Optique et électromagnétisme relativistes 1 Effet Doppler

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Devoir 1 (à rendre le 29 novembre 2016)
Optique et électromagnétisme relativistes
Ce devoir a avant tout pour but de s’exercer au maniement de la notion d’évènement. Il est donc
conseillé de ne pas se priver d’en faire usage.
1 Effet Doppler-Fizeau
On consière une source immobile dans le référentiel inertiel (R)émettant une onde plane de
pulsation ωet de vecteur d’onde ~ k=k~ex. On suppose que dans (R)la relation de dispersion du
signal est ω=v|~ k|où vest la vitesse du signal. Le signal est mesuré par un observateur immobile
dans le référentiel (R′)se déplaçant avec le vecteur vitesse ~ Vdans (R).
1.1 Effet Doppler-Fizeau classique
1. Déterminer, dans le cadre de la physique classique, la pulsation ω′du signal telle que
l’observateur la mesure. Il est conseillé de considérer les temps d’arrivée de deux maxima
successifs de l’onde.
2. Un camion de pompiers émet un son à deux tons autour de la fréquence ν= 460Hz.
Déterminer la fréquence mesurée par un observateur immobile sur le trottoir selon que le
camion vient vers lui ou s’en éloigne à la vitesse V= 90km.h−1. Commenter.
1.2 Effet Doppler-Fizeau relativiste
1. Déterminer, dans le cadre de la relativité restreinte, la pulsation ω′du signal telle que
l’observateur la mesure. Il est conseillé de considérer les évènements E1= (ct1, ~r1)Ret
E2= (ct2, ~r2)Rcorrespondant aux arrivées de deux maxima successifs de l’onde.
2. Obtient-on un décalage vers les hautes fréquences (ω′> ω) ou vers les basses fréquences
(ω′< ω) ? Ne considérer que les cas particuliers ~ k⊥~ Vet ~ kk~ V.
2 Aberrations optiques
1. Le signal est représenté dans (R)par la quantité u(t, ~r) = u0ei[~
k(~r−~r0)−ωt], où ~r0est la
position de l’observateur à l’instant t= 0 dans (R). En écrivant ce même signal dans
les coordonnées d’espace-temps du référentiel (R′)de l’observateur, déterminer le vecteur
d’onde mesuré par l’observateur.
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2. Que dire de la longueur d’onde du signal ? Comparer ce comportement à celui que l’on
obtient dans le cadre classique.
3. Déduire des questions précédentes que la quantité (ω/c,~ k)est un quadri-vecteur.
4. Dans le cas d’une onde électromagnétique dans le vide (v=c), démontrer les relations
d’aberration qui relient les angles d’incidence θet θ′de l’onde dans les référentiels (R)et
(R′)par rapport au vecteur vitesse de l’observateur dans le référentiel (R),
cos θ′=cos θ+B
1 + Bcos θet sin θ′=1 Γ
sin θ
1 + Bcos θ,
où B≡ |~ V|/c et Γ≡1/√1−B2. Voir la convention pour les angles sur la figure ci-dessous.
5. Décrire qualitativement l’apparence d’une source étendue en mouvement par rapport à
l’observateur. On pourra montrer que tan(θ′/2) = q1−B
1+Btan(θ/2).
3 Equations de Maxwell
On considère un référentiel inertiel (R)défini par un repère spatio-temporel muni de la métrique
de Minkowski. On rappelle que les équations de Maxwell déterminant les champs électrique ~ Eet
magnétique ~ Ben présence d’un champ de charge ρet de courant ~ js’écrivent
Maxwell-Gauss : ~ ∇ · ~ E=ρ/ε0, Maxwell-Thomson : ~ ∇ · ~ B= 0,
Maxwell-Ampère : ~ ∇ × ~ B − 1
c2
∂~ E
∂t =µ0~
jMaxwell-Faraday : ~ ∇ × ~ E+∂~
B
∂t = 0,
où ε0est la permittivité et µ0la perméabilité du vide avec ε0µ0c2= 1. On admettra que
la quantité J= (ρc,~
j)R, définie par ses composantes dans le référentiel (R), est un quadri-
vecteur. On admettra par ailleurs qu’il existe un quadri-vecteur A=Φ(t, ~r)/c, ~
A(t, ~r)Rtel
que ~ E=−∂t~
A − ~ ∇Φet ~ B=~ ∇ × ~ A. On introduit enfin le tenseur de Faraday,
Fµν ≡
0−Ex/c −Ey/c −Ez/c
Ex/c 0−BzBy
Ey/c Bz0−Bx
Ez/c −ByBx0
R
.
1. Démontrer la relation Fµν =∂µAν−∂νAµ. En déduire que Fµν est deux fois contravariant.
2. Montrer que les deux premières équations de Maxwell s’écrivent ∂µFµν =µ0Jν.
3. En déduire que dans la jauge de Lorenz, telle que ∂µAµ= 0, on a ∂µ∂µAν=µ0Jν.
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