Ensembles de nombres

Ensembles de nombres
1
Qu’est-ce qu’un ensemble ?
1.1
Définition
Définition : En mathématiques, un ensemble est une collection d’objets, en nombre fini ou infini.
Exemples
1. Quand on jette un dé cubique usuel, on peut obtenir comme résultats les nombre 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Ces résultats forment l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}, noté entre accolades.
Cet ensemble contient 6 éléments.
2. Considérons une droite D du plan : c’est un ensemble infini de points alignés.
Définition : On dit que deux ensembles X et Y sont égaux lorsqu’ils possèdent exactement les mêmes
éléments et on écrit alors X = Y .
1.2
Appartenance
Définition : Lorsqu’un objet est élément d’un ensemble, on dit que cet objet appartient à cet ensemble.
Exemple
B
•
Le point A appartient à D. On écrit A ∈ D.
Le point B n’appartient pas à D. On écrit B 6∈ D.
A
•
1.3
D
Inclusion
Définition : On dit que l’ensemble {1, 3} est inclus dans l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} car tout élément de
l’ensemble {1, 3} est aussi élément de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cela se note {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Comme il existe au moins un élément (e.g.6) de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6} qui n’est pas dans {1, 3}, on dit
que {1, 3} est un sous-ensemble propre de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
En revanche, si l’on prouve qu’un ensemble U est inclus dans un ensemble V sans prouver qu’il existe au
moins un élément de V n’étant pas dans U , on écrira : U ⊆ V , ce qui signifie que U est inclus dans V et
peut même lui être égal.
Exemple
Si on considère deux points E et F d’une droite d, le segment [EF ] est inclus dans d.
2
Différents types de nombres
Rappel : Un nombre x peut être positif (x > 0), nul (x = 0), ou négatif (x < 0).
2.1
Les nombres entiers naturels
Les nombres 0, 1, 2, 3, ... sont appelés entiers naturels. Il en existe une infinité.
Leur ensemble est noté N.
Exercice 1 : Que signifie l’expression “Soit n ∈ N” ?
1 IB MATH SL
Ensembles de nombres
Page 1/2
2.2
Les entiers relatifs
Les entiers naturels ainsi que leurs opposés forment l’ensemble des entiers relatifs que l’on note Z.
Tout entier naturel est donc aussi un entier relatif : N ⊂ Z.
Exercice 2 : Pourquoi est-on sûr que N ⊂ Z et que N 6= Z ?
L’ensemble Z+ désigne l’ensemble des entiers positifs : Z+ = {1, 2, 3, 4, . . .}, ce que l’on écrit plus rigoureusement
Z+ = {x | x ∈ Z, x > 0} et qui se lit : Z+ est l’ensemble des entiers relatifs x tels que x > 0.
2.3
Les nombres rationnels
a
Tout nombre de la forme , avec a ∈ Z et b ∈ Z, b 6= 0, est appelé nombre rationnel. L’ensemble des nombres
b
rationnels se note Q.
Évidemment, tout nombre entier peut se mettre sous la forme d’une fraction ; cela s’exprime par l’inclusion :
Z ⊂ Q.
Exercice 3 : Proposer une définition pour les notations Q+ et Q− .
2.4
Les nombres irrationnels et les nombres réels
Il existe enfin des nombres qui ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux nombres entiers : ces nombres
sont appelés irrationnels. Par exemple, le nombre π n’est pas rationnel : en effet, la suite de ses décimales ne
présente pas de séquence qui se répète indéfiniment.
L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels forment l’ensemble des nombres réels, que
l’on note R.
En conclusion, on a trié les nombres que vous avez rencontrés tout au long de votre scolarité. Vous pouvez
retenir les inclusions suivantes :
N⊂Z⊂Q⊂R
Exercice 4 : Donner une définition pour les notations suivantes : (a) R+
(b) R− .
Exercice 5 :
Compléter le tableau suivant avec “oui” ou “non” :
x
∈N
∈Z
∈Q
∈R
√
4
52
13
√
2
−
p
(−3)2
2,34
Exercice 6 : Donner à l’aide d’une phrase la signification de A = {x|x ∈ R, (x − 1)(x + 3) ≥ 0} puis
déterminer cet ensemble.
1 IB MATH SL
Ensembles de nombres
Page 2/2