GEL-7064 : Théorie et pratique des codes

Codes cycliques linéaires
Propriétés des codes cycliques linéaires
Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codes cycliques linéaires systématiques
GEL-7064 : Théorie et pratique des codes
correcteurs
Codes cycliques
Notes de cours
Jean-Yves Chouinard
Département de génie électrique et de génie informatique
Université Laval
[email protected]
12 février 2013
Jean-Yves Chouinard Codes cycliques

Codes cycliques linéaires
Propriétés des codes cycliques linéaires
Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codes cycliques linéaires systématiques
Plan de la présentation
1Codes cycliques linéaires
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
Idéals
2Propriétés des codes cycliques linéaires
3Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codage des codes cycliques linéaires
Décodage des codes cycliques linéaires
4Codes cycliques linéaires systématiques
Jean-Yves Chouinard Codes cycliques

Codes cycliques linéaires
Propriétés des codes cycliques linéaires
Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codes cycliques linéaires systématiques
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
Idéals
Définition des codes cycliques linéaires
Définition (code cyclique linéaire) :
Un code bloc linéaire C(n,k)est dit code cyclique linéaire si
pour tout mot-code c= (c0,c1,...,cn−1), il existe un mot-
code c′= (cn−1,c0,...,cn−2).
Dans un code cyclique linéaire C, toutes les permutations
(circulaires) cycliques d’un mot-code sont aussi des mot-codes.
Par exemple, si le vecteur x= (1,0,0,0,1,1,0)est un mot-code
dans C, alors toutes ses versions décalées sont aussi des mot-codes
du code cyclique linéaire :
(1,0,0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1,0,1),(0,0,1,1,0,1,0),...,(0,1,0,0,0,1,1)∈ C
Jean-Yves Chouinard Codes cycliques

Codes cycliques linéaires
Propriétés des codes cycliques linéaires
Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codes cycliques linéaires systématiques
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
Idéals
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
Soit f(x) = a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1+anxnoù les
coefficients aisont des éléments (scalaires) d’un corps fini. Le degré
du polynôme f(x)est la plus grande valeur de ntelle que an6=0.
Un polynôme de degré nest appelé polynôme monique si le
coefficient an=1 :
f(x) = a0+a1x+a2x2+...+an−1xn−1+xn
Les éléments des mot-codes peuvent être exprimés comme les
coefficients d’un polynôme mot-code :
c(x) = c0+c1x+c2x2+...+cn−2xn−2+cn−1xn−1
où l’exposant ide xiindique la position de l’élément dans le
mot-code c(x), i.e. c.
Jean-Yves Chouinard Codes cycliques

Codes cycliques linéaires
Propriétés des codes cycliques linéaires
Codage et décodage des codes cycliques linéaires
Codes cycliques linéaires systématiques
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
Idéals
Représentation polynômiale des codes cycliques linéaires
En utilisant cette notation polynômiale, les décalages circulaires (ou
cycliques) d’un mot-code c, peuvent s’exprimer en multipliant le
polynôme mot-code c(x)par xioù iindique le nombre de
décalages circulaires vers la droite, et en réduisant le polynôme
résultant modulo xn−1.
décalage
circulaire mot-code polynôme mot-code
icc(x)
0(c0,c1,c2,...,cn−1)c(x) = c0+c1x+c2x2+... +cn−1xn−1
1(cn−1,c0,c1,...,cn−2)x c(x) = cn−1+c0x+c1x2+. . . +cn−2xn−1
2(cn−2,cn−1,c0,...,cn−3)x2c(x) = cn−2+cn−1x+c0x2+... +cn−3xn−1
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n−1(c1,c2,c3,...,c0)xn−1c(x) = c1+c2x+c3x2+. . . +c0xn−1
Jean-Yves Chouinard Codes cycliques