Ensembles de nombres

Ensembles de nombres
1 Qu’est-ce qu’un ensemble ?
1.1 Définition
Définition : En mathématiques, un ensemble est une collection d’objets, en nombre fini ou infini.
Exemples
1. Quand on jette un dé cubique usuel, on peut obtenir comme résultats les nombre 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Ces résultats forment l’ensemble {1,2,3,4,5,6}, noté entre accolades.
Cet ensemble contient 6 éléments.
2. Considérons une droite Ddu plan : c’est un ensemble infini de points alignés.
Définition : On dit que deux ensembles Xet Ysont égaux lorsqu’ils possèdent exactement les mêmes
éléments et on écrit alors X=Y.
1.2 Appartenance
Définition : Lorsqu’un objet est élément d’un ensemble, on dit que cet objet appartient à cet ensemble.
Exemple
•
•
A
B
D
Le point Aappartient à D. On écrit A∈ D.
Le point Bn’appartient pas à D. On écrit B6∈ D.
1.3 Inclusion
Définition : On dit que l’ensemble {1,3}est inclus dans l’ensemble {1,2,3,4,5,6}car tout élément de
l’ensemble {1,3}est aussi élément de l’ensemble {1,2,3,4,5,6}. Cela se note {1,3} ⊂ {1,2,3,4,5,6}.
Comme il existe au moins un élément (e.g.6) de l’ensemble {1,2,3,4,5,6}qui n’est pas dans {1,3}, on dit
que {1,3}est un sous-ensemble propre de l’ensemble {1,2,3,4,5,6}.
En revanche, si l’on prouve qu’un ensemble Uest inclus dans un ensemble Vsans prouver qu’il existe au
moins un élément de Vn’étant pas dans U, on écrira : U⊆V, ce qui signifie que Uest inclus dans Vet
peut même lui être égal.
Exemple
Si on considère deux points Eet Fd’une droite d, le segment [EF ]est inclus dans d.
2 Différents types de nombres
Rappel : Un nombre xpeut être positif (x > 0), nul (x= 0), ou négatif (x < 0).
2.1 Les nombres entiers naturels
Les nombres 0, 1, 2, 3, ... sont appelés entiers naturels. Il en existe une infinité.
Leur ensemble est noté N.
Exercice 1 : Que signifie l’expression “Soit n∈N” ?
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2.2 Les entiers relatifs
Les entiers naturels ainsi que leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs que l’on note Z.
Tout entier naturel est donc aussi un entier relatif : N⊂Z.
Exercice 2 : Pourquoi est-on sûr que N⊂Zet que N6=Z?
L’ensemble Z+désigne l’ensemble des entiers positifs : Z+={1,2,3,4,...}, ce que l’on écrit plus rigoureusement
Z+={x|x∈Z, x > 0}et qui se lit : Z+est l’ensemble des entiers relatifs xtels que x > 0.
2.3 Les nombres rationnels
Tout nombre de la forme a
b, avec a∈Zet b∈Z, b 6= 0, est appelé nombre rationnel. L’ensemble des nombres
rationnels se note Q.
Évidemment, tout nombre entier peut se mettre sous la forme d’une fraction ; cela s’exprime par l’inclusion :
Z⊂Q.
Exercice 3 : Proposer une définition pour les notations Q+et Q−.
2.4 Les nombres irrationnels et les nombres réels
Il existe enfin des nombres qui ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux nombres entiers : ces nombres
sont appelés irrationnels. Par exemple, le nombre πn’est pas rationnel : en effet, la suite de ses décimales ne
présente pas de séquence qui se répète indéfiniment.
L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels forment l’ensemble des nombres réels, que
l’on note R.
En conclusion, on a trié les nombres que vous avez rencontrés tout au long de votre scolarité. Vous pouvez
retenir les inclusions suivantes :
N⊂Z⊂Q⊂R
Exercice 4 : Donner une définition pour les notations suivantes : (a) R+(b) R−.
Exercice 5 :
Compléter le tableau suivant avec “oui” ou “non” :
x∈N∈Z∈Q∈R
√4
−52
13
√2
p(−3)2
2,34
Exercice 6 : Donner à l’aide d’une phrase la signification de A={x|x∈R,(x−1)(x+ 3) ≥0}puis
déterminer cet ensemble.
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