Modélisation par éléments finis de circuits

Modélisation par éléments finis de
circuits magnétiques non linéaires
alimentés par de
l’électronique de puissance
Patrick Dular, Dr. Ir., Chercheur qualifié F.N.R.S.
Dept. of Electrical Engineering - University of Liège - Belgium
[email protected]
Circuits avec
commutateurs
électroniques
Modèles
éléments finis
Couplage
1
Problèmes physiques couplés
dans les systèmes électromagnétiques

Développement d’un environnement logiciel de
modélisation de problèmes couplés
• Couplage avec circuits électriques et électroniques

e.g., avec alimentation d’électronique de puissance
• Couplage mécanique

calcul de force
magnétostriction, piézoélectricité
bruit et vibrations
• Couplage thermique

pertes thermiques (balance entre pertes et refroidissement)
chauffage par induction
Caractérisation des propriétés matérielles
• non linéarités, anisotropies, hystérésis
2
Modélisation numérique (1)

Modèles physiques
•
•
•
•
•
•
•
•

magnétostatique, magnétodynamique
électrostatique, électrodynamique
électrocinétique
propagation électromagnétique
circuits électriques et électroniques à éléments localisés
problèmes mécaniques, mouvement de parties rigides, élasticité
vibrations et bruit, acoustique
problèmes thermiques
Méthodes numériques
• méthode des éléments finis
• méthodes intégrales
• méthode des éléments frontière
3
Modélisation numérique (2)

Modèles géométriques
• 1D
• 2D, plan et axisymétrique
• 3D

Régimes temporels
• régime statique
• domaine fréquentiel: régimes harmonique et multi-harmonique
• domaine temporel: régime transitoire, schémas d’intégration temporel
divers

Modèles de matériaux
• matériaux non-linéaires et anisotropiques
• modèles d’hystérésis
4
Equations de Maxwell
Equations
curl h = j + ∂t d
curl e = – ∂t b
div b = 0
Conditions limites
n × h⏐Γh = 0 , n ⋅ b⏐Γe = 0
∫γ e ⋅ dl = Vi
i
Tension
Conditions globales
pour couplage circuit
∫Γ n ⋅ ( j + ∂ t d) ds = Ii
i
j
Courant
div d = ρ
Relations constitutives
b=µh
j=σe
d=εe
Inducteur
5
Applications
Méthode des éléments finis
Méthode des éléments frontière
Courants induits

Problèmes électrostatiques

Transformateurs

Machines électriques tournantes

Dispositifs électromécaniques
divers (relais, actionneurs, ...)

Blindages électromagnétiques

Câbles et lignes aériennes

Chauffage par induction et diélectrique

etc.
Forces électromagnétiques
Pertes et échauffements
6
Méthode des éléments finis
7
Problème magnétodynamique
Inductance à enroulement à bande
Lamination stack
µr = 1000
σlam = 2.5 107 Sm-1
dlam = 0.3 mm
1/8 de
structure
Foil winding
10 foils, Al
σfoil = 3.7 107 Sm-1
dfoil = 1.1 mm
8
Eddy current non-destructive testing –
Probe impedance computation
Magnetic field without defect
Perturbation field
(with defect)
0.009
D1
0.008
F1
0.007
0.006
0.005
0.004
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.008 -0.006 -0.004 -0.002
Real part
D1
F1
0.014
0.012
Magnitude
Imaginary part
Impedance change
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0.002
0
0
0.25 0.5 0.75
1
1.25 1.5 1.75
2
Axial distance (mm)
9
Massive inductors (1/2)

Influence phenomenon of air gap on the winding resistance
Air gap
Air gap
Studied system
I
1/8th of the modelling system
Sinusoidal current is imposed in
each conducteur
⇒R=
Pj
I 2rms
10
Massive inductors (2/2)

Influence phenomenon of air gap on the winding resistance
Joule losses density
Magnetic
circuit
enterfer
R(mΩ)
180
170
Air gap
160
150
I = 1 A , f = 50 kHz , e = 2.4 mm
T-Ω
A-ϕ
measure
140
130
120
110
0
for: I=1A et f=50kHz
e(mm)
1
4
2
3
11
Efforts électrodynamiques
dans une inductance (1)
12
Efforts électrodynamiques
dans une inductance (2)
Lignes de champ magnétique et vecteurs force électromagnétique (N/m)
(8 groupes, courant 3200 A, courants concordants)
Courants dans chacun des
8 groupes en parallèle
13
Couplage magneto-thermique (1/3)
pièce conductrice
inducteur
|I| [A/m2]
Répartition de la densité de
courant à la surface de
la pièce conductrice
14
Couplage magneto-thermique (2/3)
Distribution de température dans un
cylindre d’acier en mouvement
chauffé par induction (calcul par la
méthode des éléments finis)
15
Couplage magneto-thermique (3/3)
Transverse induction heating
(nonlinear physical characteristics,
moving plate)
Eddy current density
Joule power density
Temperature distribution
Search for OPTIMIZATION
of temperature profile
16
Inductive and capacitive effects
in inductors
Magnetic flux density

Frequency and
time domain
analyses

Any conformity
level
Electric field
Resistance, inductance and capacitance versus frequency
17
Lamination stack (1)
… in which losses can be
significant at high frequencies
Magnetic flux versus frequency
Lamination stack
µr = 500
σ = 107 Sm-1
d = 0.3 mm
w = 10 mm
6 laminations
18
Lamination stack (2)
Magnetic flux density versus position
Lamination stack
µr = 2000
σ = 107 Sm-1
d = 0.3 mm
w = 10 mm
6 laminations
19
Harmonic balance FEM
• magnetic saturation
• movement
• nonlinear lumped components (diodes, ...)
20
Circuits électroniques
Mise en œuvre du couplage avec la méthode
des éléments finis
21
Éléments de circuit - Modèle de base
Éléments de circuit :
- Résistances, inductances, condensateurs
- Sources de tension et de courant
- Interrupteurs électroniques (diodes, thyristors et transistors)
- Un nombre quelconque de composantes éléments finis, dont le
comportement est issus d’un modèle éléments finis couplé au circuit, peut
être pris en compte. Il s’agit en particulier d’éléments présentant un
caractère inductif et résistif.
Les commutations des interrupteurs peuvent être naturelles ou forcées.
Les interrupteurs sont modélisés par des résistances variables qui prennent
une faible valeur à l’état passant et une grande valeur à l’état bloqué.
...
22
Éléments de circuit - Modèle de base
...
Le modèle ainsi défini permet l’analyse de l’ensemble convertisseur - dispositif
électromagnétique, sans considération du comportement transitoire des
interrupteurs.
Une telle analyse transitoire des interrupteurs nécessiterait une prise en compte
de leurs caractéristiques non linéaires et réduirait l’efficacité globale du calcul
lors du couplage entrepris avec des modèles éléments finis.
Avec le modèle utilisé, la commutation naturelle d’un interrupteur a lieu lors
du passage par zéro de son courant ou de sa tension. Cet instant doit être
déterminé avec précision au risque de conduire à des problèmes numériques,
et par conséquent à des erreurs de comportement physique du circuit.
Ainsi, lors de chaque instant de calcul, la tension de chaque interrupteur est
analysée. Lorsqu’un changement de signe est détecté, un processus de
réduction de pas de temps est amorcé de façon à déterminer, à une certaine
tolérance près (sur le temps ou la tension), les instants précédant et suivant la
commutation.
23
Schéma de discrétisation temporelle
Schéma en θ (0.5 ≤ θ ≤ 1)
Oscillations indésirables avec θ < 1
Exemple : condensateur soumis
à un échelon de tension ∆v
Exemple : circuit RC soumis à ∆v
v( t ) − v( t − ∆t )
C
= θ i( t ) + (1 − θ) i( t − ∆t )
∆t
10
Euler (θ = 1)
Galerkin (θ = 2/3)
Crank-Nicolson (θ = 1/2)
8
6
Current in capacitor (A)
v( t 0 ) = 0 ⇒ i( t 0 ) = 0
∆v
v( t1 ) = ∆v ⇒ i( t1 ) = C
θ ∆t
4
2
0
1− θ
v( t 2 ) = v( t1 ) ⇒ i( t 2 ) = −i( t1 )
≠ 0 !!!
θ
Idem pour inductance soumise
à un échelon de courant
400
-2
-4
-6
Euler (θ = 1)
Galerkin (θ = 2/3)
Crank-Nicolson (θ = 1/2)
300
Current in capacitor (A)
0
2
4
6
8
10
Time (ms)
200
100
0
-100
-200
-300
-400
0
2
4
6
Time (ms)
8
10
24
Schéma de discrétisation temporelle
Schéma en θ (0.5 ≤ θ ≤ 1)
Oscillations indésirables avec θ < 1
...
Avec le modèle utilisé pour les interrupteurs, ce type de problème de
discontinuité soudaine de la tension ou du courant apparaît lors des
commutations.
De même, le calcul au premier pas d’une évolution temporelle peut déjà
conduire, encore pour des raisons de discontinuité soudaine des excitations,
à l’amorçage d’un tel comportement oscillatoire de la solution.
25
Schéma en θ sans oscillations
Paramètre θ et pas de temps ∆t fixés
Détection de discontinuités soudaines de tensions

• Amorçage d’un processus de réduction de pas de temps visant à
déterminer l’intervalle de temps [ tc – ε1 , tc + ε2 ], i.e. double adaptation
de pas de temps, où ...

tc, en général non connu a priori, est un instant de commutation (pour l’événement du
type "changement de signe de la tension d’un interrupteur") ou bien un autre instant
critique (par exemple, temps initial pour l’événement du type "discontinuité soudaine
de tension")
ε = ε1 + ε2 est une tolérance sur le temps
solution directe en tc – ε1 / processus itératif jusqu'à convergence en tc + ε2
Modification locale du paramètre θ
• Utilisation de θ = 1 pour le calcul à l’instant t + ε2 + ε (i.e. avec ε comme
pas de temps)

C’est en effet à cet instant que peuvent prendre naissance les oscillations indésirables
Cet instant est choisi plutôt que t + ε2 + ∆t afin de réduire l’erreur avec θ = 1
Reconsidération de θ < 1 et ∆t ...
26
Double adaptation de pas de temps
Réduction de pas de temps, e.g. par dichotomie
Tension d'interrupteur
E.g. pour l'événement du type
"changement de signe de la tension d’un interrupteur"
(0)
Signe '+'
(2)
(3)
Temps
(4)
tc + ε2
tc – ε1
Juste avant la discontinuité
Signe '–'
(1)
Juste après la discontinuité
(processus itératif jusqu'à
convergence)
27
Applications
Redresseurs
Onduleurs
Convertisseur "fly-back"
...

... en couplage avec des modèles éléments finis
28
Three-phase rectifier with transformer
Half-wave controlled
rectifier
Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson
U1
U2
U3
60
40
Input and Output Voltages (V)
Input and Output Voltages (V)
40
20
0
-20
-40
-60
Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson
U1
U2
U3
60
20
0
-20
-40
0
5
10
15
Time (ms)
20
25
30
-60
0
5
10
15
20
25
30
Time (ms)
29
Three-phase rectifier with transformer
Half-wave controlled
rectifier
80
Sudden thyristor current
changes in the transformer
100
Uout, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson
Uout, α=45 deg, Crank-Nicolson
UTh1, α=45 deg, Modified Crank-Nicolson
UTh1, α=45 deg, Crank-Nicolson
60
Input and Output Voltages (V)
Output Voltage (V)
50
40
20
0
-50
-100
-20
-40
0
0
5
10
15
Time (ms)
20
25
30
-150
0
5
10
15
Time (ms)
20
25
30
30
Three-phase rectifier with transformer
Half-wave controlled
rectifier
3.5
3
Output Current (A)
2.5
2
1.5
1
Reference
Modified Crank-Nicolson, ∆t=T/40
Modified Crank-Nicolson, ∆t=T/12
Euler, ∆t=T/40
Euler, ∆t=T/20
Euler, ∆t=T/12
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
The Euler scheme needs
about 20 times more time
steps than the modified
Crank-Nicolson scheme
for the same accuracy
Time (ms)
31
Fly-back converter
Do
2:1
I1
Ein
Cs
D
VDS
G
S
I2
Rs
Co
Ds
Ro
Sudden primary and
secondary current
changes in the
transformer
32
Resonant converter
E1=50V
E2=50V
T1
D1
C2=50nF
C1=10µF
R=2Ω
T2
D2
C3=50nF
Sudden transistor and
diode voltage changes
acting on snubber
capacitors C2 and C3
33
Resonant converter
Nonlinear finite element model for the inductance
The Euler scheme needs
about 10 times more time
steps than the modified
Crank-Nicolson scheme
for the same accuracy
34
Conclusions (1/2)

Méthode efficace et robuste de discrétisation
temporelle du type schéma en θ dans le cadre du
couplage éléments finis - équations de circuit pour
des circuits comportant des interrupteurs
électroniques
• Permet d’utiliser le schéma de Crank-Nicolson quel que soit le circuit et
quelles que soient ses conditions de travail, en éliminant les oscillations
indésirables de solution propres à ce schéma
• Précision obtenue principalement d’ordre 2 sur le domaine temporel,
supérieure à celle obtenue avec la méthode d’Euler implicite et les
méthodes intermédiaires
• Pour une même précision désirée, le pas de temps de base peut donc être
supérieur, ce qui conduit à un gain d’efficacité particulièrement
appréciable lors de l’étude de dispositifs électromagnétiques non
linéaires
35
Conclusions (2/2)

Méthode des éléments finis pour la modélisation fine des
dispositifs électromagnétiques
• constitués de matériaux non linéaires
• avec effets de peau et de proximité dans les conducteurs
• avec courants induits dans les noyaux magnétiques

Analyses dans les domaines fréquentiel et temporel
• analyses non linéaires
• phénomènes transitoires dans le domaine temporel

Méthodes adaptées à une large gamme de fréquence
• effets des courants induits liés aux composantes haute fréquence
• effets capacitifs
Freeware software
gmsh is a computer aided design (CAD) software for geometry
description, mesh generation and data visualization. gmsh is available
on most of the classical UNIX platforms and under Windows 95/NT.
GetDP is a general software environment well suited for the coupling of
several kinds of numerical methods and physical problems. Its main
feature is the closeness between the input data defining discrete
problems and the symbolic mathematical expressions of these
problems.
http://elap.montefiore.ulg.ac.be/services/elm/soft.html
37