Chapitre 27 Algèbre générale Table des matières

Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 27 −Algèbre générale MP1617
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Chapitre 27
Algèbre générale
Version du 05-04-2017 à 05:40
Table des matières
1 Extrait du programme relatif à ce chapitre 2
1.1 Groupes et sous-groupes (MPSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Sous-groupe engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Anneaux 10
3 L’anneau Z/nZ13
3.1 Construction de l’anneau Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Étude du groupe (Z/nZ,+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Étude de l’anneau (Z/nZ,+,.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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1 Extrait du programme relatif à ce chapitre
L’étude des structures algébriques permet d’approfondir plusieurs points abordés en première année : arith-
métique de Zet de K[X], congruences, algèbre linéaire, groupe symétrique, groupes issus de l’algèbre linéaire
et de la géométrie des espaces euclidiens. Ce chapitre gagne à être illustré par de nombreux exemples.
Groupes et sous-groupes
Groupe. Produit fini de groupes. Exemples issus de l’algèbre et de la géométrie.
Sous-groupe. Caractérisation.
Intersection de sous-groupes.
Sous-groupe engendré par une partie.
Sous-groupes du groupe (Z,+).
Morphismes de groupes
Morphisme de groupes. Exemples : signature, déterminant.
Image et image réciproque d’un sous-groupe par
un morphisme. Image et noyau d’un morphisme.
Condition d’injectivité d’un morphisme.
Exemple : groupe spécial orthogonal d’un espace
euclidien.
Isomorphisme de groupes. Réciproque d’un iso-
morphisme.
Groupes monogènes et cycliques
Groupe (Z/nZ,+). Générateurs de Z/nZ.
Groupe monogène, groupe cyclique. Groupe des racines n-ièmes de l’unité.
Tout groupe monogène infini est isomorphe à
(Z,+). Tout groupe monogène fini de cardinal nest
isomorphe à (Z/nZ,+).
Ordre d’un élément dans un groupe
Élément d’ordre fini d’un groupe, ordre d’un tel élé-
ment.
Si xest d’ordre fini, l’ordre de xest le cardinal du
sous-groupe de Gengendré par x.
Si xest d’ordre fini det si edésigne le neutre de G,
alors, pour ndans Z, on a xn=e⇐⇒ d|n.
L’ordre d’un élément d’un groupe fini divise le car-
dinal du groupe.
La démonstration n’est exigible que pour Gcom-
mutatif.
Anneaux
Anneau. Produit fini d’anneaux. Les anneaux sont unitaires.
Sous-anneaux. Morphisme d’anneaux. Image et
noyau d’un morphisme. Isomorphisme d’anneaux.
Anneau intègre. Corps. Sous-corps. Les corps sont commutatifs.
Idéaux d’un anneau commutatif
Idéal d’un anneau commutatif. Le noyau d’un mor-
phisme d’anneaux est un idéal.
Relation de divisibilité dans un anneau commutatif
intègre.
Interprétation de la divisibilité en termes d’idéaux.
Idéaux de Z.
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L’anneau Z/nZ
Anneau Z/nZ.
Inversibles de Z/nZ. L’anneau Z/nZest un corps si et seulement si nest
premier.
Théorème chinois : si met nsont deux entiers pre-
miers entre eux, isomorphisme naturel de Z/mnZ
sur Z/mZ×Z/nZ.
Application aux systèmes de congruences.
Indicatrice d’Euler ϕ. Calcul de ϕ(n) à l’aide de la
décomposition de nen facteurs premiers.
I : calcul de ϕ(n) à l’aide d’une méthode de crible.
Théorème d’Euler. Lien avec le petit théorème de Fermat étudié en pre-
mière année.
I : codage RSA.
1.1 Groupes et sous-groupes (MPSI)
Définition 1 (Groupe)
Soit Gun ensemble non vide, soit . : G×G→Gune loi de composition interne. On dit que (G,.) est un
groupe si :
1. La loi . est associative, ie :
∀(x,y,z)∈G3, (x.y).z=x.(y.z)
2. Il existe un élément e∈Gappelé « élément neutre » tel que pour tout x∈G:
e.x=x.e=x
3. Tout élément admet un inverse, ie : pour tout x∈G, il existe un élément x−1∈Gtel que :
x.x−1=x−1.x=e.
Remarques
1. Le neutre d’un groupe est unique.
2. Si xest un élément d’un groupe, alors son inverse est unique.
Remarque
Soit (G,.) un groupe. Si la loi . vérifie la propriété suivante :
∀(x,y)∈G2,x.y=y.x
alors on dit que le groupe (G,.) est commutatif ou abélien, ou que la loi . est commutative.
Exemple 1. 1. (Z,+), (Q,+), (R,+) et (C,+) sont des groupes abéliens.
2. ({−1,1},×), (Q∗,×), (R∗,×), (C,×) et (U,×) sont des groupes abéliens.
3. Soit n∈N≥3. Alors (Sn,◦) est un groupe non abélien.
4. (R[X],+) et (Mn(K),+) sont des groupes abélien.
5. Soit n∈N≥2.GLn(K) est un groupe non abélien.
Définition 2 (Sous-groupe)
Soit (G,.) un groupe, soit H⊂G. On dit que Hest un sous-groupe de (G,.) si :
1. Hcontient le neutre, i.e. :
e∈H.
2. Hest stable pour la loi ., i.e. :
∀(x,y)∈H2,x.y∈H.
3. Hest stable pour le passage à l’inverse, i.e. :
∀x∈H,x−1∈H.
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Proposition 1 (Un sous-groupe est un groupe)
Soit (G,.) un groupe, soit H⊂Gun sous-groupe de (G,.). Alors la restriction de la loi . à Hdéfinit une loi
de composition interne sur H, et (H,.) est un groupe.
Remarques
1. En général, pour montrer que (G,.) est un groupe, on montre que Gest un sous-groupe d’un groupe
donné.
2. Pour montrer que Hest un sous-groupe de (G,.), il suffit de montrer que e∈Het que pour tout (x,y)∈
H2,x.y−1∈H.
Théorème 1 (Produit de deux groupes)
Soient (G1,.) et (G2,?) deux groupes. La loi ×définie sur l’ensemble G1×G2par :
∀((x1,x2),(y1,y2)) ∈(G1×G2)2, (x1,x2)×(y1,y2)=(x1.y1,x2?y2)
est une loi de composition interne sur G1×G2, et (G1×G2,×) est un groupe, appelé groupe produit de
G1et G2.
Remarque
On peut de la même façon définir le produit d’une famille finie de groupes.
Si ³G1,?
1´,...,³Gn,?
n´est une famille de ngroupes, la loi ×définie sur G=G1×... ×Gnpar :
∀(x1,...,xn)∈G,∀(y1,..., yn)∈G, (x1,...,xn)×(y1,..., yn)=³x1?
1y1,..., xn?
nyn´
est une loi de composition interne sur G, et (G,×) est un groupe, appelé groupe produit des µGi,?
i¶.
Exemple 2. 1. Znmuni de la loi +usuelle (x1,...,xn)+(y1,..., yn)=(x1+y1,..., xn+yn) est un groupe
abélien.
2. Rnmuni de la loi +usuelle (x1,...,xn)+(y1,..., yn)=(x1+y1,..., xn+yn) est un groupe abélien.
Théorème 2 (Intersection de sous-groupes)
Soit (G,.) un groupe. Soit (Hi)i∈Iune famille de sous-groupes de G. Alors leur intersection :
H=\
i∈I
Hi
est un sous-groupe de G.
Exercice 1. Soit (G,.) un groupe, soient Het Kdeux sous-groupes de G. Donner une condition nécessaire et
suffisante pour que H∪Ksoit un sous-groupe de G.
1.2 Morphismes de groupes
Définition 3 (Morphisme de groupes)
Soient (G,.) et (H,?) deux groupes. Une application f:G→Hest un morphisme de groupes si :
∀(x,y)∈G2,f(x.y)=f(x)?g(y).
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Proposition 2 (Propriétés d’un morphisme de groupes)
Soient (G,.) et (H,?) deux groupes, soit f:G→Hun morphisme. Notons respectivement eGet eHles
éléments neutres de Get H. Alors :
1. f(eG)=eH;
2. ∀x∈G,f(x−1)=f(x)−1.
Exemple 3. 1. Soit a∈Z. L’application :
ϕ:Z→Z;n7→ an
est un morphisme de (Z,+) dans lui-même.
2. L’application exp: (R,+)→(R>0,×) est un morphisme de groupes.
3. L’application ln: (R>0,×)→(R,+) est un morphisme de groupes.
4. La signature ε: (Sn,◦)→({−1,1},×) est un morphisme de groupes.
Définition 4 (Noyau, image d’un morphisme de groupes)
Soient (G,.) et (H,?) deux groupes, soit f:G→Hun morphisme.
1. L’ensemble Ker(f)={x∈G|f(x)=eH} est appelé « noyau du morphisme f».
2. L’ensemble Im(f)=f(G)={f(x), x∈G} est appelé « image du morphisme g».
Proposition 3 (Le noyau et l’image sont des sous-groupes)
Soient (G,.) et (H,?) deux groupes, soit f:G→Hun morphisme. Alors Ker(f) est un sous-groupe de G
et Im(f) est un sous-groupe de H.
Exemple 4. 1. L’application det: GLn(K)→K∗est un morphisme de groupes (K=Rou C). Son noyau est
généralement noté SLn(K).
2. Le noyau de la signature ε: (Sn,◦)→({−1,1},×) est l’ensemble des permutations de signature 1 : on
l’appelle le sous-groupe alterné, et on le note An.
Exercice 2. Déterminer tous les morphismes de (Z,+) dans lui-même.
Théorème 3 (Composition et inversion de morphismes.)
Soient (G1,.) (G2,?), (G3,∗) trois groupes.
1. Soient f: (G1,.) →(G2,?) et g: (G2,?)→(G3,∗) deux morphismes de groupes.
Alors g◦f: (G1,.) →(G3,∗) est un morphisme de groupes.
2. Soit f: (G1,.) →(G2,?) un morphisme de groupes.
Si l’application fest une bijection, sa bijection réciproque f−1: (G2,?)→(G1,.) est un mor-
phisme de groupes.
On dit alors que fest un isomorphisme de groupes, et que les groupes (G1,.) et (G2,?) sont iso-
morphes.
Exercice 3. 1. Déterminer toues les isomorphismes de (Z,+) dans lui-même.
2. Les groupes (Z,+) et (Z2,+) sont-ils isomorphes?
3. Les groupes (Z,+) et (Q,+) sont-ils isomorphes?
4. Les groupes (R∗,×) et (R+∗,×) sont-ils isomophes?
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