Corrigé de la série 2

Cours d’Algèbre
Prof. E. Bayer Fluckiger
Semestre d’automne 2014
29 septembre 2014
Corrigé de la série 2
Exercice 1.
(a) Il y a exactement cinq restes possibles pour la division par 5 : 0, 1, 2, 3
et 4. Donc il y a au plus cinq classes de congruences : [0]5 , [1]5 , [2]5 , [3]5
et [4]5 . Mais on observe que ces 5 classes sont différentes deux à deux :
pour 0 ≤ i, j ≤ 4, i 6= j, on a −4 ≤ i − j ≤ 4 et i − j 6= 0, donc 5 ne peut
pas diviser i − j et alors [i]5 6= [j]5 . Par conséquent il y a cinq classes de
congruences modulo 5 et ce sont précisément [0]5 , [1]5 , [2]5 , [3]5 et [4]5 .
(b) On sait que deux entiers relatifs qui sont congrus modulo n définissent la
même classe de congruence modulo n :
Si a ≡ b (mod n), alors [a]n = [b]n .
Donc pour donner un autre représentant de la classe [0]5 , il suffit de trouver
un entier relatif congru à 0 modulo 5, par exemple 5. Donc on peut écrire
[0]5 = [5]5 . De manière analogue, [1]5 = [6]5 , [2]5 = [7]5 , [3]5 = [8]5 et
[4]5 = [9]5 .
Exercice 2.
Soit [a]n un diviseur de de zéro. Par définition, [a]n 6= [0]n . On en déduit que
n - a. Raisonnons par l’absurde et supposons que pgcd(a, n) = 1. Donc [a]n est
une unité et il existe [b]n tel que [a]n · [b]n = [1]n . Mais comme [a]n est aussi un
diviseur de zéro, il existe [c]n 6= [0]n tel que [a]n · [c]n = [0]n . Alors
[0]n = [b]n · [0]n = [b]n · ([a]n · [c]n ) = ([a]n · [b]n ) · [c]n = [1]n · [c]n = [c]n ,
ce qui est une contradiction. Donc pgcd(a, n) > 1.
Maintenant on va montrer que [a]n est un diviseur de zéro si pgcd(a, n) > 1 et
n - a. On pose d = pgcd(a, n), alors n = d · e et a = d · f . Mais alors
[a]n · [e]n = [d]n · [f ]n · [e]n = [n]n · [f ]n = [0]n .
Comme n - a et n - e, on a [a]n 6= [0]n et [e]n 6= 0 et [a]n est bien un diviseur de
zéro.
Exercice 3.
Soit R un corps. Pour établir que R est un anneau intègre, il faut montrer que si a
et b sont deux éléments de R satisfaisant ab = 0 alors a = 0 ou b = 0. Suppposons
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par exemple que a 6= 0 et montrons que b = 0. Comme R est un corps a possède
un inverse. Autrement dit il existe c ∈ R tel que ca = 1. Il vient alors
cab = (ca)b = b = c(ab) = 0,
achevant la preuve.
Exercice 4.
(a) On sait que la classe de congruence [a]n est une unité dans Z/nZ si et
seulement si pgcd(a, n) = 1. On en déduit pour chacune des valeurs de n
suivantes la liste des unités :
• n = 6 : [1]6 , [5]6 .
• n = 7 : [1]7 , [2]7 , [3]7 , [4]7 , [5]7 , [6]7 .
• n = 12 : [1]12 , [5]12 , [7]12 , [11]12 .
Pour calculer l’inverse d’une unité [a]n , on a vu en cours une méthode
générale qui consiste à appliquer l’algorithme d’Euclide pour trouver une
identité de Bezout du type as + nr = 1. L’inverse de [a]n est alors [s]n .
Cependant, sur un exemple concret, il peut être bon de garder en tête les
remarques suivantes qui peuvent permettre d’accélérer les calculs.
Tout d’abord, l’inverse de [a]n est unique, ce qui signifie que si par
chance on trouve une classe de congruence telle que [a]n .[b]n = [1]n , alors
[b]n est l’inverse de [a]n . Par exemple, on a clairement [1]n .[1]n = [1]n ,
ce qui montre que l’inverse de [1]n est [1]n . De manière analogue, on a
[−1]n .[−1]n = [1]n , ce qui montre que l’inverse de [n − 1]n = [−1]n est
[n − 1]n .
Ensuite, il est bon de garder en tête que l’inverse d’une unité [a]n est
aussi une unité [b]n . Ainsi, lorsque l’on prend un élément dans l’une des
listes ci-dessus, son inverse se trouve dans la même liste. De plus, l’inverse
de [b]n est [a]n .
Calculons maintenant les inverses des unités de l’anneau Z/6Z. On a
déjà remarqué que l’inverse de [1]6 est [1]6 et celui de [5]6 est [5]6 . Comme
ce sont les seules unités on a terminé.
On considère maintenant les unités dans Z/7Z. A nouveau, on sait que
l’inverse de [1]7 est [1]7 et celui de [6]7 est [6]7 Pour trouver l’inverse de [2]7 ,
recherchons une identité de Bezout. Pour cela on applique l’algorithme
d’Euclide :
7 = 2 × 3 + 1.
On voit donc que [2]7 .[−3]7 = [1]7 , ce qui montre que l’inverse de [2]7
est [−3]7 = [4]7 . L’inverse de [3]7 est une unité, qui, d’après les calculs
ci-dessus n’est ni [1]7 ni [2]7 ni [4]7 ni [6]7 . C’est donc [3]7 ou [5]7 . Or on
voit que [3]7 .[5]7 = [15]7 = [1]7 , ce qui montre que l’inverse de [3]7 est [5]7 .
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On considère maintenant l’anneau Z/12Z. On sait que l’inverse de [1]12
est [1]12 et celui de [11]12 est [11]12 . L’inverse de [5]12 est donc soit [5]12 ,
soit [7]12 . Un petit calcul montre que
[5]12 .[5]12 = [25]12 = [1]12
donc l’inverse de [5]12 est [5]12 . L’inverse de [7]12 est alors automatiquement
[7]12 puisqu’il figure dans la liste des unités et n’est pas égal à [1]12 , [5]12
ou [11]12 . Une autre manière de calculer l’inverse de [7]12 est de trouver
une identité de Bezout, ou bien de constater que
[7]12 .[7]12 = [49]12 = [1]12 .
(b) D’après le résultat de l’exercice 2, il y a trois types d’éléments dans l’anneau Z/nZ : [0]n , les unités et les diviseurs de zéro. On en déduit que
les diviseurs de zéro dans Z/6Z sont [2]6 , [3]6 et [4]6 . On voit aussi que
tous les éléments non-nuls de Z/7Z sont inversibles, donc il n’y a pas de
diviseurs de zéro dans cet anneau. Enfin, la liste des diviseurs de zéro dans
l’anneau Z/12Z est [2]12 , [3]12 , [4]12 , [6]12 , [8]12 , [9]12 , [10]12 .
(c) On vient de voir que les anneaux Z/6Z et Z/12Z possèdent des diviseurs
de zéro : ce ne sont donc pas des corps. Par contre, tout élement non nul
de Z/7Z est une unité : cet anneau est donc un corps.