés sont de même
longueur.
ABCD est un carré ⇐⇒ ABCD est un rectangle et un losange
⇐⇒ les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieux et
sont de même longueur ⇐⇒ les 4 côtés sont de même longueur et
un angle est droit.
3 Angles
3.1 Angles correspondants
Configuration : deux droites parallèles et une sécante.
Dans cette configuration, on dit (par exemple) que :
–ˆ 1et ˆ 3sont égaux comme angles opposés par le som-
met
–ˆ 1et ˆ 5sont égaux comme angles alterne internes
–ˆ 1et ˆ 7sont égaux comme angles alternes externes.
3.2 Angles dans un cercle
Configuration : Un cercle de centre O, deux angles dont
les sommets sont sur le cercle (inscrits) et interceptant un
même arc. L’angle dont le sommet est le centre du cercle
(angle au centre) et interceptant le même arc que les deux
autres.
Si les sommets des angles inscrits sont hors de l’arc com-
mun, alors :
– les angles inscrits ont même mesure
– l’angle au centre mesure le double des angles inscrits.
3.3 Trigonométrie : angles dans un triangle rectangle.
Sinus
sin( ˆ A) = côté opposé
hypothénuse
Cosinus
cos( ˆ A) = côté adjacent
hypothénuse
Tangente
tan( ˆ A) = côté opposé
côté adjacent
ˆ
Aet ˆ Bsont dits complémentaires. Les cosinus et sinus de l’un sont respectivement égaux aux sinus et cosinus de
l’autre (cos( ˆ A) = sin( ˆ B)et sin( ˆ A) = cos( ˆ B)). Enfin, on a l’importante relation : cos2(ˆ A) + sin2(ˆ B) = 1