Corrigé de la série 2

Cours d’Alg` ebre Semestre d’automne 2014
Prof. E. Bayer Fluckiger 29 septembre 2014
Corrig´e de la s´erie 2
Exercice 1.
(a) Il y a exactement cinq restes possibles pour la division par 5 : 0, 1, 2, 3
et 4. Donc il y a au plus cinq classes de congruences : [0]5, [1]5, [2]5, [3]5
et [4]5. Mais on observe que ces 5 classes sont diff´erentes deux `a deux :
pour 0 ≤i, j ≤4, i6=j, on a −4≤i−j≤4 et i−j6= 0, donc 5 ne peut
pas diviser i−jet alors [i]56= [j]5. Par cons´equent il y a cinq classes de
congruences modulo 5 et ce sont pr´ecis´ement [0]5, [1]5, [2]5, [3]5et [4]5.
(b) On sait que deux entiers relatifs qui sont congrus modulo nd´efinissent la
mˆeme classe de congruence modulo n:
Si a≡b(mod n), alors [a]n= [b]n.
Donc pour donner un autre repr´esentant de la classe [0]5, il suffit de trouver
un entier relatif congru `a 0 modulo 5, par exemple 5. Donc on peut ´ecrire
[0]5= [5]5. De mani`ere analogue, [1]5= [6]5, [2]5= [7]5, [3]5= [8]5et
[4]5= [9]5.
Exercice 2.
Soit [a]nun diviseur de de z´ero. Par d´efinition, [a]n6= [0]n. On en d´eduit que
n-a. Raisonnons par l’absurde et supposons que pgcd(a, n) = 1. Donc [a]nest
une unit´e et il existe [b]ntel que [a]n·[b]n= [1]n. Mais comme [a]nest aussi un
diviseur de z´ero, il existe [c]n6= [0]ntel que [a]n·[c]n= [0]n. Alors
[0]n= [b]n·[0]n= [b]n·([a]n·[c]n) = ([a]n·[b]n)·[c]n= [1]n·[c]n= [c]n,
ce qui est une contradiction. Donc pgcd(a, n)>1.
Maintenant on va montrer que [a]nest un diviseur de z´ero si pgcd(a, n)>1 et
n-a. On pose d= pgcd(a, n), alors n=d·eet a=d·f. Mais alors
[a]n·[e]n= [d]n·[f]n·[e]n= [n]n·[f]n= [0]n.
Comme n-aet n-e, on a [a]n6= [0]net [e]n6= 0 et [a]nest bien un diviseur de
z´ero.
Exercice 3.
Soit Run corps. Pour ´etablir que Rest un anneau int`egre, il faut montrer que si a
et bsont deux ´el´ements de Rsatisfaisant ab = 0 alors a= 0 ou b= 0. Suppposons

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par exemple que a6= 0 et montrons que b= 0. Comme Rest un corps aposs`ede
un inverse. Autrement dit il existe c∈Rtel que ca = 1. Il vient alors
cab = (ca)b=b=c(ab) = 0,
achevant la preuve.
Exercice 4.
(a) On sait que la classe de congruence [a]nest une unit´e dans Z/nZsi et
seulement si pgcd(a, n) = 1. On en d´eduit pour chacune des valeurs de n
suivantes la liste des unit´es :
•n= 6 : [1]6, [5]6.
•n= 7 : [1]7,[2]7,[3]7,[4]7,[5]7,[6]7.
•n= 12 : [1]12, [5]12, [7]12, [11]12.
Pour calculer l’inverse d’une unit´e [a]n, on a vu en cours une m´ethode
g´en´erale qui consiste `a appliquer l’algorithme d’Euclide pour trouver une
identit´e de Bezout du type as +nr = 1. L’inverse de [a]nest alors [s]n.
Cependant, sur un exemple concret, il peut ˆetre bon de garder en tˆete les
remarques suivantes qui peuvent permettre d’acc´el´erer les calculs.
Tout d’abord, l’inverse de [a]nest unique, ce qui signifie que si par
chance on trouve une classe de congruence telle que [a]n.[b]n= [1]n, alors
[b]nest l’inverse de [a]n. Par exemple, on a clairement [1]n.[1]n= [1]n,
ce qui montre que l’inverse de [1]nest [1]n. De mani`ere analogue, on a
[−1]n.[−1]n= [1]n, ce qui montre que l’inverse de [n−1]n= [−1]nest
[n−1]n.
Ensuite, il est bon de garder en tˆete que l’inverse d’une unit´e [a]nest
aussi une unit´e [b]n. Ainsi, lorsque l’on prend un ´el´ement dans l’une des
listes ci-dessus, son inverse se trouve dans la mˆeme liste. De plus, l’inverse
de [b]nest [a]n.
Calculons maintenant les inverses des unit´es de l’anneau Z/6Z. On a
d´ej`a remarqu´e que l’inverse de [1]6est [1]6et celui de [5]6est [5]6. Comme
ce sont les seules unit´es on a termin´e.
On consid`ere maintenant les unit´es dans Z/7Z. A nouveau, on sait que
l’inverse de [1]7est [1]7et celui de [6]7est [6]7Pour trouver l’inverse de [2]7,
recherchons une identit´e de Bezout. Pour cela on applique l’algorithme
d’Euclide :
7 = 2 ×3+1.
On voit donc que [2]7.[−3]7= [1]7, ce qui montre que l’inverse de [2]7
est [−3]7= [4]7. L’inverse de [3]7est une unit´e, qui, d’apr`es les calculs
ci-dessus n’est ni [1]7ni [2]7ni [4]7ni [6]7. C’est donc [3]7ou [5]7. Or on
voit que [3]7.[5]7= [15]7= [1]7, ce qui montre que l’inverse de [3]7est [5]7.

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On consid`ere maintenant l’anneau Z/12Z. On sait que l’inverse de [1]12
est [1]12 et celui de [11]12 est [11]12. L’inverse de [5]12 est donc soit [5]12,
soit [7]12. Un petit calcul montre que
[5]12.[5]12 = [25]12 = [1]12
donc l’inverse de [5]12 est [5]12 . L’inverse de [7]12 est alors automatiquement
[7]12 puisqu’il figure dans la liste des unit´es et n’est pas ´egal `a [1]12, [5]12
ou [11]12. Une autre mani`ere de calculer l’inverse de [7]12 est de trouver
une identit´e de Bezout, ou bien de constater que
[7]12.[7]12 = [49]12 = [1]12 .
(b) D’apr`es le r´esultat de l’exercice 2, il y a trois types d’´el´ements dans l’an-
neau Z/nZ: [0]n, les unit´es et les diviseurs de z´ero. On en d´eduit que
les diviseurs de z´ero dans Z/6Zsont [2]6, [3]6et [4]6. On voit aussi que
tous les ´el´ements non-nuls de Z/7Zsont inversibles, donc il n’y a pas de
diviseurs de z´ero dans cet anneau. Enfin, la liste des diviseurs de z´ero dans
l’anneau Z/12Zest [2]12,[3]12 ,[4]12 ,[6]12,[8]12,[9]12,[10]12.
(c) On vient de voir que les anneaux Z/6Zet Z/12Zposs`edent des diviseurs
de z´ero : ce ne sont donc pas des corps. Par contre, tout ´element non nul
de Z/7Zest une unit´e : cet anneau est donc un corps.