alors on a :
P∈f−1(V(I)) ⇐⇒ f(P)∈V(I)
⇐⇒ I⊂ϕ−1(P)
⇐⇒ ϕ(I)⊂P
En notant d
ϕ(I) l’id´eal homog`ene engendr´e par ϕ(I), on a donc f−1(F) =
V(d
ϕ(I)), qui est donc un ferm´e.
Pour d´eterminer un morphisme entre Uet Proj S, il faut encore d´ecrire
l’action sur les faisceaux structuraux.
Soit donc V⊂
→◦ Proj S. On choisit la description des faisceaux structuraux `a
la Hartshorne. On d´efinit :
f#
V:OProj S(V)→ OU(f−1(U))
s7→ f#
V(s) : f−1(V)→`p∈f−1(V)T(p)
q7→ ϕ(s(f(q)))
.
o`u ϕs’´etend naturellement `a T(p)→S(f(p)).
On v´erifie que f#
Vest bien d´efinie (voir la d´efinition des faisceaux structuraux
par Hartshorne). Ces fl`eches d´efinissent bien une transformation naturelle.
(Pfff ! !)
(c)
On ne r´epond que partiellement `a cette question.
On suppose que pour d≥d0,ϕd:Sd→Tdest un isomorphisme (de groupes
ab´eliens).
Montrons que U= Proj T. Soit P∈Proj T. Si ϕ(S+)⊂P, alors, Td⊂P
pour d≥d0, car, `a partir de ce rang, ϕd(Sd) = Td. Or, ceci est impossible : un
P∈Proj Tne peut pas ˆetre plein `a partir d’un certain rang (cf. le texte sur les
anneaux gradu´es). Donc : U= Proj T.
Montrons maintenant que fest bijective.
Pour l’injectivit´e : si ϕ−1(P) = ϕ−1(Q), alors ϕ−1(Pd) = ϕ−1(P)d=
ϕ−1(Qd). Pour d≥d0, on a donc Pd=Qd. On sait que cela implique P=Q
(cf. le texte sur les anneaux gradu´es).
Pour la surjectivit´e : on renvoit `a EGA II, p. 22 qui dit que lorsqu’on connaˆıt
la trace `a l’infini d’un ensemble qui a les mˆemes propri´et´es qu’un id´eal premier,
alors, c’est bien la trace d’un id´eal premier.
Montrons alors que fest bicontinue. Soit donc F=V(I) un ferm´e de
Proj T.f(F) est l’ensemble ϕ−1(P)|I⊂P. On aimerait montrer que cet
ensemble est Q|ϕ−1(I)⊂Q). D’abord, on a bien : ϕ−1(P)|I⊂P⊂
Q|ϕ−1(I)⊂Q). R´eciproquement, soit Q∈Proj Stel que ϕ−1(I)⊂Q.`
A
mon avis, on s’en sort avec la mˆeme proposition d’EGA II.
Pour les faiscaux structuraux, `a mon avis c’est plus facile, il suffit de trouver
une ´ecriture des ´el´ements de S(p)qui ne fasse intervenir que des ´el´ements de Sd
avec dgrand.
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