TD 16 : Mouvement d`une particule chargée dans un champ

LYCÉE JEAN BART
PHYSIQUE - PCSI
TD 16 : Mouvement d'une particule chargée dans un
champ électrique ou magnétique
I. Tester ses connaissances et sa compréhension du cours
1) Pourquoi néglige-t-on le poids dans les équations de tels mouvements ?
2) Montrer que la trajectoire d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme est
parabolique. Dans quel cas obtient-on une droite ?
Le mouvement peut-il être uniforme ?
3) En utilisant le TEC, déterminer la vitesse acquise par une particule dans un champ électrostatique.
4) Montrer que la trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétostatique uniforme est
hélicoïdale. Dans quel cas obtient-on un cercle ? une droite ?
II. Questions de réflexion – Physique pratique
1) Collisions de protons au LHC
- Sur un schéma, tracer un champ magnétique vertical et préciser dans quel sens peuvent tourner les
protons.
- Comment procède-t-on dans le synchrotron du LHC pour faire tourner des protons dans des sens
opposés afin de permettre leur collision ?
2) Synchrocyclotron
Aux hautes énergies, le fonctionnement d'un cyclotron est défaillant. Envisager une explication.
Comment peut-on remédier à ce problème ?
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III. Exercices d'entraînement
1) Spectrographe de masse
Le spectrographe de masse est un appareil permettant, entre autres, de séparer les différents isotopes
d’un élément dans un échantillon (pour les compter ou pour en sélectionner un).
⃗
B
ey
⃗
e⃗x
Un faisceau de particules chargées est constitué des ions de deux isotopes du mercure :
200
Hg 2 + et 202
Hg 2 + notés respectivement (1) et (2)
80
80
Ce faisceau est émis par la source S avec une vitesse quasi nulle, puis accéléré par une tension U > 0.
⃗ B e ⃗uniforme, orthogonal au faisceau
Il pénètre alors en O dans une zone de champ magnétique B=
z
incident.
Données : masse d’un nucléon m = 1,67.10-27 kg (la masse de l’électron sera négligée devant m)
U = 10 kV
B = 0,10 T
e = 1,6.10-19 C
1. Exprimer les vitesses v1 et v2 acquises respectivement par les isotopes (1) et (2) suite à l’accélération
par la tension U.
2. Déterminer la trajectoire des ions dans la zone de champ magnétique.
Exprimer les rayons R1 et R2 des trajectoires des isotopes (1) et (2).
3. On recueille les particules sur une plaque photographique P après qu’elles aient fait demi-tour.
Exprimer puis calculer la distance d entre les deux traces observées.
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2) Étude du Cyclotron
Un cyclotron est formé de deux enceintes demi-cylindriques D1 (région (1)) et D2 (région (3)), appelées
⃗ B e ⃗.
dees, dans lesquelles règne un champ magnétique uniforme B=
z
Entre ces deux dees, une bande étroite de largeur d (région (3)) est plongée dans un champ électrique
alternatif de module E, mais qui change de sens.
(3)
(2)
On introduit au point O (0,0,0) une particule de charge q > 0, sans vitesse initiale, la tension UD1D2 est
alors positive.
1. Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région (3), avant qu’elle ne pénètre dans la
région (2) où règne un champ magnétique ?
Calculer la vitesse v1 de la particule lorsqu’elle pénètre dans la région (2).
2.1. Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région (2) ?
Déterminer la trajectoire parcourue ainsi que ses caractéristiques.
2.2. Quelle est la vitesse de la particule lorsqu’elle sort de la région (2) ?
3. Pendant que la particule était dans la région (2), la signe de la tension UD1D2 a changé.
Quelle est la nature du mouvement de la particule dans la région (3), avant qu’elle ne pénètre dans la
région (1) ?
Calculer la vitesse v2 de la particule lorsqu’elle pénètre dans la région (1).
4.1. La particule est à nouveau déviée dans la région (1). Quelle est la nature de sa trajectoire ?
4.2. Exprimer la durée de cette trajectoire.
Montrer que cette durée a la même valeur à chaque passage dans la zone (1) permettant ainsi de
calculer le rapport q/m.
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4.3. En déduire la fréquence fC de la tension alternative nécessaire pour accélérer la particule à chacun
de ses passages entre les dees, en négligeant le temps de passage de la particule dans la région (3).
5.1. Après n passages dans la région (3), quelle est la vitesse vn de la particule ?
5.2. Quel est l’intérêt du passage de la particule dans la région (3) ?
6.1. Un cyclotron a un diamètre maximal utile de 52 cm.
Calculer, en Joules puis en MeV, l’énergie cinétique maximale des protons (de masse mp) accélérés par
ce cyclotron lorsque la fréquence de l’oscillateur électrique qui accélère les protons entre les dees est
de 12 MHz.
Quelle est alors la valeur du champ magnétique ?
6.2. L’amplitude de la tension alternative appliquée entre les deux dees est de 200 kV.
Calculer le nombre de tours effectués par les protons pour atteindre leur énergie cinétique maximale.
Données : 1 eV = 1,6.10-19 J
mp = 1,67.10-27 kg
Peter HIGGS posant devant les équations décrivant le BOSON de HIGGS
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3) Estimation du champ magnétique solaire
La figure ci-dessous donne une représentation schématique à l'échelle d'une gerbe solaire.
Elle est formée de plasma solaire éjecté de la surface du Soleil et courbé par le champ magnétique
solaire. Le rayon du Soleil est de l'ordre de 7,0×108 m.
On émet les hypothèses suivantes :
Les particules chargées sont des protons de masse m = 1,67×10−27 kg et de charge e = 1,60×10−19 C,
elles possèdent une vitesse de l'ordre de v0 = 5,0×105 m.s−1.
Déterminer la direction et le sens du champ magnétique cohérents avec le sens de rotation des
protons sur la figure et estimer le champ magnétique solaire.
Commenter la valeur trouvée.
4) Analyse d'un cliché de chambre à bulles
La figure ci-dessous présente un cliché de la chambre à bulles du Fermilab dans lequel des protons
énergétiques sont envoyés dans une mixture de Ne et H.
Sur ce cliché, on s’intéresse à des trajectoires d’électrons et de positrons antiparticule de l’électron, de
même masse et de charge opposée, produits par collision des protons incidents avec ceux de la mixture
H et Ne. Les trajectoires observées sont celles de particules chargées.
Cliché de chambre à bulles
Trajectoires à interpréter
Il règne dans la chambre à bulles un champ magnétique de direction orthogonale au plan de la figure.
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1.1. Justifier qu’un champ magnétique permet de courber les trajectoires. Établir l’expression du
rayon R de la trajectoire d’une particule de charge q dans un champ magnétique uniforme de norme B
en fonction de sa quantité de mouvement p.
On admet que cette formule reste valable en mécanique relativiste.
1.2. Comment varie l’énergie cinétique d’une particule décrivant une trajectoire circulaire dans un
champ magnétique uniforme ?
Comment interpréter le fait que les trajectoires observées forment des spirales.
2.1. Les petites spirales isolées sont les trajectoires d’électrons dits «Compton» éjectés d’un atome par
un photon. Quelle est le sens du champ magnétique ?
2.2. Identifier la nature des particules qui suivent les trajectoires (A→B), (D→E), (C→F) et (C→G).
2.3. Sur la portion B → C, la particule observée est un photon.
Décrire les processus sur la portion (A → B → C → F/G).
3.1. La distance BC est de 11cm et le champ magnétique a une intensité de 3T.
En déduire des approximations de la quantité de mouvement et de l’énergie des particules sur les
différentes portions des trajectoires.
En E, on observe la collision entre deux particules, la particule incidente communiquant toute sa
quantité de mouvement à la cible. Ceci n’est possible que si leurs masses sont égales : cette observation
a historiquement permis de vérifier l’égalité des masses de l’électron et du positron.
5) Étude du phénomène de déflexion magnétique
B 0= B 0 ⃗
e z uniforme dans une région
On produit un champ magnétique ⃗
limitée de l’espace 0≤ x≤l .
Une particule de masse m et de charge q < 0 entre en un point O choisi
v0 =v 0 ⃗
ex .
comme origine du repère avec la vitesse ⃗
B0 .
1. Déterminer la trajectoire de la particule tant qu’elle est dans la région où règne ⃗
2.1. Montrer que, si v0 est supérieure à une valeur qu’on déterminera, la particule sort de cette région.
On note (x = l, y) les coordonnées du point de sortie.
2.2. Déterminer y et le module de la vitesse ⃗v au point de sortie.
v0 .
2.3. Déterminer également l’angle de déflexion α entre ⃗v et ⃗
On souhaite utiliser cette déflexion pour séparer des particules de même charge q et de masse
différente (différents isotopes ionisés d’un même atome par exemple).
On réalise ainsi un spectrographe de masse.
Dans cet appareil, les particules sont préalablement accélérées par une différence de potentiel U entre
deux électrodes planes distantes de d à partir d’une vitesse initiale qu’on considérera nulle.
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ex .
3.1. Faire un schéma du dispositif : les électrodes sont des plaques orthogonales à ⃗
v0 =v 0 ⃗
e x acquise par les particules en
3.2. Déterminer x(t) entre les électrodes ainsi que la vitesse ⃗
fonction de U, q et m après la traversée de la région accélératrice.
B0 : déterminer, quand elle existe, leur
3.3. Les particules entrent ensuite dans une région de champ ⃗
position de sortie.
3.4. Montrer que la déflexion magnétique étudiée précédemment permet de séparer physiquement des
particules de même charge et de masse différente.
Peut-elle séparer des particules de même charge spécifique q/m ?
6) Mouvement d'électrons dans un synchrotron
Les accélérateurs de particules performants permettent d’atteindre des vitesses proches de celle de la
lumière. Dans ces conditions, les grandeurs cinétiques s'expriment dans le cadre relativiste :
2
⃗p=γ m⃗v et E c =(γ−1)mc
1. Tracer les allures des courbes de p et de Ec en fonction de v et comparer au cas non relativiste.
On vérifiera en particulier qu’on retrouve les formules non relativistes pour v << c.
Un synchrotron est une machine de grande taille servant à accélérer des particules chargées.
Une fois accélérées, elles se déplacent à très grande vitesse dans un «anneau de stockage», leur
trajectoire se composant d’une succession de portions rectilignes. Le faisceau est dévié entre chaque
portion rectiligne par un champ magnétique qu’on considérera uniforme.
Voici une présentation du synchrotron Soleil de l’article du Bulletin de l’Union des Physiciens n°855 :
«Ayant atteint 2,75 GeV grâce aux deux accélérateurs, les électrons sont alors injectés dans l’anneau
de stockage de 364m de circonférence où 32 aimants de courbure [. . . ] assurent [. . . ] le guidage du
faisceau.»
2.1. Les électrons sont-ils relativistes ?
2.2. Quelle doit être la déflexion angulaire produite par chaque aimant ?
2.3. Adapter la formule non relativiste donnant l’angle de déviation de l’exercice précédent «déflexion
magnétique » au cas relativiste et en déduire l’intensité du champ magnétique nécessaire.
La longueur d de chaque élément de courbure est d = 1,0 m.