C. CLAPIER (MontpeUier - Francia) MÉTHODE DE RECHERCHE

C. CLAPIER (MontpeUier - Francia)
MÉTHODE DE RECHERCHE DIDACTIQUE EN GÉOMÉTRIE
ÉLÉMENTAIRE
La méthode inductive ou synthétique qui fut à l'origine des premières spé-
culations géométriques, va du simple au complexe, du particuUer au général,
évitant la fatigue des idées abstraites et progressant d'une manière lente et
continue, comme une ascension prévoyante qui élève l'esprit jusqu'aux sommets
où la vue s'élargit et peut repérer les chemins parcourus. Il me parait que
dans l'enseignement, il est profitable, pour ne point dérouter les jeunes inteUi-
gences et faciUter la mémoire des vérités acquises, de procèder ainsi modestement
de proche en proche, d'éviter les généraUsations, hâtives et de préparer les voies
à la compréhension des puissantes méthodes de transformation et d'analyse.
Voici quelques exemples de ce procédé didactique:
I. - Le triangle équuatéral et le cercle sont les plus simples des figures qui
Umitent une portion de plan. La construction du triangle equilateral ABC inscrit
dans un cercle montre que le symétrique du centre O par rapport à un côté
est situé sur le cercle circonscrit. Or pour ce triangle initial, le point O coïncide
avec l'orthocentre H, le centre de gravité G, le centre du cercle inscrit i", le
point de concours des symédianes K d'un triangle quelconque; on est donc
amené à rechercher les triangles pour lesquels :
1°) le symétrique de H par rapport au coté BC est sur le cercle circonscrit
et on reconnaît tout de suite que c'est là une propriété générale d'un triangle
quelconque ;
2°) le symétrique de G jouit d'une propriété analogue, et dans ce cas
on trouve simplement, à l'aide de la formule qui donne le carré de la médiane,
tous les triangles dont les longueurs a, b, c des côtés satisfont à la relation
2a2 = b2 + c2, qui entraine la même relation entre les longueurs des médianes
2ml=m2 + ml; pour ces triangles la droite GK est paraUèle à BC. On est
ainsi conduit à étudier les triangles moins particuUers pour lesquels, il existe
entre les longueurs des côtés la relation b2 + c2=na2 (n entier quelconque) (A)
qui pour n=l donne le triangle rectangle: le point K divise la symédiane dans
le rapport n;
i1) Mathesis, 1926, p. 68.

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3°) le symétrique de / par rapport à BC est situé sur le cercle circonscrit:
si on désigne par /' ce point et par D le point de contact du cercle inscrit
avec le côté BC, on a dans le triangle IOT,
ÏÇfL J_ Jö'2 ff'2
OD2=u\u -±f-=R2-Rr~-r2;
et si on appUque le théorème de Stewart aux 3 points B, D et C vus du point O
R2=OD2 + BDaDC,
et par suite, BDxDC=r(R +
r);
la perpendiculaire II' rencontre à nouveau le cercle circonscrit en un point situé
à une distance R du point I;
4°) le symétrique K' de K par rapport à BC est situé sur le cercle cir-
conscrit; en exprimant que les distances du point K1 aux côtés du triangle
vérifient la relation ad2d3 = bdid3 + cdid2, on trouve la condition
— bc+àa2 cos i? cos C==0.
Il est utile de vérifier l'exactitude des formules trouvées, en les appUquant
au triangle equilateral qui nous a servi de point de départ.
IL - Si on envisage un cercle comme le Ueu des sommets d'un angle droit
AMA1 dont les côtés passent par deux points fixes, on est amené à chercher
le Ueu des sommets M du triangle AMA' dont les points A et A' sont fixes
et la somme des angles A + A' =const.
Que deviendrait le lieu précédent si au lieu de prendre la somme, on prenait
la différence __'—_4 = eonst.=a.
On fait ainsi apparaître l'hyperbole equilatere que l'on peut associer par
homologie au cercle passant par A et A1 et tangent à la droite A'D incUnée
de a sur AA'm, cette droite sera l'axe d'homologie correspondant au centre A. On
peut ainsi déduire les propriétés de l'hyperbole equilatere de ceUes du cercle (*).
III. - Envisageons un trapèze isoscele unicursal ABCD et soient R et r les
rayons des cercles circonscrit et inscrit de centre O et I, 10=d; remarquant
que le triangle AIB est rectangle et que le carré de la hauteur r2=AExBF
(E et F étant les miUeux de AD et BC), on trouve simplement la relation
(R2-d2)2=2r2(R2 + d2).
On peut induire qu'eUe s'appUque au cas général d'un quadruatère inscrit
dans un cercle et circonscrit à un autre (2); c'est ce qu'on trouve en étudiant
(*) Étude élémentaire de l'hyperbole equilatere par J. LEMAIRE (Paris, 1927).
(2) Voir ma Note: Sur les Polygones de Poneelet. (Congrès de Bordeaux, 1924).

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la déformation d'un quadrilatère unicursal, dont l'un des côtés reste fixe: le Ueu
du centre du cercle inscrit est un cercle de rayon —•— et si cette valeur est
J a
+ c
précisément r, rayon du cercle précédent, le quadrilatère est inscriptible.
IV. - On peut aussi, en partant de figurer simples de l'espace, intéresser les
élèves aux recherches géométriques, en développant leur sens intuitif. Ainsi, pour
construire un tétraèdre réguUer inscrit dans une sphère de diamètre AA', il
suffit de mener un plan perpendiculaires aux deux tiers de ce diamètre; ce plan
coupe la sphère suivant un cercle dans lequel on inscrira un triangle equila-
teral BCD. Le tétraèdre ABCD est tel que ses 4 hauteurs se coupent en O et
si on désigne par lia projection de ce point sur la face BCD, on a J_4,=2-JO.
On est ainsi amené à considérer le tétraèdre orthocentrique qui jouit de la même
propriété IH'=2»IH, H' étant le point de rencontre de AH prolongé avec la
sphère circonscrite.