Algèbres de Hopf combinatoires et applications

Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Loïc Foissy
10 octobre 2014
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Les algèbres de Hopf combinatoires sont des algèbres de Hopf
graduées, connexes, souvent basées sur une famille d’objets
combinatoires (mots, permutations, ensembles ordonnés,
arbres. . . )
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Soit A un espace vectoriel. Le carré tensoriel de A est un
espace vectoriel A ⊗ A, muni d’un produit bilinéaire
⊗ : A × A −→ A ⊗ A, satisfaisant une propriété universelle.
Si (ei )i∈I est une base de A, alors (ei ⊗ ej )i,j∈I est une
base de A ⊗ A.
Si A est une algèbre associative, son produit
m : A × A −→ A devient une application linéaire
m : A ⊗ A −→ A. L’associativité de A est traduite par le
diagramme commutatif d’applications linéaires suivant :
m⊗Id
A⊗A⊗A
Id⊗m
A⊗A
Loïc Foissy
/A⊗A
m
m
/A
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
En dualisant l’axiome d’associativité, on obtient la notion
de cogèbre : une cogèbre est un espace vectoriel C muni
d’un coproduit ∆ : C −→ C ⊗ C, vérifiant :
C
∆
C⊗C
/C⊗C
∆
Id⊗∆
/C⊗C⊗C
∆⊗Id
Une algèbre de Hopf est à la fois une cogèbre et une
algèbre, avec l’axiome de compatibilité :
∆(xy ) = ∆(x)∆(y ).
(Et une condition technique d’existence d’un antipode).
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Exemples
Si G est un groupe, KG est une algèbre de Hopf, avec
∆(x) = x ⊗ x pour tout x ∈ G.
Si g est une algèbre de Lie, son algèbre enveloppante est
une algèbre de Lie, avec ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x pour tout
x ∈ g.
Si H est une algèbre de Hopf de dimension finie, son dual
est aussi une algèbre de Hopf.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Algèbres de Hopf H graduées connexes
M
1
H=
Hk , avec H0 = K 1H .
k ≥0
2
Pour tous k , l ≥ 0,
m(Hk ⊗ Hl ) ⊆ Hk +l .
3
Pour tout n ≥ 0,
M
∆(Hn ) ⊆
Hk ⊗ Hl .
k +l=n
Série formelle de H :
FH (x) =
∞
X
dim(Hk )x k .
k =0
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
L’algèbre FQSym (ou algèbre de Malvenuto-Reutenauer) a
pour base l’ensemble des permutations.
Son produit est donné par les battages décalés :
(12)(123) = (12)(345)
= (12345) + (13245) + (13425) + (13452)
+(31245) + (31425) + (31452) + (34125)
+(34152) + (34512).
Son coproduit est donné par la standardisation :
∆(1432) = (1432) ⊗ 1 + (143) ⊗ (2)
+(14) ⊗ (32) + (1) ⊗ (432) + 1 ⊗ (1432)
= (1423) ⊗ 1 + (132) ⊗ (1)
+(12) ⊗ (21) + (1) ⊗ (321) + 1 ⊗ (1432).
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Proposition
FQSym est graduée par la taille des permutations.
Elle est librement engendrée par les permutations
indécomposables : σ ∈ Sn est décomposable s’il existe
1 ≤ i ≤ n − 1 tel que σ({1, . . . , i}) = {1, . . . , i}.
Elle est isomorphe à son dual, via le couplage défini par
hσ, τ i = δσ,τ −1 (couplage de Hopf non dégénéré).
Elle est donc colibre.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Autres exemples
L’algèbre des fonctions de parking (Novelli-Thibon).
L’algèbre des permutations par blocs (Aguiar-Orellana).
L’algèbre des compositions ensemblistes / des mots
tassés.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
L’algèbre des arbres enracinés HCK est utilisée par Connes et
Kreimer pour la Renormalisation en Théorie des Champs
Quantiques.
Une base de cette algèbre est donnée par les forêts
enracinées :
q q qq
q
q
1, q , q q , q , q q q , q q , ∨q , q ,
q
qq
qqq q q ∨
q
q
q q q q qq
q q q q , q q q , q q , ∨q q , q q , ∨q , ∨q , q ,
qq
q
q ...
Le produit est donné par l’union disjointe des forêts.
qq
qq
qq
qq
∨q . qq = ∨q qq = qq ∨q = qq . ∨q .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Le coproduit est donné par les coupes admissibles :
X
∆(t) =
P c (t) ⊗ R c (t).
c coupe admissible
q
qq
∨q
∨q
coupe c
Admissible ? oui oui
∨q
oui
∨q
∨q
oui non
q
qq
q
qq
∨q
oui
∨q
totale
non
oui
qq qq
qq
q ∨q
q q qq
qq q q
qq q q
qqqq
q
qq
∨q
qq
qq
∨q
qq
qq
qq
q
∨q
oui
×
q
qq
×
1
×
qq q
qq
×
q
qq
∨q
q
qq
∨q
W c (t)
R c (t)
P c (t)
q
1
q
q
qq
qq
q
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
qq
∨q
qq q
q q
qq
qq
qq
q
q
q
∆( ∨q ) = ∨q ⊗1+1⊗ ∨q + q ⊗ q + q ⊗ ∨q + q ⊗ q + q q ⊗ q + q q ⊗ q .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Application
Renormalisation de Théorie Quantique de Champs
Classification des équations de Dyson-Schwinger :
X = B(f (X )),
avec B l’opérateur de greffe.
q
qq
qq q
B( ) = ∨q .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
L’algèbres des arbres plans HNCK est une version non
commutative de HCK .
Une base de cette algèbre est donnée par les forêts
planes enracinées :
q
q
q
q qq q
1, q , q q , q , q q q , q q , q q , ∨q , q ,
q q q q qq q q qq q q
qq
qq q
q q q q , qq q q , q qq q , q q qq , qq qq , ∨q q , q ∨q , qq q , q qq , ∨q , ∨q , ∨q , ∨qq ,
Le produit est donné par la concaténation des forêts
planes.
qq
qq
q qq
q qq
∨q . qq = ∨q qq ,
q . ∨q = q ∨q .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
q
qq
q
...
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Coproduit :
q
q
q
q
qq
qq q q
qq
qq
q q
q
∆( ∨q ) = ∨q ⊗1+1⊗ ∨q + q ⊗ q + q ⊗ ∨q + q ⊗ q + q q ⊗ q + q q ⊗ q .
q
q
q
qq
qq
qq
qq q q
qq
q
q
∆( ∨q ) = ∨q ⊗1+1⊗ ∨q + q ⊗ q + q ⊗ ∨q + q ⊗ q + q q ⊗ q + q q ⊗ q .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Proposition
Cette algèbre est graduée par le nombre de sommets des
forêts. Sa série formelle est :
√
1 − 1 − 4X
.
2X
Elle est librement engendrée par l’ensemble des arbres
enracinés plans.
Elle est isomorphe à son dual.
Elle est donc colibre.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Isomorphisme φ entre HNCK et son dual :
q
q
1
qq
qq
qq
q
q
2
1
1
0
Loïc Foissy
qqq
q
q q
q qq
qq
∨q
qq
q
qqq
qq q
q qq
6
3
3
2
3
1
1
1
1
0
qq
qq
q
3
1
1
0
∨q
2
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres des permutations
Algèbres d’arbres
Autres exemples
Si D est un ensemble gradué, on peut construire l’algèbre
des arbres plans enracinés décorés par D.
a q qb
a q qb
q
q
a q qb
∆( ∨qc ) = ∨qc ⊗ 1 + 1 ⊗ ∨qc + q a ⊗ q bc + q b ⊗ q ac + q a q b ⊗ q c .
L’algèbre de Hopf des forêts ordonnées.
1 q q3
1 q q3
1 q q3
q
q
∆( ∨q2 ) = ∨q2 ⊗ 1 + 1 ⊗ ∨q2 + q 1 ⊗ q 21 + q 1 ⊗ q 12 + q 1 q 2 ⊗ q 1 .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Une bigèbre bidendriforme est une algèbre de Hopf dont le
produit peut s’écrire m =≺ + et le coproduit peut s’écrire
∆ = ∆≺ + ∆ , avec les compatibilités suivantes :
Algèbre dendriforme :
(a ≺ b) ≺ c = a ≺ (bc)
(a b) ≺ c = a (b ≺ c)
(ab) c = (a b) c.
Cogèbre dendriforme :
(∆≺ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆) ◦ ∆≺
(∆ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆≺ ) ◦ ∆
(∆ ⊗ Id) ◦ ∆≺ = (Id ⊗ ∆ ) ◦ ∆ .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Compatibilités entre les deux produits et les deux
coproduits :
0
00
0
00
∆ (a b) = a0 b
⊗ a00 b
+ a0 ⊗ a00 b + b
⊗ a b
0
00
+ab
⊗ b
+ a ⊗ b,
0
00
0
00
∆ (a ≺ b) = a0 b
⊗ a00 ≺ b
+ a0 ⊗ a00 ≺ b + b
⊗ a ≺ b
,
0
00
0
00
∆≺ (a b) = a0 b≺
⊗ a00 b≺
+ ab≺
⊗ b≺
0
00
⊗ a b≺
,
+b≺
0
00
∆≺ (a ≺ b) = a0 b≺
⊗ a00 ≺ b≺
+ a0 b ⊗ a00
0
00
+b≺
⊗ a ≺ b≺
+ b ⊗ a.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Théorème de rigidité
Les bigèbres bidendriformes libres sont les algèbres
d’arbres plans décorés.
Toute bigèbre bidendriforme graduée et connexe est
librement engendrée (comme algèbre dendriforme) par les
éléments primitifs pour les coproduits ∆≺ et ∆ , donc est
une algèbre de Hopf d’arbres plans décorés.
Les décorations correspondent à une base des éléments
primitifs pour les deux coproduits.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Par exemple, FQSym est bidendriforme :
(12) ≺ (123) = (12345) + (13245) + (13425) + (13452)
(12) (123) = (31245) + (31425) + (31452) + (34125)
+(34152) + (34512).
∆≺ (2314) = (2314) ⊗ 1 + (231) ⊗ (1)
∆ (2314) = (12) ⊗ (12) + (1) ⊗ (213) + 1 ⊗ (2314).
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Corollaire
1
FQSym est isomorphe à une algèbre d’arbres plans
décorés pour un certain ensemble de décorations.
6
7
8
n 1 2 3 4 5
dn 1 0 1 6 39 284 2305 20862
2
La sous-algèbre dendriforme de FQSym engendrée par
(1) est isomorphe à HNCK .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Morphisme injectif de HNCK dans FQSym :
q
q
q
qq
q q
∨q
q
qq
q qq
qq q
qqq
−→ (1)
−→ (12)
−→ (12) + (21)
−→ (123) + (132)
−→ (123)
−→ (123) + (213) + (231)
−→ (123) + (132) + (312)
−→ (123) + (132) + (213) + (231) + (312) + (321)
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Ordres linéaires sur une forêt ordonnée
Soit F une forêt ordonnée à n sommets et soit σ ∈ Sn . On dit
que σ est un ordre linéaire sur F si pour tous 1 ≤ i, j ≤ n,
(j → i dans F ) =⇒ (σ −1 (i) < σ −1 (j)).
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Théorème
L’application suivante définit un morphisme surjectif de l’algèbre
de Hopf des forêts ordonnées vers FQSym :
X
F −→
ordre linéaire sur F .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
q1
qj
qi
q1 q2
q q
∨qi k
qq k
q ji
q
q i q kj
q
q ji q k
j
q1 q2 q3
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
−→ (1)
−→ (ij)
−→ (12) + (21)
−→ (ijk ) + (ikj)
−→ (ijk )
−→ (ijk ) + (jik ) + (jki)
−→ (ijk ) + (ikj) + (kij)
−→ (123) + (132) + (213) + (231) + (312) + (321)
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Forêts ordonnées en tas
Soit F une forêt ordonnée à n sommets. Elle est ordonnée en
tas si pour tous 1 ≤ i, j ≤ n,
(i → j dans F) =⇒ (i > j).
Forêts ordonnées en tas ayant au plus trois sommets :
q
1, q 1 , q 21 , q 1 q 2 ,
2
q q q3
∨q1 3 , qq 21 , qq 21 q 3 , qq 31 q 2 , q 1 qq 32 , q 1 q 2 q 3 .
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
Théorème
L’application suivante définit un isomorphisme de l’algèbre de
Hopf des forêts ordonnées en tas vers FQSym :
X
F −→
ordre linéaire sur F .
Applications : théorie des chemins rugueux.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
(12) −→
q1
qq 2
(123) −→
q3
qq 2
1
(1) −→
Algèbres dendriformes
Applications
Ordres linéaires
1
q
(21) −→ − q 21 + q 1 q 2
q3
qq
q
2
3
(132) −→ − q 21 + ∨q1
q
2 q q3
(213) −→ − ∨q1 + q 31 q 2
qq 3
2 q q3
q
q
(231) −→ − q 21 + ∨q1 − q 31 q 2 + q 1 q 32
2 q q3
q
(312) −→ − ∨q1 + q 21 q 3
(321) −→
qq 3
q 21 − q 1 qq 32 − qq 21 q 3 + q 1 q 2 q 3
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Théorème
1
2
Soit H une algèbre de Hopf libre et colibre. Alors elle est
isomorphe à son dual.
Soient H et H 0 deux algèbres de Hopf libres et colibres.
Alors elles sont isomorphes si, et seulement si, elles ont la
même série formelle.
Loïc Foissy
Algèbres de Hopf combinatoires et applications