Pantz correction exercice i. algorithme du simplexe.

TD16 Analyse Num´erique et Optimisation O. Pantz
Correction
Exercice I. Algorithme du simplexe.
Appliquons l’algorithme du simplexe au probl`eme propos´e. On a
A=1 0 −3 3
0 1 −8 4 b=6 4
De plus, c= (0,0,0,3,−1)T.
´
Etape I. Initialisation
Afin d’amorcer l’algorithme, il faut exhiber un sommet. Le choix le plus simple
consiste `a choisir le sommet associ´e `a
B=1 0
0 1 N=−3 3 −8 4 
Le sommet est donc x0= (x0
B,0) o`u x0 B= (6,4) ≥0.
´
Etape II. Calcul du coˆut r´eduit.
ec0
N=c0 N−(N0)∗(B0)−∗ c0 B
=3
−1.
Ainsi, ec0
Nn’est pas positif. x0n’est pas l’optimum. On cherche x(ε) = (xB(ε), xN(ε))
o`u
xN(ε) = (0, ε)T.
On a
xB(ε) = x0
B−(B0)−1xN(ε) = 6−3ε
4−4ε.
Le plus grand choix possible pour εest ε= 1 et x(1) = xB(1)+xN(1) = 3e1+e4.
Poursuite des it´erations
Dans la base (e1, e4, e3, e2), on a
A=1 3 −3 0
0 4 −8 1 , B1=1 3 0 4 , N1=−3 0 −8 1 
De plus, x1
B= (3,1)T,c1 B= (0,−1)Tet c1 N= (3,0)T. L’inverse de B1est
B1−1=1
44−3
0 1 
Le coˆut r´eduit est donc
ec1
N=c1 N−(N1)∗(B1)−∗ c1 N=1
1/4
1

´
Etant strictement positif, on a atteint l’optimum.
Conclusion
L’optimum est atteint en x= 3e1+e4. La valeur optimale est 3x3−x4=−1.
Exercice II. Optimisation et Lagrangien.
1. On a u(v) = A−1(f+v). Ainsi, l’application qui `a vassocie u(v) est lin´eaire
et
hu0(v), wi=A−1w.
Enfin, J0
c(v) = j0(u(v)).u0(v). Or j0(w) = 2(w−u0), ainsi,
hJ0
c(v), wi= 2(u(v)−u0).A−1w.
2. il suffit de remarquer que, A´etant sym´etique, J0
c(v) = 2A−1(u(v)−u0). Le
calcul de la d´eriv´ee de Jn´ecessite donc la r´esolution de duex syst`emes lin´eaires:
l’un pour le calcul de u(v), l’autre pour le calcul de p= 2A−1(u(v)−u0).
3. Le Lagrangien associ´e au syst`eme est
L(u, v, p) = j(u)−(Au −f−v).p
4.
h∂L
∂u , wi=hj0(u), wi − Aw.p
h∂L
∂v , wi=w.p.
5. Pour tout p, on a
Jc(v) = L(u(v), v, p).
En d´erivant cette expression, on obtient
J0
c(v) = ∂L
∂u (u(v), v, p).u0(v) + ∂L ∂v (u(v), v, p).
6. Il suffit de choisir ptel que
∂L
∂u (u(v), v, p) = 0,
c’est `a dire
hj0(u(v)), wi=Aw.p =Ap.w
pour tout w∈Rn, soit encore
p= 2A−1(u(v)−u0).
On retrouve l’expression de J0
cpr´ec´edente.
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