Optique et électromagnétisme relativistes 1 Effet Doppler

ECOLE POLYTECHNIQUE − Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Devoir 1 (à rendre le 29 novembre 2016)
Optique et électromagnétisme relativistes
Ce devoir a avant tout pour but de s’exercer au maniement de la notion d’évènement. Il est donc
conseillé de ne pas se priver d’en faire usage.
1
Effet Doppler-Fizeau
On consière une source immobile dans le référentiel inertiel (R) émettant une onde plane de
pulsation ω et de vecteur d’onde ~k = k~ex . On suppose que dans (R) la relation de dispersion du
signal est ω = v|~k| où v est la vitesse du signal. Le signal est mesuré par un observateur immobile
~ dans (R).
dans le référentiel (R′ ) se déplaçant avec le vecteur vitesse V
1.1
Effet Doppler-Fizeau classique
1. Déterminer, dans le cadre de la physique classique, la pulsation ω ′ du signal telle que
l’observateur la mesure. Il est conseillé de considérer les temps d’arrivée de deux maxima
successifs de l’onde.
2. Un camion de pompiers émet un son à deux tons autour de la fréquence ν = 460Hz.
Déterminer la fréquence mesurée par un observateur immobile sur le trottoir selon que le
camion vient vers lui ou s’en éloigne à la vitesse V = 90km.h−1 . Commenter.
1.2
Effet Doppler-Fizeau relativiste
1. Déterminer, dans le cadre de la relativité restreinte, la pulsation ω ′ du signal telle que
l’observateur la mesure. Il est conseillé de considérer les évènements E1 = (ct1 , ~r1 )R et
E2 = (ct2 , ~r2 )R correspondant aux arrivées de deux maxima successifs de l’onde.
2. Obtient-on un décalage vers les hautes fréquences (ω ′ > ω) ou vers les basses fréquences
~ et ~k k V
~.
(ω ′ < ω) ? Ne considérer que les cas particuliers ~k ⊥ V
2
Aberrations optiques
~
1. Le signal est représenté dans (R) par la quantité u(t, ~r) = u0 ei[k(~r−~r0 )−ωt] , où ~r0 est la
position de l’observateur à l’instant t = 0 dans (R). En écrivant ce même signal dans
les coordonnées d’espace-temps du référentiel (R′ ) de l’observateur, déterminer le vecteur
d’onde mesuré par l’observateur.
1
2. Que dire de la longueur d’onde du signal ? Comparer ce comportement à celui que l’on
obtient dans le cadre classique.
3. Déduire des questions précédentes que la quantité (ω/c, ~k) est un quadri-vecteur.
4. Dans le cas d’une onde électromagnétique dans le vide (v = c), démontrer les relations
d’aberration qui relient les angles d’incidence θ et θ ′ de l’onde dans les référentiels (R) et
(R′ ) par rapport au vecteur vitesse de l’observateur dans le référentiel (R),
sin θ
1
cos θ + B
et
sin θ ′ =
,
cos θ ′ =
1 + B cos θ
Γ 1 + B cos θ
√
~ |/c et Γ ≡ 1/ 1 − B 2 . Voir la convention pour les angles sur la figure ci-dessous.
où B ≡ |V
5. Décrire qualitativement l’apparence d’une source étendue
en mouvement par rapport à
q
l’observateur. On pourra montrer que tan(θ ′ /2) =
3
1−B
1+B
tan(θ/2).
Equations de Maxwell
On considère un référentiel inertiel (R) défini par un repère spatio-temporel muni de la métrique
de Minkowski. On rappelle que les équations de Maxwell déterminant les champs électrique E~ et
~ en présence d’un champ de charge ρ et de courant ~j s’écrivent
magnétique B
Maxwell-Gauss :
Maxwell-Ampère :
~ · E~ = ρ/ε0 ,
∇
~ ×B
~ − 12 ∂ E~ = µ0~j
∇
c ∂t
Maxwell-Thomson :
Maxwell-Faraday :
~ ·B
~ = 0,
∇
~ × E~ + ∂ B~ = 0,
∇
∂t
où ε0 est la permittivité et µ0 la perméabilité du vide avec ε0 µ0 c2 = 1. On admettra que
la quantité J = (ρc, ~j)R , définie par ses composantes dans le référentiel
(R), est un quadri
~ ~r)
vecteur. On admettra par ailleurs qu’il existe un quadri-vecteur A = Φ(t, ~r)/c, A(t,
tel
R
~ − ∇Φ
~ et B
~=∇
~ × A.
~ On introduit enfin le tenseur de Faraday,
que E~ = −∂t A


0
−E x /c −E y /c −E z /c
 E x /c
0
−B z
By 
 .
F µν ≡ 
y
z
 E /c
B
0
−B x 
E z /c −B y
Bx
0
R
1. Démontrer la relation F µν = ∂ µ Aν −∂ ν Aµ . En déduire que F µν est deux fois contravariant.
2. Montrer que les deux premières équations de Maxwell s’écrivent ∂µ F µν = µ0 J ν .
3. En déduire que dans la jauge de Lorenz, telle que ∂µ Aµ = 0, on a ∂µ ∂ µ Aν = µ0 J ν .
2