Corrigé 2014 Fichier

CORRIGÉ DU CONTRÔLE DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE
FÉVRIER 2014
1. UN PROBLÈME DE SAC-À-DOS
1.
max Pn
i=1vixi
s.t. Pn
i=1aixi≤K
xi∈{0,1} ∀i.
2. On applique l’algorithme glouton donné p.90 du polycopié. On obtient alors la solution
x1=x3=x4=x5=x6=x9=x11 =1, x10 =7/9 et x2=x7=x8=x12 =x13 =0. La valeur de la
fonction objectif est alors 128+5/9.
3. On garde les composantes entières de la solution précédente. On constate que l’on
peut ajouter l’objet 2. On a donc une solution réalisable I={1,2,3,4,5,6,9,11}, de valeur
125. Comme (128+5/9 −125)/(128 +5/9) est inférieur à 0.04, cette solution convient.
2. UN PROBLÈME DE DISTRIBUTION
1.
min Pn
i=1Pm j=1pi j yi j +Pn i=1Pm j=1Pr
k=1ci j k xi j k
s.t. Pm
j=1yi j ≤qi∀i
Pr
k=1xi j k =yi j ∀i,j
Pn
i=1xi j k =dk j ∀j,k
`i j ≤yi j ≤ui j ∀i,j
xi j k ,yi j ∈Z+∀i,j,k.
2. La demande totale doit être plus petite que l’offre totale.
3. Les arcs sont de trois types.
Il y a les arcs de la forme (i,(i,j)), ceux de la forme ((i,j),(k,j)), et enfin ceux de la forme
(i,o).
Les arcs (i,(i,j)) ont une capacité inférieure `i j et une capacité supérieure ui j . Leurs
coûts sont les pi j .
Les arcs ((i,j),(k,j)) ont une capacité inférieure égale à 0 et une capacité supérieure égale
à+∞. Leurs coûts sont les ci j k .
Les arcs (i,o) ont une capacité inférieure égale à 0 et une capacité supérieure égale à +∞.
Leur coût est 0.
La fonction b(·) vaut 0 sur les sommets (i,j) . Elle vaut qisur les sommets i, elle vaut −dk j
sur les sommets (k,j) et enfin elle vaut Pk,jdk j −Piqisur le sommet o.
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Les yi j mis sur les arcs (i,(i,j)) et les xi j k mis sur les arcs ((i,j),(k,j)), complétés avec
les bonnes valeurs sur les arcs (i,o), forment un b-flot, dont le coût est celui de la solution
réalisable correspondante.
(D’autres solutions sont possibles).
4. Les capacités et les b(·) étant à valeurs entières, il existera toujours un b-flot optimal à
valeurs entières. Un tel b-flot se calcule en temps polynomial d’après le cours.
3. PLUS COURT CHEMINS ET ACHAT DE POUTRES
3.1. Plus court chemins avec contrainte de nombre d’arcs. Dans le polycopié p.33, on ex-
plique comment calculer en temps polynomial le coût minimum d’un s-tchemin à nombre
d’arcs fixés. On peut donc essayer systématiquement tous les nombres d’arcs possibles, et
garder la meilleure réponse.
Il est aussi possible d’écrire directement une équation de programmation dynamique pour
le problème.
3.2. Application: achat de poutres. 1. Il suffit de choisir pour chaque ple plus petit indice
itel que Si≥σp.
2. Sur un arc (s,i), on met un coût égal à qjgi, où giest le nombre de poutres p∈Ptelles
que σp∈]0,Si]. Sur un arc (i,j) on met un coût égal à qjfi j , où fi j est le nombre de poutres
p∈Ptelles que σp∈]Si,Sj]. Sur l’arc (x,t), on met un coût égal à 0. On pose b=k+1.
Les types sélectionnés dans une solution optimale du problème constituent avec set tun
s-tchemin dans ce graphe, utilisant au plus barcs. Noter que le type xest forcément utilisé
dans une solution optimale. On peut vérifier que le coût du chemin et le coût de la solution
coïncident. Réciproquement, tout s-tchemin donne une solution réalisable de même coût.
3. S’il existe une poutre ptelle que σp∈]Si,Sj] et (1+θ)σp<Sj, on supprime l’arc (i,j) du
graphe D. De même pour les arcs (s,i). Dans ce nouveau graphe, la méthode de la question
précédente permet encore de résoudre le problème.
4. OPTIMISATION DU TEMPS DE CYCLE D’UNE CHAÎNE DE MONTAGE
1. En sommant toutes les inégalitésC≥Ts, on obtient mC ≥Pn
i=1di. DoncC≥(Pn i=1di)/m.
Ici, cela donne C≥3.75. D’autre part, chaque Tsest nécessairement entier, donc le temps de
cycle minimum est également entier. Par conséquent, au mieux, on a C=4.
2. Pm
s=1xs,i=1 pour i∈{1,...,n}.
3. xs,j≤Ps
t=1xt,ipour s∈{1,...,m} et pour i,j∈{1,...,n} telles que i≺j.
(Ps
t=1xt,j≤Ps t=1xt,iconvient aussi).

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4.
min C
s.t. Pm
s=1xs,i=1i∈{1,...,n}
xs,j≤Ps
t=1xt,is∈{1,...,m} et i,j∈{1,...,n} avec i≺j
C≥Pn
i=1dixs,is∈{1,...,m}
C∈R+,xs,i∈{0,1}.
5.
G(λ)=min (1−Pm
s=1λs)C+Pn
i=1Pm
s=1λsdixs,i
s.t. Pm
s=1xs,i=1i∈{1,...,n} (∗)
xs,j≤Ps
t=1xt,is∈{1,...,m} et i,j∈{1,...,n} avec i≺j(∗∗)
C∈R+,xs,i∈{0,1}.
6. Regardons la contrainte (**) pour tout i≺¯ i. Par définition de ¯ i, le terme de droite de (**)
est alors toujours entier, égal à 0 ou 1. Notons Sl’ensemble des stations telles que x∗
s,¯ in’est
pas entier. On a Ps∈Sx∗
s,¯ i=1. On peut bouger localement les valeurs de x∗ s,¯ isur un voisinage
ouvert, tout en respectant cette égalité. Comme on est à l’optimum, nécessairement, λsest
constant sur S.
Pour le (ys,i) de l’énoncé, les contraintes (*) sont toujours satisfaites. Regardons (**). Si ys,¯
i
apparaît dans le terme de gauche, la contrainte est encore satisfaite, le terme de droite valant
nécessairement 1 pour s=s0. Les contraintes (**) sont donc satisfaites pour j=¯ i. Reste à
regarder ce qu’il se passe pour le terme de droite. Remarquons que, par construction, on a
Pt
s=1ys,¯
i≥Pt
s=1x∗
s,¯ ipour tout t. Les contraintes (**) avec i=¯
isont encore satisfaites.
Comme les λssont constants sur S, la valeur du critère pour (ys,i) et pour (x∗
s,i) est la
même.
7. La valeur optimale de (Qλ), c’est celle de (Pλ), qui peut être déterminée en temps poly-
nomial par l’algorithme des points intérieurs.
5. ROTATIONS D’AVIONS ET MAINTENANCE
1. (1): Si un avion a son compteur à k, il ne peut atterrir dans un aéroport qui n’est pas
une base.
(2): Soit a=(v,u). Lorsque l’avion réalise le vol u, il vient de quitter un aéroport qui n’est
pas une base. Par conséquent, son compteur ne peut être à 0.
(3): Considérons un avion qui atterrit dans un aéroport qui n’est pas une base. Alors le
compteur de l’avion est incrémenté de une unité.
(4): Considérons un avion qui atterrit dans un aéroport qui est une base. Alors l’avion
quand il décolle de cette base a son compteur remis à 0.
(5): Tout vol qui n’est pas dans Tdoit être suivi par un autre vol.
(6): Tout vol qui est dans Test précédé d’un vol, car S∩T= ;.
2. Remarquons d’abord que Pa∈δ+(v)ya=1 pour tout v∉T. En sommant sur il’équation
(3) et en utilisant (1) et (2), on montre que Pa∈δ−(v)ya≤1 pour tout v∉B∪S. On a de même
pour les sommets vdans B\Sd’après l’équation (4).

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Par conséquent, les yaencodent des chemins partitionnant V, chacun d’eux se terminant
en un sommet de Tdistinct (équation (6)). Tout sommet de Sest point de départ d’un de ces
chemins. Comme |S|=|T|, chacun de ces chemins commence en un sommet de Sdistinct
et finit en un sommet distinct de T.
Chacun de ces chemins forme une rotation pour un certain avion. Les équations (3) et (4)
activent le xa,ipour le icorrespondant à la valeur prise par le compteur le long de ce chemin.