Chapitre 27 Algèbre générale Table des matières

Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
descend !
Chapitre 27
Algèbre générale
Version du 05-04-2017 à 05:40
Table des matières
1 Extrait du programme relatif à ce chapitre
1.1 Groupes et sous-groupes (MPSI) . . . .
1.2 Morphismes de groupes . . . . . . . . .
1.3 Sous-groupe engendré par une partie .
1.4 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Anneaux
3 L’anneau Z/nZ
3.1 Construction de l’anneau Z/nZ
3.2 Étude du groupe (Z/nZ, +) . . .
3.3 Étude de l’anneau (Z/nZ, +, .) . .
3.4 Théorème des restes chinois . .
2
3
4
6
7
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
16
18
19
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
1 Extrait du programme relatif à ce chapitre
L’étude des structures algébriques permet d’approfondir plusieurs points abordés en première année : arithmétique de Z et de K[X ], congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l’algèbre linéaire
et de la géométrie des espaces euclidiens. Ce chapitre gagne à être illustré par de nombreux exemples.
Groupes et sous-groupes
Groupe. Produit fini de groupes.
Sous-groupe. Caractérisation.
Intersection de sous-groupes.
Sous-groupe engendré par une partie.
Sous-groupes du groupe (Z, +).
Exemples issus de l’algèbre et de la géométrie.
Morphismes de groupes
Morphisme de groupes.
Image et image réciproque d’un sous-groupe par
un morphisme. Image et noyau d’un morphisme.
Condition d’injectivité d’un morphisme.
Isomorphisme de groupes. Réciproque d’un isomorphisme.
Exemples : signature, déterminant.
Exemple : groupe spécial orthogonal d’un espace
euclidien.
Groupes monogènes et cycliques
Groupe (Z/nZ, +). Générateurs de Z/nZ.
Groupe monogène, groupe cyclique.
Tout groupe monogène infini est isomorphe à
(Z, +). Tout groupe monogène fini de cardinal n est
isomorphe à (Z/nZ, +).
Groupe des racines n-ièmes de l’unité.
Ordre d’un élément dans un groupe
Si x est d’ordre fini, l’ordre de x est le cardinal du
sous-groupe de G engendré par x.
Élément d’ordre fini d’un groupe, ordre d’un tel élément.
Si x est d’ordre fini d et si e désigne le neutre de G,
alors, pour n dans Z, on a x n = e ⇐⇒ d |n.
L’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le cardinal du groupe.
La démonstration n’est exigible que pour G commutatif.
Anneaux
Anneau. Produit fini d’anneaux.
Sous-anneaux. Morphisme d’anneaux. Image et
noyau d’un morphisme. Isomorphisme d’anneaux.
Anneau intègre. Corps. Sous-corps.
Les anneaux sont unitaires.
Les corps sont commutatifs.
Idéaux d’un anneau commutatif
Idéal d’un anneau commutatif. Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal.
Relation de divisibilité dans un anneau commutatif
intègre.
Idéaux de Z.
Interprétation de la divisibilité en termes d’idéaux.
2
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
L’anneau Z/nZ
Anneau Z/nZ.
Inversibles de Z/nZ.
L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est
premier.
Application aux systèmes de congruences.
Théorème chinois : si m et n sont deux entiers premiers entre eux, isomorphisme naturel de Z/mnZ
sur Z/mZ × Z/nZ.
Indicatrice d’Euler ϕ. Calcul de ϕ(n) à l’aide de la
décomposition de n en facteurs premiers.
Théorème d’Euler.
I : calcul de ϕ(n) à l’aide d’une méthode de crible.
Lien avec le petit théorème de Fermat étudié en première année.
I : codage RSA.
1.1 Groupes et sous-groupes (MPSI)
Définition 1 (Groupe)
Soit G un ensemble non vide, soit . : G × G → G une loi de composition interne. On dit que (G, .) est un
groupe si :
1. La loi . est associative, ie :
∀(x, y, z) ∈ G 3 , (x.y).z = x.(y.z)
2. Il existe un élément e ∈ G appelé « élément neutre » tel que pour tout x ∈ G :
e.x = x.e = x
3. Tout élément admet un inverse, ie : pour tout x ∈ G, il existe un élément x −1 ∈ G tel que :
x.x −1 = x −1 .x = e.
Remarques
1. Le neutre d’un groupe est unique.
2. Si x est un élément d’un groupe, alors son inverse est unique.
Remarque
Soit (G, .) un groupe. Si la loi . vérifie la propriété suivante :
∀(x, y) ∈ G 2 , x.y = y.x
alors on dit que le groupe (G, .) est commutatif ou abélien, ou que la loi . est commutative.
Exemple 1.
1. (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abéliens.
2. ({−1, 1}, ×), (Q∗ , ×), (R∗ , ×), (C, ×) et (U, ×) sont des groupes abéliens.
3. Soit n ∈ N≥3 . Alors (Sn , ◦) est un groupe non abélien.
4. (R[X ], +) et (Mn (K), +) sont des groupes abélien.
5. Soit n ∈ N≥2 . GL n (K) est un groupe non abélien.
Définition 2 (Sous-groupe)
Soit (G, .) un groupe, soit H ⊂ G. On dit que H est un sous-groupe de (G, .) si :
1. H contient le neutre, i.e. :
e ∈ H.
2. H est stable pour la loi ., i.e. :
∀(x, y) ∈ H 2 ,
x.y ∈ H .
3. H est stable pour le passage à l’inverse, i.e. :
∀x ∈ H ,
3
x −1 ∈ H .
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Proposition 1 (Un sous-groupe est un groupe)
Soit (G, .) un groupe, soit H ⊂ G un sous-groupe de (G, .). Alors la restriction de la loi . à H définit une loi
de composition interne sur H , et (H , .) est un groupe.
Remarques
1. En général, pour montrer que (G, .) est un groupe, on montre que G est un sous-groupe d’un groupe
donné.
2. Pour montrer que H est un sous-groupe de (G, .), il suffit de montrer que e ∈ H et que pour tout (x, y) ∈
H 2 , x.y −1 ∈ H .
Théorème 1 (Produit de deux groupes)
Soient (G 1 , .) et (G 2 , ?) deux groupes. La loi × définie sur l’ensemble G 1 ×G 2 par :
∀((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) ∈ (G 1 ×G 2 )2 ,
(x 1 , x 2 ) × (y 1 , y 2 ) = (x 1 .y 1 , x 2 ? y 2 )
est une loi de composition interne sur G 1 × G 2 , et (G 1 × G 2 , ×) est un groupe, appelé groupe produit de
G 1 et G 2 .
Remarque
On³ peut ´de la ³même´ façon définir le produit d’une famille finie de groupes.
Si G 1 , ? , . . . , G n , ? est une famille de n groupes, la loi × définie sur G = G 1 × ... ×G n par :
1
n
∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ G,
∀(y 1 , ..., y n ) ∈ G,
³
´
(x 1 , . . . , x n ) × (y 1 , . . . , y n ) = x 1 ? y 1 , ..., x n ? y n
1
n
µ
¶
est une loi de composition interne sur G, et (G, ×) est un groupe, appelé groupe produit des G i , ? .
i
Exemple 2.
1. Zn muni de la loi + usuelle (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) est un groupe
abélien.
2. Rn muni de la loi + usuelle (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) est un groupe abélien.
Théorème 2 (Intersection de sous-groupes)
Soit (G, .) un groupe. Soit (Hi )i ∈I une famille de sous-groupes de G. Alors leur intersection :
H=
\
Hi
i ∈I
est un sous-groupe de G.
Exercice 1. Soit (G, .) un groupe, soient H et K deux sous-groupes de G. Donner une condition nécessaire et
suffisante pour que H ∪ K soit un sous-groupe de G.
1.2 Morphismes de groupes
Définition 3 (Morphisme de groupes)
Soient (G, .) et (H , ?) deux groupes. Une application f : G → H est un morphisme de groupes si :
∀(x, y) ∈ G 2 , f (x.y) = f (x) ? g (y).
4
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
Proposition 2 (Propriétés d’un morphisme de groupes)
Soient (G, .) et (H , ?) deux groupes, soit f : G → H un morphisme. Notons respectivement eG et e H les
éléments neutres de G et H . Alors :
1. f (eG ) = e H ;
2. ∀x ∈ G,
Exemple 3.
f (x −1 ) = f (x)−1 .
1. Soit a ∈ Z. L’application :
ϕ : Z → Z ; n 7→ an
est un morphisme de (Z, +) dans lui-même.
2. L’application exp : (R, +) → (R>0 , ×) est un morphisme de groupes.
3. L’application ln : (R>0 , ×) → (R, +) est un morphisme de groupes.
4. La signature ε : (Sn , ◦) → ({−1, 1}, ×) est un morphisme de groupes.
Définition 4 (Noyau, image d’un morphisme de groupes)
Soient (G, .) et (H , ?) deux groupes, soit f : G → H un morphisme.
1. L’ensemble Ker( f ) = {x ∈ G | f (x) = e H } est appelé « noyau du morphisme f ».
2. L’ensemble Im( f ) = f (G) = { f (x), x ∈ G} est appelé « image du morphisme g ».
Proposition 3 (Le noyau et l’image sont des sous-groupes)
Soient (G, .) et (H , ?) deux groupes, soit f : G → H un morphisme. Alors Ker( f ) est un sous-groupe de G
et Im( f ) est un sous-groupe de H .
Exemple 4.
1. L’application det : GL n (K) → K∗ est un morphisme de groupes (K = R ou C). Son noyau est
généralement noté SL n (K).
2. Le noyau de la signature ε : (Sn , ◦) → ({−1, 1}, ×) est l’ensemble des permutations de signature 1 : on
l’appelle le sous-groupe alterné, et on le note An .
Exercice 2. Déterminer tous les morphismes de (Z, +) dans lui-même.
Théorème 3 (Composition et inversion de morphismes.)
Soient (G 1 , .) (G 2 , ?), (G 3 , ∗) trois groupes.
1. Soient f : (G 1 , .) → (G 2 , ?) et g : (G 2 , ?) → (G 3 , ∗) deux morphismes de groupes.
Alors g ◦ f : (G 1 , .) → (G 3 , ∗) est un morphisme de groupes.
2. Soit f : (G 1 , .) → (G 2 , ?) un morphisme de groupes.
Si l’application f est une bijection, sa bijection réciproque f −1 : (G 2 , ?) → (G 1 , .) est un morphisme de groupes.
On dit alors que f est un isomorphisme de groupes, et que les groupes (G 1 , .) et (G 2 , ?) sont isomorphes.
Exercice 3.
1. Déterminer toues les isomorphismes de (Z, +) dans lui-même.
2. Les groupes (Z, +) et (Z2 , +) sont-ils isomorphes ?
3. Les groupes (Z, +) et (Q, +) sont-ils isomorphes ?
4. Les groupes (R∗ , ×) et (R+∗ , ×) sont-ils isomophes ?
5
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
1.3 Sous-groupe engendré par une partie
Définition 5 (Sous-groupe engendré par une partie)
Soient (G, .) un groupe et A ⊂ G une partie non vide de G.
Le sous-groupe engendré par A, noté Gr(A) ou < A >, est l’intersection de tous les sous-groupes de G
contenant A :
\
<A>
=
H.
A⊂ H
H sous-groupe de G
En vertu du théorème 2, le sous-groupe engendré par A est bien un sous-groupe de G, appelé sousgroupe engendré par A.
Théorème 4 (Caractérisation du sous-groupe engendré par une partie)
Soient (G, .) un groupe et A ⊂ G une partie non vide de G. Notons A −1 l’ensemble des inverses des
éléments de A :
A −1 = {x ∈ G : ∃y ∈ A tel que x = y −1 }.
Alors le sous-groupe < A > engendré par A est égal à l’ensemble de tous les produits finis d’éléments
de A ∪ A −1 :
n
o
¡
¢n
< A >= x ∈ G : ∃n ∈ N∗ , ∃(x 1 , . . . , x n ) ∈ A ∪ A −1
tels que x = x 1 . . . x n .
Exemple 5. (Sous-groupe engendré par un élément) Soient (G, .) un groupe et a ∈ G un élément de G.
Alors le sous-groupe engendré par {a} (que l’on appellera aussi sous-groupe engendré par a), généralement
noté < a >, est égal à l’ensemble des puissances positives et négatives de a :
< a >= {a n : n ∈ Z}.
Définition 6 (Partie génératrice d’un groupe)
Soient (G, .) un groupe et A ⊂ G une partie non vide de G.
On dit que A est une partie génératrice de (ou que A engendre G) si < A >= G.
Définition 7 (Groupe de type fini)
Un groupe est dit de type fini s’il est engendré par une partie finie.
Exemple 6.
1. Le groupe (Z, +) des entiers relatifs est engendré par l’élément 1. Il est donc de type fini.
2. Le groupe (Zn , +) est engendré par : {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}. Il est donc de type fini.
3. Le groupe (σn , ◦) des permutations de l’ensemble J1, n K est engendré par les transpositions.
Remarque
Un groupe fini est nécessairement de type fini.
Exercice 4. Soit n ∈ N un entier naturel supérieur ou égal à 2. Notons (1 2) la transposition de J1, n K échangeant
1 et 2, et σ l’unique cycle de longueur n, c’est-à-dire la permutation de J1, n K définie par
σ(1) = 2 , σ(2) = 3 , . . . , σ(n − 1) = n , σ(n) = 1.
Montrer que {(1 2), σ} engendre σn .
6
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Définition 8 (Groupe monogène, groupe cyclique)
1. Un groupe est dit monogène s’il est engendré par un élément.
2. Un groupe monogène fini est appelé groupe cyclique.
Remarque
Un groupe monogène est abélien.
Exemple 7.
1. (Z, +) est monogène mais non (Z2 , +).
2. Soit n ∈ N∗ . Le groupe Un des racines n-èmes de l’unité est cyclique, engendré par e
Exercice 5.
2i π
n
.
1. Les groupes (Z, +) et (Z2 , +) sont-ils isomorphes ?
2. Le groupe (Q, +) est-il de type fini ?
3. Déterminer tous les morphismes de (Z, +) vers (Q, +).
1.4 Groupes finis
Théorème 5 (Théorème de Lagrange)
Soit (G, .) un groupe fini, soit H un sous-groupe de G.
Le cardinal de H divise le cardinal de G.
Démonstration.
• Pour tout x, y ∈ G, posons x ∼ y si et seulement si x.y −1 ∈ H . Établissons que ∼ est une
relation d’équivalence sur G.
— La relation ∼ est réflexive
Soit x ∈ G. Comme x.x −1 = eG ∈ G, x ∼ x.
— La relation ∼ est symétrique
Soient x, y ∈ G tels que x ∼ y. Alors x.y −1 ∈ H .
Comme H est stable par passage à l’inverse. Donc :
¡
¢−1
y.x −1 = x.y −1
∈ H.
Ainsi y ∼ x.
— La relation ∼ est transitive
Soient x, y, z ∈ G tels que x ∼ y et y ∼ G. Alors x.y −1 ∈ H et y.z −1 ∈ H .
Comme H est stable pour la loi . :
x.z −1 = x.y −1 .y.z −1 ∈ H .
• Une partie C de G est appelée classe d’équivalence (pour la relation ∼) s’il existe x ∈ G tel que :
C = { y ∈ G : x ∼ y }.
Comme G est fini, P (G) est fini et donc il n’y a qu’un nombre fini de classes d’équivalence, disons p.
Notons C 1 , . . . ,C p la liste exhaustive sans répétition des différentes classes d’équivalence.
p
[
— G=
Ci
i =1
L’inclusion ⊃ est évidente. Montrons l’autre. Soit x ∈ G. L’ensemble { y ∈ G : x ∼ y } est une classe
d’équivalence, donc il existe i ∈ J1, p K tel que : C j = { y ∈ G : x ∼ y }. Par réflexivité :
x ∈ { y ∈G : x ∼ y } =Cj ⊂
p
[
Ci .
i =1
— Soit i , j ∈ J1, p K. Alors i 6= j =⇒ C i ∩C j = ;.
Soit x i ∈ G (resp. x j ∈ G) tel que C i = { y ∈ G : x i ∼ y } (resp. C j = { y ∈ G : x j ∼ y }. Raisonnons par
contraposée.
Supposons C i ∩C j 6= ;. Soit z ∈ C i ∩C j . Alors x i ∼ z et x j ∼ z. Par symétrie et transitivité, x i ∼ x j .
Soit y ∈ C i . Alors x i ∼ y. Par symétrie et transitivité, x j ∼ y, donc y ∈ C j . Ainsi C i ⊂ C j .
Par symétrie des rôles joués par i et j , C j ⊂ C i .
Donc C i = C j et finalement i = j .
7
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
— Soit i ∈ J1, p K. Alors #C i = #H .
Soit x i ∈ G tel que C i = { y ∈ G : x i ∼ y }. L’application
¯
¯ ϕ : Ci →
¯
¯
y
7→
H
x i .y −1
est bien définie (cf. définition de ∼). L’application
¯
¯ ψ : H →
¯
¯
z 7→
Ci
z −1 .x i
est bien définie. En effet :
z∈H
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
MP1617
x i .x i−1 .z ∈ H
¢−1
¡
∈H
x i . z −1 .x i
x i .ψ(z)−1 ∈ H
x i ∼ ψ(z)
ψ(z) ∈ C i .
On vérifie de plus que ψ ◦ ϕ = i dC i et ϕ ◦ ψ = i d H . Donc ϕ est une bijection (idem pour ψ). Ainsi C i et
H ont le même cardinal.
• Nous avons établi que les ensembles C 1 , . . . ,C p forment une partition de G, et que tous ces ensembles
ont pour cardinal #H . Donc :
p
X
#G =
#C i = p × #H .
i =1
Donc #H divise #G.
Q.E.D.
Exemple 8.
1. Soit G un groupe de cardinal 17. Alors G ne possède aucun sous-groupe autre que {0G } et G.
2. Soit G un groupe d’ordre 32. Alors G ne possède aucun sous-groupe de cardinal 5.
Définition 9 (Ordre d’un élément)
Soit (G, .) un groupe, soit x ∈ G.
On dit que x est d’ordre fini s’il existe un entier n ∈ N∗ tel que x n = e. Si tel est le cas, on appelle ordre de
x et on note o(x) le plus petit entier n non nul tel que x n = e :
o(x) = min{n ∈ N∗ : x n = e}.
Exemple 9.
1. Dans le groupe ({−1, 1}, ×), 1 est d’ordre 1 et −1 est d’ordre 2.
2. Dans le groupe (Un , ×), e
2i π
n
est d’ordre n.
3. Dans (Z, +), le seul élément d’ordre fini est 0.
4. Dans (Sn , ◦), le cycle (1, 2, 3, . . . , n − 1, n) est d’ordre n, et une transposition est d’ordre 2.
Proposition 4 (Propriété de divisibilité de l’ordre d’un élément)
Soit (G, .) un groupe, soit x ∈ G un élément d’ordre d . Alors pour tout n ∈ N, on a :
x n = eG ⇐⇒ d |n.
Démonstration.
=⇒ Soit n ∈ N tel que x n = eG . Écrivons la division euclidienne de n par d :
n = qd + r
où q ∈ N et r ∈ J0, d − 1K. Alors :
³ ´q
q
eG = x n = x qd +r = x d .x r = eG .x r = eG .x r = x r .
Si r 6= 0, alors r vérifie 1 ≤ r ≤ d − 1 et x r = eG , ce qui contredit la minimalité de d .
Donc r = 0 et d divise n.
8
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
⇐= Soit n ∈ N tel que d divise n. Alors il existe q ∈ N tel que n = qd . Donc :
³ ´q
x n = x qd = x d = eG .
Q.E.D.
Théorème 6 (Ordre d’un élément dans un groupe fini)
Soit (G, .) un groupe fini, soit x ∈ G. Alors :
1. x est d’ordre fini ;
2. o(x) est le cardinal du groupe < x > engendré par x ;
3. o(x) divise Card(G).
Démonstration.
1. Considérons l’application :
¯
¯ ϕ
¯
¯
Z
i
:
→
7
→
G
xi
Comme Z est infini et G est fini, cette application ne peut être injective. Donc il existe i 1 , i 2 dans Z tels
que i 1 6= n 2 et ϕ(i 1 ) = ϕ(i 2 ). Quite à échanger i 1 et i 2 , on peut supposer que i 1 > i 2 . De ϕ(i 1 ) = ϕ(i 2 ), on
déduit : x i 1 −i 2 = eG . Comme i 1 − i 2 ∈ N∗ , x est d’ordre fini.
2. Posons n := o(x). Nous démontrons que l’application
¯
¯ ψ
¯
¯
:
J0, n − 1K →
i
7→
©
ª
< x >= x k : k ∈ N
xi
est une bijection, ce qui livrera le résultat.
• L’application ψ est injective
Soient i 1 , i 2 ∈ J0, n −1K tels que ψ(i 1 ) = ψ(i 2 ). Quitte à échanger i 1 et i 2 , on peut supposer i 1 ≥ i 2 , d’où
0 ≤ i 1 − i 2 ≤ n − 1. De ψ(i 1 ) = ψ(i 2 ), on déduit x i 1 −i 2 = eG . Si i 1 − i 2 6= 0, alors 1 ≤ i 1 − i 2 ≤ n − 1 et la
minimalité de n = o(x) est contredite. Donc i 1 = i 2 .
Ainsi ψ est injective.
• L’application ψ est injective
Soit k ∈ N. La division euclidienne de k par n s’écrit :
k = qn + r
où q ∈ N et r ∈ J0, n − 1K. Alors :
¡ ¢q
q
x k = x qn+r = x n .x r = eG .x r = eG .x r = x r = ϕ(r ).
Donc ψ est surjective.
• Par le théorème de Lagrange, le cardinal de < x > divise le cardinal de G. Or le cardinal de < x > est o(x)
par 2. Donc o(x) divise le cardinal de G.
Q.E.D.
Exercice 6.
1. Soit n ∈ N∗ , soit σ ∈ Sn , notons σ = c 1 ◦ . . . ◦ c r sa décomposition en produit de cycles à
supports disjoints. Montrer que l’ordre de σ est le ppcm des longueurs des cycles c 1 , ..., c r .
2. Posons
U∞ =
[
Un = {z ∈ U : ∃n ∈ N∗ tel que z n = 1}.
n≥1
Montrer que U∞ est infini et que tout élément de U∞ est d’ordre fini.
9
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
2 Anneaux
Définition 10 (Anneau)
Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes + et ×. On suppose que les
conditions suivantes sont vérifiées :
1. (G, +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0 A .
2. La loi × est associative.
3. La loi × possède un élément neutre 1 A .
4. La loi × est distributive par rapport à la loi +, i.e. :
∀(x, y, z) ∈ A 3 ,
x × (y + z) = (x × y) + (x × z)
∀(x, y, z) ∈ A 3 ,
(y + z) × x = (y × x) + (z × x)
On dit alors que (A, +, ×) est un anneau.
Si de plus la loi × est commutative, on dit que (A, +, ×) est un anneau commutatif.
Remarque
Soit (A, +, ×) un anneau. Soit x ∈ A.
1. L’inverse de x pour la loi de groupe + est noté −x.
2. Si x est inversible pour la loi ×, on note x −1 son inverse.
Exemple 10.
1. (Z, +, ×) est un anneau commutatif.
2. (Q, +, ×), (R, +, ×) et (C, +, ×) sont des anneaux commutatifs.
3. Soit E un K-espace vectoriel. Alors (L (E ), +, ◦) est un anneau, qui est non commutatif si E n’est pas de
dimension 0 ou 1.
4. Soit n ∈ N≥2 . Alors (Mn (K), +, ×) est un anneau non commutatif.
Définition 11 (Morphisme d’anneaux)
Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux. Une application f : A → B est un morphisme d’anneaux si :
1. f (1 A ) = 1B , 1 A et 1B étant les éléments neutres multiplicatifs de (A, ×) et (B, ×).
2. ∀(x, y) ∈ A 2 , f (x + y) = f (x) + f (y) et f (x.y) = f (x). f (y).
Si de plus f est bijective, on dit que f est un isomorphisme d’anneaux.
Exemple 11.
1. L’dentité i d Z est l’unique morphisme d’anneaux de Z dans Z.
2. L’application transposée M ∈ Mn (C) 7→ t M ∈ Mn (C) est un isomorphisme de l’anneau Mn (C).
Proposition 5 (Inverse d’un isomorphisme d’anneaux)
Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux et f : A → B un isomorphisme d’anneaux.
Alors la bijection réciproque f −1 : B → A de f est un isomorphisme d’anneaux.
Démonstration.
• En appliquant f −1 à chaque membre de l’égalité f (1 A ) = 1B , il vient 1 A = f −1 (1B ).
• Soient y 1 , y 2 ∈ B .
f −1 (y 1 + y 2 ) = f −1 [ f ( f −1 (y 1 )) + f ( f −1 (y 2 ))] = f −1 [ f ( f −1 (y 1 ) + f −1 (y 2 ))] = f −1 (y 1 ) + f −1 (y 2 )
(?)
où (?) provient du fait que f est un morphisme d’anneaux. En reprenant le calcul précédent, en échangeant + par ., il vient :
f −1 (y 1 .y 2 ) = f −1 (y 1 ). f −1 (y 2 ).
Q.E.D.
10
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
Définition 12 (Noyau et image d’un morphisme d’anneaux)
Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux.
1. On appelle noyau de f le sous-ensemble Ker( f ) de A défini par :
Ker( f ) = {x ∈ A : f (x) = 0B } = f −1 ({0B }).
2. On appelle image de f le sous-ensemble Im( f ) de B défini par :
Im( f ) = {y ∈ B : ∃x ∈ A tel que f (x) = y} = f (A).
Proposition 6 (Structure de l’image d’un morphisme d’anneaux)
Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneaux.
Alors Im( f ) est un sous-anneau de B .
Démonstration. Nous devons démontrer :
(1) 1B ∈ Im( f ) ;
(2) Im( f ) est stable pour la loi + de B ;
(3) Im( f ) est stable pour la loi . de B .
1. Puisque 1B = f (1 A ), il vient 1B ∈ Im( f ).
2. Soit y 1 , y 2 ∈ Im( f ). Alors il existe x 1 , x 2 ∈ A tels que y 1 = f (x 1 ) et y 2 = f (x 2 ). Donc :
y 1 + y 2 = f (x 1 ) + f (x 2 ) = f (x 1 + x 2 )
(?)
où (?) provient du fait que f est un morphisme d’anneaux. Comme x 1 + x 2 ∈ A, y 1 + y 2 ∈ Im( f ).
3. Une preuve de la stabilité de Im( f ) pour la loi . de B est obtenue en remplaçant partout + par . dans la
preuve de 2.
Q.E.D.
Remarques
On conserve les notations de la précédente proposition.
1. Ker( f ) n’est pas un sous-anneau de A, sauf si 1B = 0B .
2. Si 1B = 0B alors l’anneau B est réduit à {0B }, ce qui est un cas qu’il convient de considérer comme pathologique.
Définition 13 (Idéal d’un anneau commutatif )
Soit (A, +, .) un anneau commutatif. Soit I ⊂ A une partie non vide de A. On dit que I est un idéal de A
si :
1. I est stable par +
∀(x, y) ∈ I 2 ,
x+y ∈I
2. I est absorbant pour la multiplication par des éléments de A
∀x ∈ I ,
∀a ∈ A,
a.x ∈ I .
Remarque
Si I est un idéal d’un anneau commutatif (A, +, .), alors (I , +) est un sous-groupe de (A, +).
Exemple 12.
1. {0 A } et A sont des idéaux de A.
2. Pour tout n ∈ Z, nZ = {k ∈ Z | ∃l ∈ Z tel que k = nl } est un idéal de Z.
3. Pour tout P ∈ C[X ], P C[X ] = {Q ∈ C[X ] | ∃R ∈ C[X ] tel que Q = P R}.
11
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Remarque
Dans un anneau (A, +, .), 0 A est un élément absorbant, i.e. pour tout x ∈ A, a.0 A = 0 A .a = 0 A .
Soit a ∈ A.
0 A .a = (0 A + 0 A ).a = 0 A .a + 0 A .a.
En ajoutant −0 A .a à chacun des membres, il vient 0 A .a = 0 A . L’identité a.0 A = 0 A peut être établie de manière
analogue.
Proposition 7 (Structure du noyau d’un morphisme d’anneaux)
Soient (A, +, .) et (B, +, .) deux anneaux commutatifs et f : A → B un morphisme d’anneaux.
Le noyau de f est un idéal de A.
Démonstration.
• Comme f est un morphisme de groupes de (A, +) vers (B, +), f (0 A ) = 0B . Donc 0 A ∈
Ker( f ). Le noyau de f est donc non vide.
• Soit x 1 , x 2 ∈ Ker( f ).
f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ) = 0B + 0B = 0B
(?)
où (?) provient du fait que f est un morphisme d’anneaux. Donc x 1 + x 2 ∈ Ker( f ).
• Soit x ∈ Ker( f ) et soit a ∈ A.
f (a.x) = f (a). f (x) = f (a).0B = 0B
(?)
(??)
où (?) provient du fait que f est un morphisme d’anneaux, et (??) découle de la précédente remarque.
Donc a.x ∈ Ker( f ).
Q.E.D.
Proposition 8 (Une intersection d’idéaux est un idéal)
Soit (A, +, .) commutatif. Soit (I j ) j ∈J une famille d’idéaux de A. Alors leur intersection :
\
Ij
j ∈J
est un idéal de A.
Démonstration. On sait déjà que I =
\
I j est un sous-groupe de (A, +), donc stable par +.
j ∈J
Montrons que I est absorbant. Soit x ∈ I , soit a ∈ A. Pour tout j ∈ J , x ∈ I j , donc a.x ∈ I j puisque I j est absorbant. Donc a.x ∈ I . D’où le caractère absorbant de I .
Q.E.D.
Définition 14 (Idéal engendré par un élément)
Soient (A, +, .) un anneau commutatif et x ∈ A un élément de A.
On note I (x) et on appelle idéal engendré par x l’intersection des idéaux de A contenant x :
I (x) =
\
I.
I⊂A
I idéal de A
Proposition 9 (Description de l’idéal engendré par un élément)
Soient (A, +, .) un anneau commutatif et x ∈ A. Alors :
©
ª
I (x) = y ∈ A : ∃a ∈ A tel que y = x.a .
On note encore x A l’idéal engendré par x.
12
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
©
ª
Démonstration. Posons J = y ∈ A : ∃a ∈ A tel que y = x.a . Montrons que J est un idéal de A contenant x,
puis que tout idéal de A contenant x contient aussi J .
• J contient x
Comme x = x.1 A , alors x ∈ J .
• J est un idéal
— Montrons d’abord que J est stable par +.
Soit y, z ∈ J . Il existe donc y 0 , z 0 tels que y = x.y 0 et z = x.z 0 . Alors :
y + z = x y 0 + xz 0 = x(y 0 + z 0 ).
Comme y 0 + z 0 ∈ A, il vient y + z ∈ J .
— Montrons que J est absorbant.
Soit y ∈ J , soit a ∈ A. il existe y 0 ∈ A tel que y = x.y 0 . Alors y.a = (x.y 0 ).a = x.(y 0 .a) par associativité,
donc y.a ∈ J .
• J est le plus petit idéal contenant x
Soit I un idéal de A contenant x. Soit y ∈ J , il existe y 0 ∈ A tel que y = x.y 0 . Comme I est absorbant,
x.y 0 ∈ I , donc y ∈ I . Donc J ⊂ I .
Bilan : J est un idéal de A contenant x, donc I (x) ⊂ J . De plus, pour tout idéal I de A contenant x, J ⊂ I , donc
J ⊂ I (x). D’où J = I (x).
Q.E.D.
Définition 15 (Divisibilité dans un anneau commutatif intègre)
Soit (A, +, .) un anneau commutatif intègre, i.e. vérifiant :
∀(x, y) ∈ A 2 ,
x.y = 0 A =⇒ (x = 0 A ou y = 0 A ).
Soient (x, y) ∈ A 2 . On dit que x divise y, et on note x|y, si :
∃z ∈ A tel que y = xz.
Proposition 10 (Caractérisation de la divisibilité en termes d’idéaux)
Soit (A, +, .) un anneau commutatif intègre et soient (x, y) ∈ A 2 . Alors :
x|y ⇐⇒ y A ⊂ x A.
Démonstration.
=⇒ Comme x|y, il existe a ∈ A tel que y = x.a. Soit alors z ∈ y A. Il existe b ∈ A tel que
z = y.b, d’où z = (x.a).b = x.(a.b) (associativité), donc z ∈ x A. D’où y A ⊂ x A.
⇐= Comme y = y.1 A ∈ y A, alors y ∈ x A, donc il existe a ∈ A tel que y = x.a, donc x|y.
Q.E.D.
Exercice 7. Soit (A, +, .) un anneau commutatif. Soient I ,J deux idéaux de A. Posons :
I J = {x ∈ A : ∃n ∈ N∗ , ∃a 1 , . . . , a n ∈ I , ∃b 1 , . . . , b n ∈ J tels que x = a 1 b 1 + ... + a n b n }.
Montrer que I J est un idéal de A. A-t-on I J = I ∩ J ?
3 L’anneau Z/nZ
3.1 Construction de l’anneau Z/nZ
Définition 16 (Relation de congruence)
Soit n ∈ N∗ , soient (p, q) ∈ Z2 . On dit que p est congru à q modulo n, et on écrit p ≡ q [n], si p − q ∈ nZ.
13
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Proposition 11 (Caractérisation par les restes)
Soit n ∈ N∗ , soient (p, q) ∈ Z2 . Alors p ≡ q [n] si et seulement si p et q ont même reste dans la division
euclidienne par n.
Démonstration. Soient p, q ∈ Z, écrivons la division euclidienne de p et q par n :
∃!(u, v, r, s) ∈ Z4 tel que
½
p = un + r, avec 0 ≤ r < n
q = vn + s, avec 0 ≤ s < n
Alors :
p ≡ q [n] ⇐⇒ n|(p − q) ⇐⇒ n|(u − v)n + (r − s) ⇐⇒ n|(r − s).
Or, −n < r − s < n donc n divise r − s si et seulement si r − s = 0.
Exemple 13.
Q.E.D.
1. 6 ≡ 4 [2].
2. Soit p ∈ Z. Si p est pair, p ≡ 0 [2] et si p est impair, p ≡ 1 [2].
3. Soit p ∈ Z. Une et une seule des assertions suivantes est vraie :
p ≡ 0 [3],
p ≡ 1 [3],
p ≡ 2 [3].
4. Soient n ∈ N∗ et p ∈ Z. Alors p ≡ 0 [n] ⇐⇒ n|p.
Proposition 12 (Compatibilité avec la somme et le produit)
Soient n ∈ N∗ et (p, q, r, s) ∈ Z4 . Alors :
½
p ≡ q [n]
=⇒
r ≡ s [n]
½
p + r ≡ q + s [n]
pr ≡ q s [n]
Démonstration. Supposons que n divise (p −q) et (r −s). Alors il existe (u, v) ∈ Z2 tel que p −q = nu et r −s = nv.
Alors (p + r ) − (q + s) = n(u + v) donc n divise (p + r ) − (q + s). De plus, pr − q s = (p − q)r + q(r − s) = n(ur + q v)
donc n divise pr − q s.
Q.E.D.
Corollaire 1 (Compatibilité avec les puissances)
Soient n ∈ Z∗ , (p, q) ∈ Z2 et k ∈ N∗ . Alors :
p ≡ q [n] =⇒ p k ≡ q k [n].
Démonstration. Récurrence immédiate sur k en utilisant la compatibilité de la congruence et du produit.
Q.E.D.
Proposition 13 (La relation de congruence est une relation d’équivalence)
Soit n ∈ N∗ . La relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence.
Démonstration. Montrons que la relation de congruence modulo n est réflexive, symétrique et transitive.
• Réflexivité
Soit p ∈ Z, comme n divise p − p = 0, alors p ≡ q [n].
• Symétrie
Soit (p, q) ∈ Z2 tel que p ≡ q [n]. Alors n divise (p − q), donc n divise (q − p), donc q ≡ p [n].
14
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
• Transitivité
Soit (p, q, r ) ∈ Z2 tel que p ≡ q [n] et q ≡ r [n]. Alors par compatibilité de la congruence et de la somme,
on obtient p + q ≡ q + r [n], puis en soustrayant q (ce qui est possible, car −q ≡ −q [n]) en utilisant la
compatibilité de la somme et de la congruence, on obtient p ≡ r [n].
Q.E.D.
Exercice 8.
1. Montrer que pour tout n ∈ N, 5 divise 23n+5 + 3n+1 .
2. Quel est le reste de la division euclidienne de 162
1000
par 7 ?
3. Soit n ∈ N un nombre ayant a m a m−1 . . . a 0 pour écriture en base 10. Montrer que :
n ≡ a 0 + . . . + a m [3]
n ≡ a 0 + . . . + a m [9]
n ≡ a 0 − a 1 + a 2 − . . . + (−1)m a m [11]
Définition 17 (Classe d’équivalence)
Soit n ∈ N∗ . Soit p ∈ Z. Notons :
©
ª
p = q ∈ Z | p ≡ q [n]
l’ensemble des entiers congrus à p modulo n.
1. On dit que p est la classe d’équivalence de p modulo n.
2. Un élément de p est appelé représentant de p.
Remarque
Soit p, q ∈ Z. Alors :
q est un représentant de p
⇐⇒
q = p.
Proposition 14 (Nombre de classes d’équivalence)
Soit n ∈ N∗ . Il y a exactement n classes d’équivalences distinctes pour le relation de congruence modulo
n. Ces classes sont 0, 1, . . . , n − 1.
Démonstration.
• Commençons par montrer que la classe d’un entier relatif est toujours égale à celle de
0, ou à celle de 1,. . . , ou à celle de n − 1.
Soit p ∈ Z. Écrivons la division euclidienne de p par n :
∃ !(u, r ) ∈ Z2 ,
p = un + r et 0 ≤ r ≤ n − 1.
Ainsi, p ≡ r [n]. Pour tout q ∈ Z, par transitivité de la relation de congruence modulo n, on a : q ≡
p [n] ⇐⇒ q ≡ r [n]. Ainsi, p = r , avec 0 ≤ r ≤ n − 1.
• Remarquons ensuite que les classes 0, . . . , n − 1 sont distinctes, puisque si (r, s) ∈ [0, n − 1]2 , n|(r − s) ⇐⇒
r − s = 0 (cf. démonstration de la proposition 11).
Ainsi, 0, . . . , n − 1 forme une liste exhaustive, sans répétition, des classes d’équivalence pour la relation
de congruence modulo n.
Q.E.D.
Définition 18 (L’ensemble Z/nZ)
Soit n ∈ N∗ . On note Z/nZ l’ensemble des classes déquivalences pour la relation de congruence modulo
n.
15
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
Théorème 7 (Structure d’anneau sur Z/nZ)
Soit n ∈ N∗ . Soient p, q ∈ Z/nZ. Posons :
½
p + q = p +q
p . q = pq.
Les lois + et . sont bien définies, et (Z/nZ, +, .) est un anneau commutatif à n éléments. L’élément neutre
additif est 0, l’élément neutre multiplicatif est 1.
Démonstration.
• Il faut d’abord montrer que les opérations + et . sont bien définies, c’est-à-dire qu’elles
ne dépendent pas des représentants choisis.
Soient p, q ∈ Z/nZ, soient (p 1 , p 2 ) ∈ p 2 et (q 1 , q 2 ) ∈ q 2 . Il s’agit de montrer que p 1 + q 1 = p 2 + q 2 et que
p 1 q 1 = p 2 q 2 . Cela provient de la compatibilité de la somme et du produit avec la relation de congruence
modulo n : comme p 1 ≡ p 2 [n] et q 1 ≡ q 2 [n], alors p 1 + q 1 ≡ p 2 + q 2 [n] et p 1 q 1 ≡ p 2 q 2 [n] donc p 1 + q 1 =
p 2 + q 2 et p 1 q 1 = p 2 q 2 .
Ainsi, les lois + et . sont bien définies.
• Montrons maintenant que muni de ces lois + et ., Z/nZ est bien un anneau.
— (Z/nZ, +) est un groupe abélien
La loi + est bien une loi de composition interne, et elle associative et commutative puisque la loi +
sur Z est associative et commutative.
On vérifie sans peine que 0 est neutre pour la loi +, et que pour tout p ∈ Z/nZ, p + −p = 0, donc p
admet un inverse −p.
Donc (Z/nZ, +) est bien un groupe abélien.
— (Z/nZ, +, .) est un anneau commutatif
La loi . est associative et commutative puisque la loi . sur Z est associative et commutative. On vérifie
sans peine que 1 est neutre pour la loi ., et que la loi . est distributive par rapport à la loi + (puisque
la loi . est distributive par rapport à la loi + dans Z).
Q.E.D.
Remarque
Soit p ∈ Z/nZ, soit q ∈ Z. Alors q p = q p.
3.2 Étude du groupe (Z/nZ, +)
Proposition 15 (Caractère cyclique de (Z/nZ, +))
Soit n ∈ N∗ . Le groupe (Z/nZ, +) est cyclique engendré par 1.
Démonstration. Le groupe (Z/nZ, +) est fini de cardinal n. Il suffit de montrer qu’il est monogène. Pour cela,
on remarque que pour tout p ∈ J0, n − 1K,
p =1
. . + 1} = 1
. . + 1} = p1.
| + .{z
| + .{z
p fois
p fois
Q.E.D.
Théorème 8 (Générateurs de Z/nZ)
Soit n ∈ N∗ . Soit p ∈ Z. Alors :
< p > = Z/nZ ⇐⇒ p ∧ n = 1.
Démonstration. Procédons par double implication.
=⇒ Soit p ∈ Z tel que < p >= Z/nZ. Alors il existe u ∈ Z tel que up = 1, donc up = 1, donc n divise up − 1,
d’où l’existence d’un entier v ∈ Z tel que up − 1 = vn, soit encore up − vn = 1. D’après le théorème de
Bezout, p ∧ n = 1.
16
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
⇐= Soit p ∈ Z tel que p ∧ n = 1. D’après le théorème de Bezout, il existe (u, v) ∈ Z2 tel que up + vn = 1,
donc en passant aux classes d’équivalence : up = 1 (puisque n = 0). Or up = up, donc up = 1. Soit alors
q ∈ Z, q = uq p, donc q ∈< p >. Ainsi, p est un générateur de (Z/nZ, +).
Q.E.D.
Exemple 14.
1. Pour n = 4, remarquons que < 2 > = {0, 2}. En revanche, on a bien < 3 > = Z/4Z.
2. Si n est premier, tout élément non nul de Z/nZ engendre Z/nZ.
Proposition 16 (Isomorphisme entre (Z/nZ, +) et (Un , .))
Soit n ∈ N∗ . Les groupse (Z/nZ, +) et (Un , .) sont isomorphes.
Plus précisément, l’application :
¯
¯ ϕ : Z/nZ →
Un
¯
2i pπ
¯
¯
p
7→ e n
est un isomorphisme de groupes.
• Commençons par montrer que l’application ϕ est bien définie : soit (p, q) ∈ Z2 tel que
2i qπ
2i pπ
2i qπ 2i pπ
p = q. Alors il existe u ∈ Z tel que q = p + un. Alors
=
+ 2i u, donc e n = e n . Donc ϕ est
n
n
bien définie.
• Montrons que ϕ un morphisme de groupes : soit (p, q) ∈ (Z/nZ)2 , on a :
Démonstration.
ϕ(p + q) = ϕ(p + q)
=e
=e
2i (p+q)π
n
2i pπ
n
.e
2i qπ
n
= ϕ(p).ϕ(q)
• Montrons enfin que ϕ est bijective. Comme Z/nZ et Un sont finis de même cardinal, il suffit de montrer
2i pπ
2i pπ
que ϕ est injective. Soit alors p ∈ Ker(ϕ) : alors e n = 1, donc il existe u ∈ Z tel que
= 2i uπ, donc
n
p = un, donc p = 0. Donc ϕ est bien injective, donc bijective.
Ainsi, ϕ est bien un isomorphisme.
Q.E.D.
Proposition 17 (Morphisme canonique de Z dans G associé à un élément de G)
Soit (G, .) un groupe, soit a ∈ G.
1. L’application :
¯
¯ ϕa
¯
¯
:
Z
k
→
7
→
G
ak
est un morphisme de groupes, appelé morphisme canonique associé à a.
2. Son image Im(ϕa ) est le sous-groupe de G engendré par a.
Démonstration.
1. Soit k 1 , k 2 ∈ Z.
ϕa (k 1 + k 2 ) = a k1 +k2 = a k1 .a k2 = ϕa (k 1 ).ϕa (k 2 ).
2. Im(ϕa ) := {ϕa (k) : k ∈ Z} = {a k : k ∈ Z} =< a > (cf. exemple 5).
Q.E.D.
17
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Théorème 9 (Classification des groupes monogènes)
Soit (G, .) un groupe monogène et soit a un générateur de G. Le noyau du morphisme canonique ϕa est
un sous-groupe de Z. Il est donc de la forme nZ, avec n ∈ N.
• Si Ker(ϕa ) = {0}, G est isomorphe à (Z, +).
• Si Ker(ϕa ) = nZ, avec n ≥ 1, G est isomorphe à (Z/nZ, +).
Démonstration. Étudions séparément les deux cas possibles :
• Supposons que Ker(ϕa ) = {0}. Alors ϕa est injective. Comme a est un générateur de G, ϕa est surjective.
Donc ϕa est un isomorphisme.
• Supposons que Ker(ϕa ) = nZ, avec n ≥ 1. Posons alors :
¯
¯ ϕa
¯
¯
:
Z/nZ
p
→
7
→
G
ap
Montrons que ϕa est un isomorphisme.
— ϕa est bien définie
Soient p, q ∈ Z tels que p = q. Il existe u ∈ Z tel que q = p + un, donc a q = a p+un = a p .a nu = a p
puisque nu ∈ nZ = Ker(ϕa ). Donc a p = a q et ϕa est bien définie.
— ϕa est un morphisme de groupes
Soit (p, q) ∈ (Z/nZ)2 , alors :
ϕa (p + q) = ϕa (p + q) = a p+q = a p .a q = ϕa (p).ϕa (q).
— ϕa est bijective
Commençons par établir l’injectivité. Soit p ∈ Ker(ϕa ). Alors a p = 1, donc p ∈ Ker(ϕa ) = nZ, donc il
existe u ∈ Z tel que p = nu, donc p = 0. Ainsi, Ker(ϕa ) = {0} donc ϕa est injective.
La surjectivité de ϕa provient du caractère générateur de a : soit g ∈ G, il existe p ∈ Z tel que g = a p =
ϕa (p).
Ainsi, ϕa est bien un isomorphisme de groupes.
Q.E.D.
3.3 Étude de l’anneau (Z/nZ, +, .)
Théorème 10 (Éléments inversibles de (Z/nZ, +, .))
Soit n ∈ N∗ . Noton U (Z/nZ) le groupe des éléments inversibles de (Z/nZ, +, .). Alors :
©
ª
U (Z/nZ) = p ∈ Z/nZ : p ∧ n = 1 .
Démonstration. Procédons par double inclusion :
⊂ Soit p ∈ U (Z/nZ). Alors il existe q ∈ Z/nZ tel que p.q = 1, donc pq − 1 = 0, donc il existe u ∈ Z tel que
pq − 1 = un, donc q p − un = 1, et le théorème de Bezout assure que p ∧ n = 1.
⊃ Soit p ∈ Z tel que p ∧ n = 1. D’après le théorème de Bezout, il existe (u, v) ∈ Z2 tel que up + vn = 1, donc
en passant aux classes d’équivalence : up + vn = 1, d’où u p = 1, donc p est inversible et son inverse vaut
u.
Q.E.D.
Remarque
p ∈ U (Z/nZ) ⇐⇒ < p > = Z/nZ.
Corollaire 2 (Critère pour que (Z/nZ, +, .) soit un corps)
Soit n ∈ N∗ . L’anneau (Z/nZ, +, .) est un corps si et seulement si n est premier.
18
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
Démonstration.
l’anneau Z/nZ est un corps
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
pour tout r ∈ J1, n − 1K, r est inversible
pour tout r ∈ J1, n − 1K, r ∧ n = 1 (cf. Thm 10)
n n’a pas d’autre diviseur positif que 1 et n
n est premier
Q.E.D.
1. Quel est l’inverse de 4 dans Z/5Z ?
Exercice 9.
2. Quel est l’inverse de 16 dans Z/17Z ?
3. Quels sont les élémens inversibles de Z/2n Z ? Calculer le cardinal de U (Z/2n Z).
3.4 Théorème des restes chinois
Commençons par introduire la notion de produit d’anneaux.
Proposition 18 (Produit d’un nombre fini d’anneaux)
¶
µ
¶
µ
Soit A 1 , +, . , . . . , A p , p , . des anneaux. Sur le produit cartésien d’ensemble A 1 × . . . × A p , on définit
1 p
1 1
deux lois + et . par :
∀(x 1 , . . . , x p ), (y 1 , . . . , y p ) ∈ A 1 × . . . × A p ,
∀(x 1 , . . . , x p ), (y 1 , . . . , y p ) ∈ A 1 × . . . × A p ,
µ
¶
(x 1 , . . . , x p ) + (y 1 , . . . , y p ) := x 1 + y 1 , . . . , x p + y p
p
1
µ
¶
(x 1 , . . . , x p ).(y 1 , . . . , y p ) := x 1 . y 1 , . . . , x p . y p .
1
p
Alors (A, +, .) est un anneau.
Esquisse de démonstration
³
´
• On vérifie que le neutre de A 1 × . . . × A p pour la loi + est 0 A 1 , . . . , 0 A p .
• On vérifie que l’élément (x 1 , . . . , x p ) ∈ A 1 × . . . × A p a pour
³ opposé (−x
´ 1 , . . . , −x p ).
• On vérifie que le neutre de A 1 × . . . × A p pour la loi . est 1 A 1 , . . . , 1 A p .
• Enfin, l’associativité de +, l’associativité de . et la distributivité de + par rapport à . résulte essentiellement des propriétés correspondantes pour les lois +, . , . . . , +, . .
1 1
p p
Remarque
µ
¶ µ
¶
Soit A 1 , +, . et A 2 , 2, . deux anneaux, non réduits au zéro (i.e. tels que 0 A 1 6= 1 A 1 et 0 A 2 6= 1 A 2 ). Alors (A 1 ×
1 2
1 1
A 2 , +, .) n’est pas intègre. En effet :
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
0 A 1 , 1 A 2 . 1 A 1 , 0 A 2 = 0 A 1 , 0 A 2 = 0 A 1 ×A 2 .
Proposition 19 (Groupe des inversibles d’un produit d’anneaux)
µ
¶
µ
¶
Soit A 1 , +, . , . . . , A p , p , . des anneaux. Soit (A 1 × . . . × A p , +, .) l’anneau produit. Alors les groupes
1 1
1 p
U (A 1 × . . . × A p ) et U (A 1 ) × . . . ×U (A p )
sont isomorphes, où U (?) désigne le groupe des éléments inversible de l’anneau ? pour la multiplication.
Démonstration. Soit l’application
¯
¯ ϕ :
¯
¯
U (A 1 ) × . . . ×U (A p )
(x 1 , . . . , x p )
19
→
7
→
U (A 1 × . . . × A p )
(x 1 , . . . , x p )
Lycée Chrestien de Troyes
MP1617
Chapitre 27 − Algèbre générale
• L’application ϕ est bien définie
Soit (x 1 , . . . , x p ) ∈ U (A 1 ) × . . . ×U (A p ).
Soit i ∈ J1, p K. Puisque x i est inversible dans A i , il existe y i ∈ A i tel que x i . y i = y i . x i = 1 A i . Alors :
i
i
(x 1 , . . . , x p ).(y 1 , . . . , y p ) = (y 1 , . . . , y p ).(x 1 , . . . , x p ) = (1 A 1 , . . . , 1 A p ) = 1 A .
Donc (x 1 , . . . , x p ) est inversible dans A 1 × . . . × A p , i.e. appartient à U (A 1 × . . . × A p ).
• L’application ϕ est clairement un morphisme de groupes injectif.
• L’application ϕ est surjective.
Soit (x 1 , . . . , x p ) ∈ U (A 1 × . . . × A p ). Alors, il existe (y 1 , . . . , y p ) ∈ (A 1 × . . . × A p ) tel que :
(x 1 , . . . , x p ).(y 1 , . . . , y p ) = (y 1 , . . . , y p ).(x 1 , . . . , x p ) = 1 A = (1 A 1 , . . . , 1 A p ).
Par définition de la multiplication dans A, et de l’égalité de deux éléments d’un produit cartésien, il
vient :
∀i ∈ J1, p K, x i . y i = y i . x i = 1 A i .
i
i
Ainsi x i ∈ U (A i ) pour tout i ∈ J1, p K. Donc (x 1 , . . . , x n ) peut être vu comme un élément de U (A 1 ) × . . . ×
U (A p ) et ϕ(x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x n ).
Puisque l’application ϕ est un isomorphisme de groupes (multiplicatifs), les groupes U (A 1 ×. . .× A p ) et U (A 1 )×
. . . ×U (A p ) sont isomorphes.
Q.E.D.
Théorème 11 (Théorème des restes chinois)
Soit n, m des entiers supérieurs ou égaux à 2, premiers entre eux.
Alors les anneaux Z/nmZ et (Z/nZ) × (Z/mZ) sont isomorphes. Précisément, l’application :
¯
¯ f
¯
¯
Z/nmZ
x mod nm
:
→
7
→
(Z/nZ) × (Z/mZ)
( x mod n, x mod m )
est un isomorphisme d’anneaux.
Exercice 10. Résoudre le système :
½
x = 3 mod 5
x = 2 mod 7
d’inconnue x ∈ Z.
Définition 19 (Indicatrice d’Euler)
L’application :
¯
¯ ϕ
¯
¯
:
N∗
n
est appelée indicatrice d’Euler.
→
7→
N∗
#U (Z/nZ) = #{p ∈ J1, n K | p ∧ n = 1}
Théorème 12 (Théorème d’Euler)
Soit n ∈ N∗ . Soit a ∈ Z tel que a ∧ n = 1. Alors :
a ϕ(n) = 1 mod n.
Démonstration. Soit a ∈ Z tel que a ∧ n = 1. D’après le théorème 10, a ∈ U (Z/nZ). Or U (Z/nZ) est un groupe
(multiplicatif) qui est fini, de cardinal ϕ(n) par définition de l’indicatrice d’Euler. Alors, d’après le théorème 6 :
a ϕ(n) = 1
d’où a ϕ(n) = 1 mod n.
Q.E.D.
20
Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 27 − Algèbre générale
MP1617
Remarque
Si n = p est un nombre premier, le théorème d’Euler se spécialise en le petit théorème de fermat :
∀a ∈ J1, p − 1K,
a p−1 = 1 mod p.
Théorème 13 (Calcul de l’indicatrice d’Euler)
1. Soit n, m des entiers supérieurs ou égaux à 2, premiers entre eux. Alors :
ϕ(nm) = ϕ(n) ϕ(m).
2. Soit p un nombre premier, soit k ∈ N∗ . Alors :
³ ´
ϕ p k = (p − 1)p k−1 .
3. Soit n ∈ N∗ . Notons p 1 , . . . , p r les diviseurs premiers de n. Alors :
ϕ(n) = n
r
Y
µ
¶
1
.
1−
pk
k=1
Démonstration.
1. Par le théorème des restes chinois Z/nmZ et (Z/nZ) × (Z/mZ) sont des anneaux isomorphes. Par suite, les groupes des éléments inversibles U (Z/nmZ) et U ((Z/nZ) × (Z/mZ)) sont isomorphes. En particulier, ils ont le même cardinal :
ϕ(nm) = #U (Z/nmZ) = #U ((Z/nZ) × (Z/mZ)).
D’après la proposition 19, les groupes U ((Z/nZ) × (Z/mZ)) et U (Z/nZ) ×U (Z/mZ) sont isomorphes. En
particulier, ils ont le même cardinal :
#U ((Z/nZ) × (Z/mZ)) = # (U (Z/nZ) ×U (Z/mZ)) = #U (Z/nZ) #U (Z/mZ) = ϕ(n) ϕ(m).
Ainsi ϕ(nm) = ϕ(n) ϕ(m).
¡ ¢
2. Soit p un nombre premier, soit k ∈ N∗ . ϕ p k est le nombre d’entiers n ∈ J0, p k − 1K tels que p k ∧ n = 1.
Soit n ∈ J0, p k − 1K. Comme, p étant premier, p k ∧ n = 1 équivaut à p ne divise pas n. Donc :
¡ ¢
¡
¢
ϕ pk
= # J0, p k − 1K \ {n ∈ J0, p k − 1K : n est multiple de p}
¡
¢
= # J0, p k − 1K \ {q p : q ∈ J0, p k−1 − 1K}
= p k − p k−1
= (p − 1)p k−1 .
3. Écrivons la décomposition de n en produit de nombre premiers :
k
k
n = p11 . . . pr r
où les p i sont les diviseurs premiers de n et les k i sont des entiers naturels non nuls. À l’aide de 1 (et
d’une récurrence laissée en exercice), il vient :
³ ´
r
Y
k
ϕ(n) =
ϕ pi i .
i =1
Utilisant le résultat 2 :
¶
¶
¶
µ
³ ´ Y
r
r µ
r µ
r
r
r
Y
Y
Y
Y
Y
1
1
1
ki
ki
k i −1
ki
ϕ(n) =
ϕ p i = (p i − 1)p
=
p 1−
=
1−
=n
1−
.
p ×
pi
pi
pi
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
Q.E.D.
Exercice 11.
1. Montrer que 106 ≡ 1 [7], puis que
12
X
k
1010 ≡ −1 [7].
k=1
2
2. Montrer que ∀n ∈ N, 121 ne divise pas n + 3n + 5.
3. Soit p ∈ N∗ un entier premier. Trouver les classes q ∈ Z/pZ telles que q −1 = q.
4. Soit p ∈ N∗ un entier premier. Montrer que (p − 1)! ≡ −1 [p] (théorème de Wilson).
21