Suites Représentations d’une suite Limite de suite Suite de nombres réels - Informellement Une suite à valeurs dans R est une séquence infinie de nombres réels , où l’ordre compte, et les répétitions sont possibles. Définition Une suite à valeurs dans R est une application N → R, ou éventuellement N0 → R, voire plus généralement N \ {0, 1, 2, . . . , j} → R pour un certain entier j. On note une suite : (an )n∈N (en remplaçant l’ensemble N par ce qui est approprié). an est donc l’élément de R associé à n. 1/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple Voici quelques exemples de suites : an = n (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 2, 3, . . .) ; an = 1 (n ≥ 0) : les éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .) ; cette suite est une suite constante ; an = n2 (n ≥ 0) : ses éléments sont (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .) ; an = 2n − 1 (n ≥ 0) : ses éléments sont (−1, 1, 3, 5, 7, . . .) ; an = « le ne nombre premier » (n ≥ 1) : ses éléments sont (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .) ; an = 1 n (n ≥ 1) : ses éléments sont (1, 12 , 13 , 14 , . . .). 2/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple √ Notons an la valeur de 2, tronquée à n décimales exactes : a0 = 1; a1 = 1.4; a2 = 1.41; a3 = 1.414; a4 = 1.4142; . . . Soit f (x ) = de suite. 2+x 1+x et a0 = 1. On définit a1 = f (a0 ), a2 = f (a1 ), et ainsi 3 7 17 41 a1 = ; a 2 = ; a 3 = ; a4 = ; . . . 2 5 12 29 ou encore, sous forme décimale (approchée) : a1 = 1.5; a2 = 1.4; a3 = 1.41666; a4 = 1.41379; a5 = 1.41428; . . . 3/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple Notons a0 = 1, a1 = 1, et an défini à l’aide la récurrence suivante : an = an−1 + an−2 n ≥ 2 Dans ce cas, on voit que l’on a : a0 = 1; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3; a4 = 5; a5 = 8; a6 = 13; · · · Cette suite porte le √nom de suite de Fibonacci, et est en fait liée au nombre d’or ϕ = 1+2 5 , la solution positive de l’équation du second degré : ϕ2 = ϕ + 1 4/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Remarque Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de la même manière : Une suite dans C se définit alors mathématiquement comme une application de N (ou N0 ) dans C, associant à chaque naturel un nombre complexe. Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs réelles (ou « suites réelles » en abrégé), ou éventuellement à valeurs complexes. Parfois également à valeurs dans Rp pour un certain p > 1. 5/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple Quelques exemples de suites à valeurs complexe : an = i n (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, i, − 1, − i, 1, i, − 1, − i, . . .) ; an = 1 + ni (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1 + i, 1 + 2i, 1 + 3i, . . .) ; an = exp (2πni) (n ≥ 0) : ses éléments sont (1, 1, 1, 1, . . .). 6/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Graphe d’une suite Etant donnée une suite (an )n∈N , on peut représenter dans le plan l’ensemble {(n, an ) t.q. n ∈ N}. C’est le graphe de la suite. Par exemple : y y an = 2n an = n x x 7/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite y an = (−1)n x 8/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Image d’une suite Etant donnée une suite réelle (an )n∈N , on peut représenter sur la droite réelle l’ensemble {an t.q. n ∈ N}. C’est l’image de la suite. Par exemple : an = n x 0 1 2 3 4 an = 2n 12 4 8 an = (−1)n −1 1 16 x x 9/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Définition (Suite convergente / limite d’une suite) Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans R (ou C) , et soit L ∈ R (ou C). On dira que la suite (an ) converge vers L, si pour tout > 0, il existe N ∈ N (dépendant a priori de ) tel que pour tout n ≥ N, on ait : |an − L| < . Dans cette situation, on écrit : lim an = L ou simplement lim an = L ou encore (an ) → L. n→∞ On dit que L est la limite de la suite (an ). On dit aussi dans ce cas que la suite (an ) est convergente. 10/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple Soit an = n1 . Intuitivement, plus n est grand, plus an est petit. Formellement : soit > 0. Prenons N un entier strictement plus grand que 1 1 (un tel entier existe clairement). Alors si n ≥ N, on a n > , dès lors 1 n < . Comme an est positif, on a donc bien |an − 0| < dès que n ≥ N pour ce choix de N. Dans cet exemple on a montré directement à partir de la définition que la suite (an ) = (1/n) convergeait vers 0. On verra que l’on peut utiliser des règles de calcul comme pour les limites de fonctions, permettant de se ramener à des cas simples comme la suite (1/n). 11/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple √ Si (an ) est la suite destroncatures de 2, a0 = 1, a1 = 1, 4, etc. alors √ √ an − 2 = 2 − an < 10−n Il suffit de prendre N > log10 1 , pour avoir 10−n < dès que n ≥ N. Remarque Si la suite avait été a1 = 1, a2 = 1, 4, nous aurions dû écrire √ √ an − 2 = 2 − an < 10−n+1 . Remarque Pour fixé, si une valeur de N « fonctionne », alors toute valeur plus grande « fonctionne » aussi. 12/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Définition Soit (an )n∈N une suite à valeurs réelles. On dit que (an ) tend vers +∞ si ∀M, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≥ M. On dit par ailleurs que (an ) tend vers −∞ si ∀M ∈ R, ∃N t.q. ∀n ≥ N : an ≤ M. Dans cette situation, la suite ne converge pas, mais est dite “avoir une limite” (infinie). 13/14 Suites Représentations d’une suite Limite de suite Exemple √ Soit an = n. Fixons nous M ∈ R. Lorsque M est négatif, clairement an ≥ M pour tout n. Sinon (donc si M est positif), choisissons N un entier plus grand que M 2 , alors pour tout n ≥ N, on aura n ≥ M 2 , et donc an ≥ M. Remarque Dans tous les cas, on peut se contenter de considérer M positif. Ou même seulement les M plus grand que 3 milliards. Ce qui compte, c’est que quel que soit le nombre M que l’on se donne (M aussi grand que l’on veut) on puisse trouver un moment dans la suite (c-à-d “il existe un certain N”) tel qu’à partir de ce moment (c-à-d “pour n ≥ N”) on ait an ≥ M. 14/14