Algèbres de Hopf combinatoires et applications

Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Algèbres de Hopf combinatoires et applications
Loïc Foissy
10 octobre 2014
Loïc Foissy Algèbres de Hopf combinatoires et applications

Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Les algèbres de Hopf combinatoires sont des algèbres de Hopf
graduées, connexes, souvent basées sur une famille d’objets
combinatoires (mots, permutations, ensembles ordonnés,
arbres. . . )
Loïc Foissy Algèbres de Hopf combinatoires et applications

Introduction
Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Soit Aun espace vectoriel. Le carré tensoriel de Aest un
espace vectoriel A⊗A, muni d’un produit bilinéaire
⊗:A×A−→ A⊗A, satisfaisant une propriété universelle.
Si (ei)i∈Iest une base de A, alors (ei⊗ej)i,j∈Iest une
base de A⊗A.
Si Aest une algèbre associative, son produit
m:A×A−→ Adevient une application linéaire
m:A⊗A−→ A. L’associativité de Aest traduite par le
diagramme commutatif d’applications linéaires suivant :
A⊗A⊗Am⊗Id //
Id⊗m
A⊗A
m
A⊗Am
//A
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Exemples
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Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
En dualisant l’axiome d’associativité, on obtient la notion
de cogèbre : une cogèbre est un espace vectoriel Cmuni
d’un coproduit ∆ : C−→ C⊗C, vérifiant :
C∆//
∆
C⊗C
Id⊗∆
C⊗C∆⊗Id
//C⊗C⊗C
Une algèbre de Hopf est à la fois une cogèbre et une
algèbre, avec l’axiome de compatibilité :
∆(xy) = ∆(x)∆(y).
(Et une condition technique d’existence d’un antipode).
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Exemples
Des forêts aux permutations
Résultats généraux sur les algèbres de Hopf libres et colibres
Formalisme des algèbres de Hopf
Graduation
Exemples
Si Gest un groupe, KG est une algèbre de Hopf, avec
∆(x) = x⊗xpour tout x∈G.
Si gest une algèbre de Lie, son algèbre enveloppante est
une algèbre de Lie, avec ∆(x) = x⊗1+1⊗xpour tout
x∈g.
Si Hest une algèbre de Hopf de dimension finie, son dual
est aussi une algèbre de Hopf.
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