Oscillateur du second ordre amorti

R´egime oscillatoire
ou pseudo-p´eriodique
L. Sourrouille∗
14 d´ecembre 2008
On consid`ere l’´evolution temporelle d’une grandeur x(t) r´egie par une ´equation diff´erentielle
lin´eaire du second ordre `a coefficients constants.
Cette grandeur peut ˆetre
– m´ecanique : ´elongation xd’un syst`eme masse-ressort avec amortissement fluide
M¨x+f˙x+kx = 0
– ´electrique : charge qdu condensateur dans un syst`eme bobine-condensateur avec amortis-
sement r´esistif
L¨q+R˙q+q
C= 0
Dans ce dernier cas on peut aussi ´ecrire
LC ¨u+RC ˙u+u= 0
en notant ula tension aux bornes du condensateur.
La masse Mou l’inductance Lcorrespondent `a l’inertie, donc `a la possibilit´e d’emmagasiner
de l’´energie cin´etique (1
2M˙x2ou 1 2L˙q2) ; la raideur kdu ressort ou l’inverse 1 Cde la capacit´e
correspondent `a la possibilit´e d’emmagasiner de l’´energie potentielle (1
2k x2ou 1 2
q2
C).
L’´equation diff´erentielle peut se mettre sous la forme dite canonique
¨x+ 2 m ω0˙x+ω2
0x= 0
o`u
– dans le cas m´ecanique ω0=qk
M,m=1 2fq1 kM ;
– dans le cas ´electrique ω0=q1
LC ,m=1 2RqC L.
Le param`etre ω0est la pulsation propre ou ”naturelle” du syst`eme. Le param`etre mest le
coefficient d’amortissement.
Le second membre peut avoir une valeur constante ω2
0Eo`u la grandeur E, ´eventuellement
non nulle, correspond `a la valeur finale atteinte par x(t) au bout d’un temps suffisamment long
(infini en th´eorie).
Du fait de la lin´earit´e, la solution de l’´equation diff´erentielle `a second membre nul est une
combinaison d’exponentielles.
Lorsque mest inf´erieur `a 1, ces exponentielles ont des exposants complexes conjugu´es (−m±
j√1−m2)ω0t.
On en tire l’expression de la solution x(t) :
x(t) = A e−m ω0tcos (p1−m2ω0t+ϕ) + E
∗Merci `a mon condisciple et compain J.-M. Primaux pour ses remarques.

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L’amplitude Aet la phase `a l’origine ϕsont d´etermin´ees par les conditions initiales x0et ˙x0,
soit
ϕ= arctan (−
˙x0
x0−E+m ω0
√1−m2ω0
) ; A=x0−E
cos ϕ
L’´evolution de x(t) est alors oscillatoire, c’est-`a-dire sinuso¨ıdale amortie ou pseudo-p´eriodique.
Les oscillations correspondent `a des ´echanges successifs entre ´energie cin´etique et ´energie
potentielle, l’amortissement vient du facteur dissipatif fou R(frottements ou effet Joule).
La pseudo-pulsation est la pulsation du cosinus soit
ω=ω0p1−m2
`a laquelle correspondent une pseudo-fr´equence F=ω
2πet une pseudo-p´eriode T=1 F.
Intuitivement, la pseudo-p´eriode peut-ˆetre vue comme
– l’intervalle entre deux passages cons´ecutifs dans le mˆeme sens par la valeur E,
– ou l’intervalle entre deux maxima ou deux minima successifs.
Les passages de x(t) par Esont donn´es par les valeurs de tqui annulent cos(ω t +ϕ) soit
t0k=T
2π(π 2−ϕ+kπ)k∈Z
Les extrema de x(t) sont donn´es par les valeurs de t qui annulent ˙x(t) soit
tk=T
2π(arctan(−m
√1−m2)−ϕ+kπ)k∈Z
Math´ematiquement, la pseudo-p´eriode correspond donc bien `a
∆t0=t0k+2 −t0k=Tou ∆t=tk+2 −tk=T.
Pratiquement, il est plus pr´ecis de mesurer sur un enregistrement l’intervalle ∆t0entre deux
passages `a z´ero (ou `a E) que de rep´erer des extrema.
Tout ce qui pr´ec`ede peut ˆetre illustr´e par la figure suivante, trac´ee pour des valeurs non
nulles de x0, ˙x0et E:
0 1 2 3
0.00
0.50
1.00
x/xo
temps/To
Pseudo-période T= 1.0114 To
m= 0.15
∆t= 1.0114 To
∆to= 1.0114 To