Suite de nombres réels - Informellement Une suite à valeurs dans R

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Suites Représentations d’une suite
Limite de suite
Suite de nombres réels - Informellement
Une suite à valeurs dans Rest une séquence infinie de nombres réels , où
l’ordre compte, et
les répétitions sont possibles.
Définition
Une suite à valeurs dans Rest une application N→R, ou éventuellement
N0→R, voire plus généralement N\ {0,1,2,...,j} → Rpour un certain
entier j.
On note une suite : (an)n∈N(en remplaçant l’ensemble Npar ce qui est
approprié). anest donc l’élément de Rassocié à n.

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Limite de suite
Exemple
Voici quelques exemples de suites :
an=n(n≥0): ses éléments sont (0,1,2,3, . . .);
an=1(n≥0): les éléments sont (1,1,1,1, . . .); cette suite est une
suite constante ;
an=n2(n≥0): ses éléments sont (0,1,4,9,16,25,36, . . .);
an=2n−1(n≥0): ses éléments sont (−1,1,3,5,7, . . .);
an=« le nenombre premier » (n≥1): ses éléments sont
(2,3,5,7,11,13,17,19,23, . . .);
an=1
n(n≥1): ses éléments sont (1,1 2,1 3,1 4, . . .).

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Exemple
Notons anla valeur de √2, tronquée à ndécimales exactes :
a0=1;a1=1.4;a2=1.41;a3=1.414;a4=1.4142;. . .
Soit f(x) = 2+x
1+xet a0=1. On définit a1=f(a0),a2=f(a1), et ainsi
de suite.
a1=3
2;a2=7 5;a3=17 12;a4=41 29;. . .
ou encore, sous forme décimale (approchée) :
a1=1.5;a2=1.4;a3=1.41666;a4=1.41379;a5=1.41428;. . .

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Exemple
Notons a0=1,a1=1, et andéfini à l’aide la récurrence suivante :
an=an−1+an−2n≥2
Dans ce cas, on voit que l’on a :
a0=1;a1=1;a2=2;a3=3;a4=5;a5=8;a6=13;···
Cette suite porte le nom de suite de Fibonacci, et est en fait liée au
nombre d’or ϕ=1+√5
2, la solution positive de l’équation du second degré :
ϕ2=ϕ+1

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Remarque
Nous pouvons en fait définir également des suites à valeurs complexes de
la même manière :
Une suite dans Cse définit alors mathématiquement comme une
application de N(ou N0) dans C, associant à chaque naturel un nombre
complexe.
Nous considérerons donc principalement des suites prenant des valeurs
réelles (ou « suites réelles » en abrégé), ou éventuellement à valeurs
complexes. Parfois également à valeurs dans Rppour un certain p>1.