Pantz correction exercice i. algorithme du simplexe.

TD16
Analyse Numérique et Optimisation
Correction
O. Pantz
Exercice I. Algorithme du simplexe.
Appliquons l’algorithme du simplexe au problème proposé. On a
1 0 −3 3
6
A=
b=
0 1 −8 4
4
De plus, c = (0, 0, 0, 3, −1)T .
Étape I. Initialisation
Afin d’amorcer l’algorithme, il faut exhiber un sommet. Le choix le plus simple
consiste à choisir le sommet associé à
1 0
−3 3
B=
N=
0 1
−8 4
Le sommet est donc x0 = (x0B , 0) où x0B = (6, 4) ≥ 0.
Étape II. Calcul du coût réduit.
e
c0N
= c0N − (N 0 )∗ (B 0 )−∗ c0B
3
=
.
−1
Ainsi, e
c0N n’est pas positif. x0 n’est pas l’optimum. On cherche x(ε) = (xB (ε), xN (ε))
où
xN (ε) = (0, ε)T .
On a
xB (ε) =
x0B
0 −1
− (B )
xN (ε) =
6 − 3ε
4 − 4ε
.
Le plus grand choix possible pour ε est ε = 1 et x(1) = xB (1)+xN (1) = 3e1 +e4 .
Poursuite des itérations
Dans la base (e1 , e4 , e3 , e2 ), on a
1 3 −3 0
1 3
−3 0
1
1
A=
, B =
, N =
0 4 −8 1
0 4
−8 1
De plus, x1B = (3, 1)T , c1B = (0, −1)T et c1N = (3, 0)T . L’inverse de B 1 est
1
4 −3
1 −1
B
=
0 1
4
Le coût réduit est donc
e
c1N = c1N − (N 1 )∗ (B 1 )−∗ c1N =
1
1
1/4
Étant strictement positif, on a atteint l’optimum.
Conclusion
L’optimum est atteint en x = 3e1 +e4 . La valeur optimale est 3x3 −x4 = −1.
Exercice II. Optimisation et Lagrangien.
1. On a u(v) = A−1 (f + v). Ainsi, l’application qui à v associe u(v) est linéaire
et
hu0 (v), wi = A−1 w.
Enfin, Jc0 (v) = j 0 (u(v)).u0 (v). Or j 0 (w) = 2(w − u0 ), ainsi,
hJc0 (v), wi = 2(u(v) − u0 ).A−1 w.
2. il suffit de remarquer que, A étant symétique, Jc0 (v) = 2A−1 (u(v) − u0 ). Le
calcul de la dérivée de J nécessite donc la résolution de duex systèmes linéaires:
l’un pour le calcul de u(v), l’autre pour le calcul de p = 2A−1 (u(v) − u0 ).
3. Le Lagrangien associé au système est
L(u, v, p) = j(u) − (Au − f − v).p
4.
h
∂L
, wi = hj 0 (u), wi − Aw.p
∂u
∂L
h
, wi = w.p.
∂v
5. Pour tout p, on a
Jc (v) = L(u(v), v, p).
En dérivant cette expression, on obtient
Jc0 (v) =
∂L
∂L
(u(v), v, p).u0 (v) +
(u(v), v, p).
∂u
∂v
6. Il suffit de choisir p tel que
∂L
(u(v), v, p) = 0,
∂u
c’est à dire
hj 0 (u(v)), wi = Aw.p = Ap.w
pour tout w ∈ Rn , soit encore
p = 2A−1 (u(v) − u0 ).
On retrouve l’expression de Jc0 précédente.
2