Algèbre de quasi-Hopf, associateur de Drinfel`d

Algèbre de quasi-Hopf, associateur de Drinfel'd et
GT
comme
groupe de déformation des contraintes
Soudères Ismaël ([email protected])
Table des matières
1 introduction
1
2
GT
3
3
ΦKZ
1.1 Rappel sur les catégories tensorielles tréssées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Algèbre de quasi-Hopft tressées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le cas des quasi-Hopf algèbre tressée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Le cas pro-ni, et l'action de Gal(Q/Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
complexe
3
4
5
5
4 Preuve du théorème 1.4
1
1
2
6
introduction
1.1 Rappel sur les catégories tensorielles tréssées
On rappelle qu'une catégorie tensorielle tressée est un catégorie C avec un produit tensoirel
(un foncteur ⊗ : C × C → C une contrainte d'associativité ( a : (U ⊗ V ) ⊗ W → U ⊗ (V ⊗ W )), une
contrainte de commutativité ( c : U ⊗ V → V ⊗ U ) un objet unité ... Les diérentes contraintes
doivent vérié les axiome des triangles, du pentagone et des deux hexagonnes. On rappelle les
diagrammes correspondants :
le pentagone
((U ⊗ V ) ⊗ W ) ⊗ X
UUUU
UaUU,V,W
UUUU ⊗IdX
UUUU
UU*
i
ii
aU ⊗V,W,X
iiii
i
iiii
i
t iii
(U ⊗ V ) ⊗ (W ⊗ X)
aU,V W ⊗X
(U ⊗ (V ⊗ W )) ⊗ X
U ⊗ (V ⊗ (W ⊗ X)) o
IdU ⊗aV,W,X
aU,V ⊗W,X
U ⊗ ((V ⊗ W ) ⊗ X)
(1.1.1)
1
les hexagones
cU,V ⊗W
m6
mmm
m
m
m
mmma
mmm U,V,W
/ (V ⊗ W ) ⊗ U
QQQ
QQQaV,W,U
QQQ
QQQ
Q(
QQQ
QQcQU,V ⊗IdW
QQQ
QQQ
Q(
6
mmm
mmm
m
m
mm
mmm IdV ⊗cU,W
U ⊗ (V ⊗ W )
(U ⊗ V ) ⊗ W
(1.1.2)
V ⊗ (W ⊗ U )
aV,U,W
/ V ⊗ (U ⊗ W )
(V ⊗ U ) ⊗ W
cU ⊗V,W
mm6
mmm
m
m
mmm−1
mmm aU,V,W
/ W ⊗ (U ⊗ V )
QQQ −1
QQQaW,U,V
QQQ
QQQ
Q(
QQQ
QQIdQU ⊗cV,W
QQQ
QQQ
Q(
mm6
mmm
m
m
mmm
mmm cU,W ⊗IdV
(U ⊗ V ) ⊗ W
U ⊗ (V ⊗ W )
(1.1.3)
(W ⊗ U ) ⊗ V
U ⊗ (W ⊗ V )
a−1
U,W,V
/ (U ⊗ W ) ⊗ V
1.2 Algèbre de quasi-Hopft tressées
Dénition 1.1. Une algèbre de quasi-Hopf est un quadruplet (A, ∆, ε, Φ) où A est une algèbre
unitaire, associative sur un corps commutatif k. les homomorphismes ∆ : A → A ⊗ A (comultiplication) et εa → k (counité), dont la structure de bialgèbre (∆(1) = 1 et ε(1) = 1). Φ est un
élément inversible de A ⊗ A ⊗ A tel que l'on aît les relations suivantes :
(Id ⊗∆)(∆(a))
=
Φ.(∆ ⊗ Id(∆(a)).Φ−1
(Id ⊗ Id ⊗∆)(Φ).(∆ ⊗ Id ⊗ Id)(Φ)
=
(1 ⊗ Φ).(Id ⊗∆ ⊗ Id)(Φ).(Φ ⊗ 1)
(ε ⊗ Id) ◦ ∆ = Id = (Id ⊗ε) ◦ ∆
(Id ⊗ε ⊗ Id)(Φ)
=
1
(1.2.1)
(1.2.2)
(1.2.3)
(1.2.4)
Il faut ajouter à tout cela un axiome donnant l'existence et la bijecivité de l'antipode.
Dénition 1.2. Une algèbre de quasi-Hopf tressée est un quintuplet (A, ∆, ε, Φ, R). (A, ∆, ε, Φ)
est une algèbre de quasi-Hopf. et R un élément inversible de A ⊗ A tel que :
(1.2.5)
(1.2.6)
(1.2.7)
∆0 (a) = R∆(a)R−1
(∆ ⊗ Id)(R) = Φ
312
(Id ⊗∆)(R) = (Φ
13
132 −1
)
R Φ
13
213
R12Φ−1
R (Φ
231 −1
)
R Φ
23
0
Cela avec
P les notaion suivantes
P : ∆ = σ ◦23∆ (σPest le "ip"). Si R = Pai ⊗ bi , par dénition
12
13
R = Pai ⊗ bi ⊗ 1, R =
ai ⊗ 1bi , R =
1 ⊗ ai ⊗ bi . Et si Φ =
xi ⊗ yi ⊗ zi , on pose
312
Φ = yi ⊗ zi ⊗ xi .
P
Les conditions 1.2.1 à 1.2.7 sont l'équivalent des conditions du pentagone des hexagone
(1.1.1,1.1.2 et 1.1.3 ) et des triangles sur la catégorie des représentation de A (A-Mod) qui
en font une catégorie tensoriellle tressée.
2
En général R12 6= R−1 de sorte que la contrainte de commutativité n'est pas involutive.
D'autre part si F est un élément inversible de A ⊗ A ( (A, ∆, ε, Φ, R) est une algèbre de quasiHopf tressée) vériant (Id ⊗ε)(F ) = 1 = (ε ⊗ Id) on obtient une nouvelle algèbre de quasi-Hopf
tressée en posant :
˜
∆(a)
= F ∆(a)F −1
23
Φ̃ = F (Id ⊗∆)(F )Φ(∆ ⊗ Id)(F
−1
12 −1
)(F )
R̃ = R21 RF −1
(1.2.8)
(1.2.9)
(1.2.10)
˜ ε, Φ̃, R̃) est obtenu par twist par F de (A, δ, ε, Φ, R). Les catégories corresponOn dit que (A, ∆,
dantes sont équivalentes.
Dénition 1.3. Soit k un corps de caractéristique nulle. On appelle
algèbre QUE de quasi-Hopf
tressé sur k[[h]] est une algèbre de quasi-Hopf tressée topologique (A, ∆, ε, Φ, R)tel que A/hA
soit une algèbre envellopante universelle avec la commultiplication standard et que A soit en tant
que k[[h]] module topologique isomorphe à V [[h]] où V est un k-espace vectoriel.
Dans ce cas on a : Φ ≡ 1 mod h, R ≡ 1 mod h, et pour un twist on a aussi F ≡ 1 mod h.
L'article de Drinfel'd prouve les résultat suivants :
Théorème 1.1.
Soit g une algèbre de déformation sur k . On se donne t ∈ g ⊗ g g invariant.
On pose A = U g la complétion h-adique de l'agèbre envellopante de g. On a les counité et
commultiplication usuelles. On pose enn R = eht/2 . Alors il existe un unique Φ ∈ A ⊗ A ⊗ A tel
que (A, ∆, ε, Φ, R) soit une quasi-Hopf, QUE-algèbre tressée.
Théorème 1.2.
Il existe une formule Q universellle pour Φ du théorème 1.1 en terme de τ = ht.
Elle est unique à twist près. On parle alors d' algèbre standard.
Théorème 1.3.
convenable.
Toutes quasi-Hopf QUE-algèbre tressée peut être rendu standard par un twist
Théorème 1.4.
Il existe une série formel de Lie P à coecient dans Q tel que la Φ du théorème
1.1 s'écrive sous la forme exp(P (ht12 , ht23 )).
La démonstration du théorème 1.4 repose sur la construction d'un scindage d'une suite exacte.
Nous en donnerons les grandes lignes à la n de l'exposé. Nous allons d'abord présenter le groupe
pro-unipotent de Grothendieck-Teichmüller comme un groupe de déformation de contraintes.
Après nous introduirons ΦKZ .
2
GT
2.1 dénition
On se donne C une catégorie tensorielle tressée. On utilise les notations standards. On cherche
à modier les contraintes d'associativité et de commutativité sans changer les reste de la struc∼
ture. On peut par exemple changer l'isomorphisme d'associativité (V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 →
V1 ⊗ (V2 ⊗ V3 )
en le composant par un automorphisme de (V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 . Sur (V ⊗ V ) ⊗ V , où V est un objet
3
de C , on a une action du groupe de tresse B3 : Le générateur σ1 correspond à l'isomorphisme
c⊗Id et le générateur σ2 correspond à a−1 (Id ⊗c)a. De même tous élément α de B3 détermine un
∼
isomorphisme (V1 ⊗V2 )⊗V3 ) →
(Vi1 ⊗Vi2 )⊗Vi3 , où (i1 , i2 , i3 ) est la permutation correspondant à
α. On a donc sur (V1 ⊗ V2 ) ⊗ V3 une action de K3 = ker(B3 → S3 ). Le choix de ϕ ∈ K3 détermine
une nouvellle contrainte d'associativité et le choix de ψ ∈ K2 détermine une nouvelle contrainte
de commutativité. ψ ∈ K2 s'ecrit σ 2 m, et la contrainte de commutativté est élevée à la puissance
λ = 2m + 1. D'autre part un élément de ϕ ∈ K3 est de la forme f (σ12 , σ22 )(σ1 σ2 )3n avec n ∈ Z et
f (X, Y ) un élément du groupe libre à deux générateurs. ((σ1 σ2 )3 = (σ2 σ1 )3 engendre le centre
de B3 . Bien sur pour que les nouvelle contrainte respecte les axiome des triangles, des hexagones
et du pentagone certaine condition doivent être vérié :
Proposition 2.1.
Les triangles restes commutatif. Pour que les nouvelles contraintes dénit par
(λ, f, n) satisfassent aux hexagones (1.1.2 et 1.1.3 ), il faut et il sut que n = 0 et que le couple
(λ, f ) vérie :
(2.1.1)
= 1 pourX1 X2 X3 = 1, m = (λ − 1)/2 (2.1.2)
f (Y, X) = f (X, Y )−1
f (X3 , X1 )X3m f (X2 , X3 )X2m f (X1 , X2 )X1m
La commutativité du pentagone (1.1.1) impose La relation suivante :
f (x12 , x23 x24 )f (x13 x23 , x34 ) = f (x23 x34 )f (x12 x13 , x24 x34 )f x1 2, x23),
(2.1.3)
avec pour 1 6 i < j 6 n xij = (σj−1 · · · σi )σi2 (σj−1 · · · σi )−1 sont les générateurs de Kn .
Toute paire (λ, f ), λ ∈ 1 + 2Z satisfaisant 2.1.1 à 2.1.3 détermine de manière naturelle une
façon de construire à partir d'une catégorie tensorielle tressée C , une nouvelle catégorie tensorielle
tressée C 0 . Le "naturel" signie que si l'on à un foncteur F : C1 → C2 alors F est un foncteur de
C10 dans C20 .
On dénit sur l'ensemble des tels couple une structure de semi-groupe par (λ1 , f1 ).(λ2 , f2 ) =
(λ, f ) avec :
λ = λ1 λ2 ,
f (X, Y ) = f1 (f2 (X, Y )X λ2 f2 (X, Y )−1 , , Y λ2 ).f2 (X, Y )
(2.1.4)
2.2 Le cas des quasi-Hopf algèbre tressée
On se donne (A, ∆, ε, Φ, R), une quasi-Hopf algèbre tressée (conditions 1.2.1 à 1.2.7). La
catégories des A-modlues est une catégorie tensorielle tressée. Si l'on changes les contrainte à
l'aide d'un couple (λ, f ) satisfaisant 2.1.1 à 2.1.3 alors le morphisme Φ et l'élément R deviennent :
R = R(R21 R)m = (RR21 )m R
21
12
21
12
Φ = Φf (R R , Φ
= f (ΦR R Φ
−1
−1
32
m = (λ − 1)/2
(2.2.1)
23
R R Φ)
, R32 R23 )Φ
(2.2.2)
Les formules ci-dessu denissent une action des paires s(λ, f ) (mêmes conditions) sur la collection des quasi-Hopf algèbres tressées. Cependant une étude un peu plus poussée nous informe
que cela est completemetnt inconsitant. En eet :
4
Proposition 2.2.
Les equations 2.2.1 et 2.2.2, où f (X, Y ) est un élément du groupe libre à
deuxgénérateur X et Y , ne sont satisfaites que pour λ = ±1 et f (X, Y ) = Y r X r
Avant de jeter tout ce qui a été vu jusque-là, remarquons que si k est un corps de caractéristique nullle alors les formules 2.1.1, 2.1.2 et 2.1.3 ainsi que 2.1.4 conserve leur sens à condition de
supposer que λ ∈ k et que f (X, Y ) est dans la complétion k-pro-unipotente du groupe libre à deux
générateurs, c'est à dire que f (X, Y ) est une expression formelle de la forme exp(F (ln X, ln Y )),
où F est une serie formelle de Lie sur k.
Dénition 2.1. On note GT(k) le semi-groupe des couples (λ, f ) précédents. On notera GT(k)
son groupe des inversibles.
Proposition 2.3.
Soit (λ, f ) ∈ GT(k) et (A, ∆, ε, Φ, R) une quasi-Hopf QUE-algèbre tressée sur
k[[h]] alors les formule de déformation 2.2.1 et 2.2.2 ont du sens. Un twist commute à l'action
de GT(k).
Si l'on suppose de plus que A=U g (g est une algèbre de Lie de déformation sur k[[h]]), avec la
comultiplication usuel, R = eht/2 et Φ = exp(P (ht12 , ht23 )) où est p est une série formelle de Lie.
Alors R et Φ dénis comme précédemment son de la forme R = eλht/2 et Φ = exp(P (ht12 , ht23 )),
P étant une serie formelle de Lie sur k .
2.3 Le cas pro-ni, et l'action de Gal(Q/Q)
3
ΦKZ
complexe
On rappelle qu'une algèbre de quasi-Hopf tressée est un quintuplet (A, ∆, ε, Φ, R) et que Φ
donne la contrainte d'associativité de la catégorie des A-modules qui est une catégorie tensorielle
tressé ; on parlera donc d'associateur. On se place dans le cas où A est l'algèbre enveloppante
de g , g étant une algèbre de déformation. On suppose k = C. On cherche dans ce paragraphe
à construire Φ pour faire de A une algèbre de quasi-Hopf tressée (on prend R = eαt avec t
g -invariant dans g ⊗ g et alpha une constante qui peut être h, la constante de Plank comme dans
l'article de Drinfel'd ou iπ dans un cadre plus global).
On considère l'équation diérentielle suivante :
G0 (z) =
1 u0
+ u1 1 − z G(z)
2iπ z
(3.0.1)
où G est une fonction de C dans C << u0 , u1 >> (series formelles non commutatives à coecient
dans C).
Proposition 3.1.
On pose D = C \ (] − ∞; 0] ∪ [1; ∞[).
∼
Il existe une unique solution G0 à l'équation 3.0.1 sur D telle que G0 (z) z → 0 z u0
∼
Il existe une unique solution G1 à l'équation 3.0.1 sur D telle que G1 (z) z → 1 (1 − z−u1 .
∼
On a utilisé les notation suivante : z u0 = exp(uo ln(z)) et f a g signie que f g −1 admet un
prologement analitique au voisinage de aavec valeur 1 en a.
Dénition 3.1. On pose ΦKZ = G0 G−1
1 ∈ C << u0 ; u1 >> est une constante indépendante de
z
5
On montre ensuite que ΦKZ vérie l'équivalent du pentagone et des hexagones en utilisant
system de Knizhik-Zamolodchikov, c'est à dire pour celui d'ordre n :
X tij
∂W
=
,
∂zi
zi − zj
(3.0.2)
i = 1···n
j6=i
Ici les tij engendre l'algèbre de Lie du groupe Kn (les tresses colorées). On a les relations :
tij = tji
h
i
tij ; tkl = 0 si i 6= j 6= k 6= l
h
i
tij + tik ; tjk = 0 si i 6= j 6= k
.
On construit ensuite des solutions à ce systeme qui sont lié par des relations avec ΦKZ . Ces
relations permettent de prouver le pentagones et les hexagones pour ΦKZ
Proposition 3.2.
Φ = ΦKZ verie les propriétés suivantes :
(3.0.3)
Φ(t , t + t )Φ(t + t , t ) = Φ(t , t )P hi(t + t , t + t )Φ(t , t ) (3.0.4)
Φ(B, A) = Φ(A, B)−1
12
23
24
13
23
34
13 +t23 )/2)
e((t
((t12 +t13 )/2)
e
23
34
12
13 /2
= Φ(t13 , t12 )et
24
34
12
23 /2
Φ(t12 , t23 )
Φ(t12 , t23 )−1 et
t13 /2
= Φ(t23 , t13 )−1 e
13
t12 /2
Φ(t12 , t13 )e
23
Φ(t12 , t23 )−1 .
Les tij sont les mêmes que précedemment. Ils sont attaché à K3 dans la deuxièmes équation
et à K4 dans les deux dernières.
4
Preuve du théorème 1.4
Soit k un corps de caractéristique 0.frk (A, B) l'algèbre des série de Lie formelles en deux
variables. Fr(A, B) = exp frk (A, B) et M1 (k) l ?ensemble des éléments ϕ de M1 (k) qui vérie
3.0.3 et 3.0.4 et :
eA/2 ϕ(C, A)eC/2 ϕ(B, C)eB/2 ϕ(A, B) = 1
(4.0.5)
avec A + B + C = 0.
Soit Mµ (k) l'ensemble des ϕ ∈ Frk (A, B) vériant 3.0.3, 3.0.4 et la condition obtenue à partir
de 4.0.5en remplaçant eα/2 par eµα/2 avec α = A, B, C . On pose M (k) = {(µ, ϕ) tels que µ ∈
k, ϕ ∈ Mµ (k)} et M(k) = {(µ, ϕ) ∈ M (k) | µ 6= 0}. On a une action de GT(k) sur M (k) :
(λ, f ).(µ, ϕ) = (λµ, ϕ) avec ϕ(A, B) = f (ϕ(A, B)eA ϕ(A, B)−1 , eB ).
Proposition 4.1.
L ?action de GT(k) sur M (k) est libre et transitive.
6
En Particulier l ?action de GT1 (k) = {(λ, f ) ∈ GT(k) |λ = 1} est libre et transantive sur
p
M1 (k). D ?autre part si M1 (k) 6= ∅ alors la suite 1 → GT1 (k) → GT(k) → k ∗ → 1 est scindée.
(p(λ, f ) = λ). On considère alors gt1 (k) et gt(k) les algèbre de Lie des pro groupe GT1 (k) et
GT(k). Alors si M1 (k) 6= ∅ la suite
0 → gt1 (k) → gt(k) → k → 0
(4.0.6)
est exacte et à chaque élément de M1 (k) correspond un scindage. On a mieux :
Proposition 4.2.
L ?application M1 (k) → {scindagedelasuite4.0.6} est une bijection. En particulier l ?exactitude de 4.0.6 implique que M1 (k) 6= ∅
Proposition 4.3.
M1 (k) 6= ∅
Démonstration. Une sorte de ? On sait que M1 (C) 6= ∅ (c ?est le paragraphe 2 de l ?article de
Drinfel ?d. Donc la suite 4.0.6 est exacte pour k = C, donc elle est exacte pour k = Q ( ? ? ?). De
là M1 (Q) 6= ∅ et donc M1 (k) 6= ∅.
Un élément de M1 (k) correspond au Φ cherché dans le théorème A.
7