Oscillateur du second ordre amorti

Régime oscillatoire
ou pseudo-périodique
L. Sourrouille∗
14 décembre 2008
On considère l’évolution temporelle d’une grandeur x(t) régie par une équation différentielle
linéaire du second ordre à coefficients constants.
Cette grandeur peut être
– mécanique : élongation x d’un système masse-ressort avec amortissement fluide
M ẍ + f ẋ + kx = 0
– électrique : charge q du condensateur dans un système bobine-condensateur avec amortissement résistif
q
=0
Lq̈ + Rq̇ +
C
Dans ce dernier cas on peut aussi écrire
LC ü + RC u̇ + u = 0
en notant u la tension aux bornes du condensateur.
La masse M ou l’inductance L correspondent à l’inertie, donc à la possibilité d’emmagasiner
de l’énergie cinétique ( 12 M ẋ2 ou 21 Lq̇ 2 ) ; la raideur k du ressort ou l’inverse C1 de la capacité
2
correspondent à la possibilité d’emmagasiner de l’énergie potentielle ( 12 k x2 ou 12 qC ).
L’équation différentielle peut se mettre sous la forme dite canonique
ẍ + 2 m ω0 ẋ + ω02 x = 0
où
q
q
k
1
– dans le cas mécanique ω0 = M
, m = 12 f kM
;
q
q
1
– dans le cas électrique ω0 = LC
, m = 12 R C
L.
Le paramètre ω0 est la pulsation propre ou ”naturelle” du système. Le paramètre m est le
coefficient d’amortissement.
Le second membre peut avoir une valeur constante ω02 E où la grandeur E, éventuellement
non nulle, correspond à la valeur finale atteinte par x(t) au bout d’un temps suffisamment long
(infini en théorie).
Du fait de la linéarité, la solution de l’équation différentielle à second membre nul est une
combinaison d’exponentielles.
√ Lorsque m est inférieur à 1, ces exponentielles ont des exposants complexes conjugués (−m±
j 1 − m2 ) ω0 t.
On en tire l’expression de la solution x(t) :
p
x(t) = A e−m ω0 t cos ( 1 − m2 ω0 t + ϕ) + E
∗
Merci à mon condisciple et compain J.-M. Primaux pour ses remarques.
2
L’amplitude A et la phase à l’origine ϕ sont déterminées par les conditions initiales x0 et ẋ0 ,
soit
ẋ0
+ m ω0
x0 − E
0 −E
ϕ = arctan (− x√
) ; A=
2
cos ϕ
1 − m ω0
L’évolution de x(t) est alors oscillatoire, c’est-à-dire sinusoı̈dale amortie ou pseudo-périodique.
Les oscillations correspondent à des échanges successifs entre énergie cinétique et énergie
potentielle, l’amortissement vient du facteur dissipatif f ou R (frottements ou effet Joule).
La pseudo-pulsation est la pulsation du cosinus soit
p
ω = ω0 1 − m2
à laquelle correspondent une pseudo-fréquence F =
ω
2π
et une pseudo-période T =
1
F.
Intuitivement, la pseudo-période peut-être vue comme
– l’intervalle entre deux passages consécutifs dans le même sens par la valeur E,
– ou l’intervalle entre deux maxima ou deux minima successifs.
Les passages de x(t) par E sont donnés par les valeurs de t qui annulent cos(ω t + ϕ) soit
T π
t0k =
( − ϕ + kπ) k ∈ Z
2π 2
Les extrema de x(t) sont donnés par les valeurs de t qui annulent ẋ(t) soit
T
m
tk =
(arctan(− √
) − ϕ + kπ) k ∈ Z
2π
1 − m2
Mathématiquement, la pseudo-période correspond donc bien à
∆t0 = t0k+2 − t0k = T ou ∆t = tk+2 − tk = T .
Pratiquement, il est plus précis de mesurer sur un enregistrement l’intervalle ∆t0 entre deux
passages à zéro (ou à E) que de repérer des extrema.
Tout ce qui précède peut être illustré par la figure suivante, tracée pour des valeurs non
nulles de x0 , ẋ0 et E :
x/xo
m= 0.15
Pseudo-période T= 1.0114 To
1.00
∆to= 1.0114 To
0.50
0.00
∆t= 1.0114 To
0
1
2
temps/To
3