Exercices : Série 1

Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
Exercices : Série 1
Corrigés
1
Durée nécessaire pour doubler le PIB par habitant
Dénitions :
y0 : PIB par travailleur au début
yT : PIB par travailleur après T années
g : taux de croissance [%]
r : taux de croissance [%/100] ; par exemple : g = 2% ⇔ r = 0.02
Capitalisation discrète :
y0 (1 + r)T = yT
y0 (1 + r)T = 2y0
(1 + r)T = 2
T ln(1 + r) = ln 2
Selon l'approximation de Taylor de premier ordre, ln (1 + r) est approximativement égal à
r si r est proche de zéro.
rT ≈ ln 2
rT ≈ 0.07
0.07
70
T ≈
= .
r
g
Capitalisation continue :
y0 erT = 2y0
erT = 2
rT = ln 2
ln 2
T =
r
0.07
70
T ≈
= .
r
g
Série 1
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1
Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
2
Modèle de Solow (de base)
Fonction de départ (fonction de production)
Yt = F (Kt , Lt ) = Kt0.5 L0.5
t
(1)
a. La fonction de production a des rendements d'échelle constants si la condition suivante
est satisfaite
λYt = F (λKt , λLt ), λ > 0
(2)
Nous vérions cette condition (2) pour la fonction de production présente (1) :
λF (Kt , Lt ) = (λKt )0.5 (λLt )0.5
λF (Kt , Lt ) = λ0.5+0.5 Kt0.5 L0.5
t
λF (Kt , Lt ) = λKt0.5 Lt0.5 .
→ les rendements d'échelle sont donc constants.
Remarque :
Rendements d'échelle décroissants :
λY > F (λK, λL),
λ>0
Rendements d'échelle croissants :
λY < F (λK, λL),
λ>0
b. Les productivités marginales sont decroissantes si les dérivées secondes de la fonction de
production par rapport aux facteurs de production sont negatives.
Par rapport à
K
:
P M Kt =
∂F (Kt , Lt )
= 0.5Kt−0.5 Lt0.5
∂Kt
∂P M Kt
∂ 2 F (Kt , Lt )
=
= (−0.5)0.5Kt−1.5 L0.5
t < 0.
2
∂Kt
∂Kt
Par rapport à
L
:
P M Lt =
∂F (Kt , Lt )
= 0.5Kt0.5 L−0.5
t
∂Lt
∂ 2 F (Kt , Lt )
∂P M Lt
=
= (−0.5)0.5Kt0.5 Lt−1.5 < 0.
2
∂Lt
∂Lt
→ les propriétés sont donc vériées.
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2
Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
c. Nous divisons la fonction de production par L
F (Kt , Lt )
K 0.5 L0.5
= t t = Kt0.5 L−0.5
=
t
Lt
Lt
Kt
Lt
0.5
f (kt ) = yt = kt0.5
d. Les valeurs des paramètres sont n = 0, g = 0 (sans intérêt, vu que la technologie ne
fait pas partie de la fonction de production), δ = 5% ≡ 0.05, sA = 10% ≡ 0.1 et
sB = 20% ≡ 0.2. L'équation de Solow des pays A et B sans progrès technique :
1
[sk α − (n + δ)kt ]
(1 + n) t
kt+1 − kt =
A l'état stationnaire, k reste constant (kt+1 = kt ). Donc :
sk ∗α − (n + δ)k ∗ = 0
∗
⇒k =
s
n+δ
1
1−α
.
Introduire les valeurs données :
Capital par travailleur dans le pays A :
kA∗ =
0.1
0.05
1
1−0.5
= 4.
Capital par travailleur dans le pays B :
∗
kB
=
0.2
0.05
1
1−0.5
= 16.
Revenu par travailleur dans le pays A :
yA∗ = kA∗α = 40.5 = 2.
Revenu par travailleur dans le pays B :
∗α
yB∗ = kB
= 160.5 = 4.
La consommation par travailleur (la part du revenu qui n'est pas épargnée) dans le pays
A:
c∗A = (1 − sA )yA∗ = (1 − 0.1)2 = 1.8
La consommation par travailleur dans le pays B :
c∗B = (1 − sB )yB∗ = (1 − 0.2)4 = 3.2.
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3
Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
3
Solow avec progrès technologique, analyse graphique
Voir les graphiques de la Figure 1. Dans le graphique 1a, la réduction du taux de croissance
de la population baisse la pente da la fonction (n + g + δ)k̃ vers (n0 + g + δ)k̃ . Le niveau
0
du capital par travailleur eectif sera plus haut au nouvel état stationnaire (k̃ ∗ → k̃ ∗ ). Par
0
conséquent, le niveau du revenu par travailleur eectif augmente aussi (ỹ ∗ → ỹ ∗ ).
Figure 1 montre l'évolution du revenu (graphique 1b), du revenu par travailleur (graphique
1c) et du revenu par travailleur eectif (graphique 1d).
ln
∗
∗
′
∗
+ croissance transitoire (n'=0)
∗
(a) Diagramme de Solow
(b) Evolution du revenu
ln
ln
0
croissancetransitoire
transitoire
(c) Evolution du revenu par travailleur
(d) Evolution du revenu par travailleur eectif
Figure 1 Réduction du taux de croissance démographique à t0
Au niveau du revenue (Yt ) le taux de croissance de long terme baisse de g + n
à g + n . Directement après le choc, le taux de croissance peut être supérieur ou inférieur à
Remarque :
0
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Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
n + g . On ne peut pas dire si le recul de n vers n0 est compensé par la croissance transitoire
ou pas.
4
Maximiser la consommation
Fonction de départ (fonction de production)
Yt = F (Kt , At Lt ) = Ktα (At Lt )1−α
Les valeurs des paramètres sont α = 0.3, δ = 4% ≡ 0.04 et n + g = 3% ≡ 0.03. En
outre, on suppose que l'économie est à l'état stationnaire et que Kt∗/Yt∗ = 2.5. En divisant le
numérateur et le dénominateur par Lt (At Lt ), on obtient kt∗/yt∗ = 2.5 (k̃∗/ỹ∗ = 2.5).
a. A l'état stationnaire la condition suivante est satisfaite :
sỹ ∗ = (n + g + δ)k̃ ∗
s = (n + g + δ)
k̃ ∗
.
ỹ ∗
Introduire les valeurs des paramètres données :
sES = (0.03 + 0.04)2.5 = 0.175.
b. Prendre la dérivée première de la fonction de production :
P M Kt =
∂F (Kt , At Lt )
= αKtα−1 (At Lt )1−α
∂Kt
multiplier et diviser par Kt
∗
P M KES
=α
Yt
Ktα−1 (At Lt )1−α Kt
=α
= 0.3 · 2.5−1 = 0.12.
Kt
Kt
c. Nous trouvons le k̃ ∗ qui maximise c̃∗ tel que l'économie est à l'état stationnaire (règle
d'or) :
max c̃∗ = (1 − s)f (k̃ ∗ )
t.q. sf (k̃ ∗ ) = (n + g + δ)k̃ ∗ .
Introduire la restriction dans la fonction objectif :
c̃∗ = f (k̃ ∗ ) − (n + g + δ)k̃ ∗ .
Prendre la dérivée première et mettre égal à zéro :
∂c̃∗
0
= f (k̃ ∗ ) − (n + g + δ) = 0
∗
∂ k̃
αk̃ ∗(α−1) = (n + g + δ)
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5
Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
∗
k̃ =
α
n+g+δ
1
1−α
.
Introduire les valeurs des paramètres données :
∗
k̃OR
=
0.3
0.03 + 0.04
1
1−0.3
= 8.
Le taux d'épargne correspondant à :
∗1−α
sOR = (n + g + δ)k̃OR
= (0.03 + 0.04)81−0.3 = 0.3.
Cette dernière équation vient de la dénition de k̃ à l'état stationnaire : k̃ ∗ =
s
n+g+δ
1
1−α
.
d. Calculer le niveau du revenu par travailleur eectif :
∗
∗α
ỹOR
= k̃OR
= 80.3 = 1.866
∗
P M KOR
=
1.866
ỹ ∗
αKtα−1 (At Lt )1−α Kt
= 0.3 ×
= α OR
= 0.07.
∗
Kt
8
k̃OR
Comme les rendements marginaux sont décroissants, un niveau de k̃ ∗ plus élevé implique
un niveau de P M Kt∗ plus bas.
∗
∗
∗
∗
k̃OR
> k̃ES
⇔ P M KOR
< P M KES
∗
8 > k̃ES
⇔ 0.07 < 0.12.
∗
∗
Kt,OR
k̃OR
e. Comme vu précédemment, ỹ∗ = Y ∗
:
OR
∗
∗α
ỹOR
= k̃OR
⇒
Série 1
t,OR
∗
k̃OR
∗1−α
= k̃OR
= 80.7 = 4.287.
∗
ỹOR
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Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
f. La courbe dans le diagramme de transition (Figure 2) bouge vers le haut lorsque s augmente. L'intersection avec la bissectrice (k̃1+1 = k̃t ) et le niveau de capital par travailleur
eectif vont donc être plus élevés.
∗
1
1
1
1
1
∗
1
∗
1
1
∗
Figure 2 Diagramme de transition
Série 1
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Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
Le diagramme de Solow (Figure 3) montre l'eet de l'augmentation du taux d'épargne
et le nouvel état stationnaire avec la consommation maximale (c̃∗OR ).
∗
∗
̃∗
̃∗
∗
∗
Figure 3 Diagramme de Solow
5
Solow avec dépenses gouvernementales
a. Equilibre sur le marché des biens et services :
Yt = Ct + It + Gt
Introduire Ct = (1 − s − ψσ)Yt et Gt = σYt :
Yt = (1 − s − ψσ)Yt + It + σYt
Isoler It :
It = (s + ψσ − σ)Yt = [s − (1 − ψ)σ]Yt
L'état stationnaire est déterminé par le taux d'investissement (qui est égal au taux
d'épargne) et les autres variables exogènes :
∗
k =
∗
y =k
Série 1
∗α
s − (1 − ψ)σ
n+δ
=
1
1−α
s − (1 − ψ)σ
n+δ
α
1−α
.
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8
Analyse économique : macroéconomie 2016 - 2017
Eet d'une augmentation des dépenses publiques sur le revenu par travailleur :
α −1
∂y ∗
α
s − (1 − ψ)σ 1−α
=
∂σ
n+δ
|1 −
{z α} |
{z
}
>0
>0
ψ−1
+ δ}
|n {z
<0, car
<0
ψ<1
s − (1 − ψ)σ ne peut pas être négatif car le taux d'investissement ne peut
pas être négatif au niveau agrégé.
Donc, si G augmente (σ ↑), le revenu par travailleur d'état stationnaire baisse.
Remarque :
b.
It = [s − (1 − ψ)σ + γσ]Yt
L'état stationnaire est déterminé par le taux d'investissement (qui est égal au taux
d'épargne) et les autres variables exogènes :
∗
k =
∗
y =k
∗α
s − (1 − ψ)σ + γσ
n+δ
=
1
1−α
s − (1 − ψ)σ + γσ
n+δ
α
1−α
.
Eet d'une augmentation des dépenses publiques sur le revenu par travailleur :
α −1
∂y ∗
α
s − (1 − ψ)σ + γσ 1−α
=
∂σ
n+δ
|1 −
{z α} |
{z
}
>0
>0
ψ+γ−1
+δ }
| n {z
>0, si et seulement si
.
ψ+γ>1
Donc, une augmentation des dépenses publiques (σ ↑) engendre une augmentation du
revenu par travailleur d'état stationnaire si et seulement si ψ + γ > 1.
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9