x - Comité HEC

Principes de Finance Comité HEC © 2012 r : taux de rendement du placement ; x : taux d’intérêt exigé par le prêteur t=0 t=T vente placement rachat -­‐ produit du placement intérêts Payoff en T : S0 − ST + S0 ⎡⎣(1+ r)T − (1+ x)T ⎤⎦ Gain si S T < S0 + S0 ⎡⎣(1+ r)T − (1+ x)T ⎤⎦ : c’est une spéculation à la baisse Perte maximale : potentiellement illimitée ! 7 Principes de Finance Comité HEC © 2012 (2) Calcul de la VAN Taux d’intérêt : prix de l’argent qui dépend de l’échéance (coût d’opportunité) et du risque (de défaut du débiteur). La courbe des taux représente le taux d’intérêt en fonction de l’échéance. intérêts Intérêts simples : I = VrT où I : montant des intérêts à payer V : montant initial du prêt r : taux d’intérêt T T : échéance du prêt (en fraction d’un an) En général pour des créances à échéance inférieure à 1 an. intérêts Intérêts composés : I = V ⎡⎣(1+ r)T −1⎤⎦ où T : nombre de périodes En général pour des créances à échéance supérieure à 1 an. Les intérêts portent eux-­‐mêmes intérêts. T n
Capitaliser : chercher la valeur dans le futur. : Vn = (1+ r) V0 où Vn : valeur du placement en t=n (1+ r)n : le facteur de capitalisation de CHF 1 = VF(n,r) V0 : valeur initiale du placement Vn
Actualiser : chercher la valeur aujourd’hui : V0 =
= VA(n,r)⋅Vn (1+ r)n
où VA(n,r) : facteur d’actualisation de CHF 1 Cela permet la comparaison de sommes reçues ou versées à des dates différentes. 1
N.B. : VA(N − n,r) =
(1+ r)N −n
r
Taux annuel effectif : ρ = (1+ )k − 1 k
où r : taux annuel nominal k : nombre de fois que les intérêts sont composés en un an Ainsi, le taux annuel nominal est égal au taux annuel effectif si les intérêts sont composés une fois par an. Exemple : si on connaît le taux mensuel nominal, il faut le multiplier par 12 pour 8 Principes de Finance Comité HEC © 2012 On cherche C tel que les deux profils ont la même VAN. projet actuel annuité équivalente Par exemple, il faut choisir projet B si CB > CA . => Choix d’un projet quand les ressources sont limitées : Objectif : maximiser la VAN totale. Il faut donc entreprendre d’abord les projets à l’indice VAN le plus élevé. J
J
j=1
j=1
Formellement : max ∑ Z j ⋅VAN j sous contrainte ∑ Z j ⋅ I j ≤ K Zj
où Z j ∈{0,1}, par exemple Z 2 : choix du projet 2 ou non ; K : capital disponible ; I j : investissement requis par projet ; J : nombre de projets possibles Choix du meilleur moment pour investir : Les projets qui peuvent être entrepris à des dates différentes sont comme des projets mutuellement exclusifs. On choisit donc d’entreprendre le projet à la date qui engendre la VAN la plus élevée en t=0. Par exemple : VAN(t = 0, investir en t = 0) = x Il faut choisir la date qui correspond à la plus élevée de 1
⋅VAN(t = 1) = y 1+ r
1
VAN(t = 0, investir en t = 2) =
⋅VAN(t = 2) = z (1+ r)2
Décision de remplacement : Quand mettre un terme à un projet pour le remplacer ? Exemple : une machine Hypothèse : la machine peut être remplacée à l’identique à l’infini -­‐ Calculer la VAN de la nouvelle machine VAN(t = 0, investir en t = 1) =
17 Principes de Finance Comité HEC © 2012 -­‐ Calculer le profit annuel constant que la nouvelle machine peut générer : r ⋅VAN
C=
T ⎛ 1 ⎞
1− ⎜
⎝ 1+ r ⎟⎠
-­‐ Calculer le profit annuel qui serait généré par l’ancienne machine si elle était gardée un an de plus pour chaque année qu’elle pourrait être gardée : Flux net t − perte de valeur sur la machinet -­‐ Comparer les deux profits annuels et remplacer lorsque le profit annuel de la nouvelle machine devient supérieur à celui de l’ancienne machine Si la nouvelle machine ne peut pas être remplacée : -­‐ Calculer le gain engendré par le changement de machine pour chaque date d’investissement possible. Par exemple : en t = 0
: gain = (prix de revente − coût de la nouvelle machine )
+gains
supplémentaires actualisés = ΔVAN en t = 1 : gain (vu de t = 0 ) =
1
⋅gain(vu de t = 1) 1+ r
en t = 2 , etc.…. -­‐ Choisir la date engendrant le gain le plus élevé. Projets de taille différente : Exemple : Remplacement d’une ou de plusieurs machines ? Scénario 1 : remplacement de 2 machines : -­‐ Comparer les coûts annuels d’avoir 2 vieilles machines contre ceux d’avoir 2 nouvelles machines, et en déduire le gain annuel du remplacement -­‐ Gain total = gain annuel actualisé (ici une rente perpétuelle) – coût d’achat des 2 machines Scénario 2 : remplacement d’une seule machine : -­‐ Comparer les coûts annuels d’avoir 2 vieilles machines contre ceux d’avoir une vieille et une nouvelle machine, et en déduire le gain annuel du remplacement -­‐ Gain total = gain annuel actualisé – coût d’achat d’une machine => Choisir le scénario avec le gain total le plus élevé. 18 Principes de Finance Comité HEC © 2012 (5) Risque et diversification Le portefeuille le plus risqué est en principe le plus rentable en moyenne, on fait donc face à un arbitrage entre rendement et risque. Hypothèse théorique : les valeurs futures des actifs financiers suivent une loi normale. Le risque correspond donc à la variance (ou l’écart-­‐type). Notations importantes : portefeuille P à rentabilité r%
P (aléatoire) -­‐ Espérance mathématique : E(rp)=µp -­‐ Variance : Var(rp)=σ2p -­‐ Écart-­‐type : √(Var(rp))=σp Rappel : E(u(x))=u(ECx) ; Var(rp)=V(rp)=E[(rp-­‐E(rp))2]= E(rp)-­‐ µ2p La variabilité des prix des actifs financiers est souvent estimée à partir des données historiques. w − w0
Si w : richesse, rendement : t
w0
Théorie de l’utilité espérée : Espérance de l’utilité : Loterie : E(u(x)=pu(x1)+(1-­‐p)u(x2) Les individus choisissent la loterie avec l’espérance de l’utilité la plus élevée, ce qui dépend de leur goût pour le risque : -­‐ Risque-­‐phobe : u(E(x))>E(u(x)) . L’individu préfère l’espérance mathématique de la loterie à la loterie elle-­‐même. La fonction d’utilité est concave ( u ʹ′ʹ′ < 0 ). -­‐ Risque-­‐neutre : u(E(x))=E(u(x)). La fonction d’utilité est linéaire. -­‐ Risque-­‐phile : u(E(x))<E(u(x)). La fonction d’utilité est convexe ( u ʹ′ʹ′ > 0 ). L’équivalent certain associé au risque : ECx tel que E(u(x))= u(ECx) : il y a indifférence entre ECx et la loterie. La prime de risque : px tel que E(u(x))=u(µ-­‐ px) ó px = E(x)-­‐ ECx C’est le montant que l’individu est prêt à payer pour recevoir avec certitude l’espérance de la loterie plutôt que la loterie elle-­‐même. Elle est positive si l’individu est risque-­‐phobe et négative s’il est risque-­‐phile. 19 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Approximation d’Arrow Pratt : La prime de risque est parfois difficile à obtenir -­‐> on utilise une approximation. On définit le risque x% : x%= µ + ε avec µ certain et E(ε)=0. Valable si ε%<< µ . Définition de la prime de risque : E(u(x))=u(µ-­‐ px) -­‐> u(x)=u(µ+ε)=u(µ)+εu’(µ)+0.5ε2u’’(µ) : développement limité de Taylor -­‐> E(u(x))=u(µ)+0.5 E(ε2)u’’(µ)=u(µ)+0.5σε2u’’(µ) Car E(ε)=0, V(ε)= E(ε2)-­‐0 et V(x)=V(µ+ε)=V(ε) -­‐> u(µ-­‐ px)=u(µ)-­‐ pxu’(µ)+0.5 px2u’’(µ) ≈ u(µ)-­‐ pxu’(µ) On égalise les deux côtés => Formule d’Arrow Pratt : px=-­‐0.5σε2u’’(µ)/u’(µ) (pour x%-­‐ E(x)<< E(x)) uʹ′ʹ′(x)
Coefficient d’aversion absolue au risque : a(x) = −
uʹ′(x)
x ⋅ uʹ′ʹ′(x)
Coefficient d’aversion relative au risque : r(x) = −
uʹ′(x)
a(x) et r(x) sont positifs si l’individu est risque-­‐phobe. r(x) est indépendant de l’unité monétaire alors plus facile à interpréter. => Formule d’Arrow Pratt : px=0.5σε2 a (µ) Quelques fonctions d’utilité courantes : CARA (Constant Absolute Risk Aversion) : u(x) =
−e− ax
a
=> a(x) = a ; r(x) = ax ; px =( a /2) σx2 CRRA (Constant Relative Risk Aversion) : x1−γ
u(x) =
1− γ
=> r(x) = γ (indépendant de la richesse) Maximisation selon le critère moyenne-­‐variance : max(x) E(u(x))=max(x) u(E(x)-­‐ px) -­‐> Pour un risque σx 2 donné, l’individu veut maximiser E(x). -­‐> Si a >0 (l’individu est risque-­‐phobe), pour un rendement E(x) donné, l’individu veut minimiser σx 2. 20 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Si les préférences sont CARA, cela revient à : max(x) E(x)-­‐( a /2)σx2 Les courbes d’indifférence sont alors l’ensemble des (µx, σx2) tel que : µx -­‐ ( a /2)σx2 = constance ó µx = ( a /2)σx2+ constante Rendement et risque d’un portefeuille de titres : On a un portefeuille P au rendement aléatoire r%
P , la richesse initiale étant W 0 . => Richesse finale : W= W0(1+rp) ; E(W)=W0(1+µp) ; V(W)=W02σp2 Critère moyenne-­‐variance : max(W0) W0 (1+ µp)-­‐ a W02 σp2/2 N=2 : %
N : nombre de titres dans le portefeuille. On a 2 titres aux rendements r%
1 et r2
ayant un coefficient de corrélation ρ12 . On investit une proportion w ∈[0,1] de la richesse dans l’actif 1 et une proportion 1− w dans l’actif 2. Rappel important : cov(ax, by)=abCov(x,y)=abρxyσxσy ó ρxy = Cov(x,y)/σxσy = [E(x,y)-­‐E(x)E(y)]/ σxσy Є [-­‐1 ;1] Rendement : rp=wr1+(1-­‐w)r2 => Rendement espéré : µP = wµ1 + (1− w)µ2 (rendement moyen du portefeuille) Variance : V(rp)=σp2=w2V(r1)+(1-­‐w)2V(r2)+2Cov(wr1,(1-­‐w)r2)=w2V(r1)+(1-­‐
w)2V(r2)+2w(1-­‐w)Covr1,r2) ð σ P2 = w 2σ 12 + (1− w)2 σ 22 + 2w(1− w) ρ12σ 1σ 2 (variance du portefeuille) Cas particulier : ρ12 = −1 (corrélation parfaite négative) : -­‐ µP = wµ1 + (1− w)µ2 ó w( µ1 − µ2 ) = µP − µ2 ó w =
µ P − µ2
µ1 − µ2
-­‐ σ P2 = w2σ 12 + (1− w)2 σ 22 − 2w(1− w)σ 1σ 2 = (wσ 1 − (1− w)σ 2 )2 => σ P = wσ 1 − (1− w)σ 2 =
N.B. : Si w =
2 droites dans le µP (σ 1 + σ 2 ) − (µ1σ 2 + µ2σ 1 )
plan µ1 − µ2
σ2
, σ P = 0 . C’est le cas idéal (impossible en pratique). σ1 + σ 2
Cas particulier : ρ12 = 1 (corrélation parfaite positive) : -­‐ µP = wµ1 + (1− w)µ2 ó w =
µ P − µ2
µ1 − µ2
21 Principes de Finance Comité HEC © 2012 -­‐ σ P2 = (wσ 1 + (1− w)σ 2 )2 => σ P = wσ 1 + (1− w)σ 2 ≥ 0 Une droite ⎛ σ P − σ 2 ⎞
(σ 1 − σ 2 )µP + µ1σ 2 − µ2σ 1
+ µ2 dans le plan => σ P =
et µP = (µ1 − µ2 ) ⎜
µ1 − µ2
⎝ σ 1 − σ 2 ⎟⎠
Cas général (N=2) : L’ensemble des portefeuilles possibles est un hyperbole dans le plan (σ P , µ P ) . Le graphique représente les portefeuilles à variance minimale globale. Les portefeuilles efficients sont ceux qui maximisent µ P étant donné σ P . ρ = −0.5 action 1 action 2 : Portefeuilles à variance minimale globale Partie de chaque courbe en dessus de : Portefeuilles efficients Portefeuille à variance minimale globale (N=2) : C’est le portefeuille unique ayant une variance plus petite que tous les autres portefeuilles. minσ P2 (w) = w2σ 12 + (1− w)2 σ 22 + 2w(1− w)ρ12σ 1σ 2 w
∂σ P2 (w)
= 2wσ 12 − 2(1− w)σ 22 + 2(1− w − w)ρ12σ 1σ 2 = 0 ∂w
⎧⎪ µg = µP (wg )
σ2 −ρ σ σ
=> wg = 2 2 2 12 1 2
⎨ 2
si σ 1 + σ 2 − 2 ρ12σ 1σ 2 ⎪⎩σ g = σ P2 (wg )
N.B. : La prime de risque en terme monétaire = E(W ) − ECW La prime de risque en terme d’utilité = U(E(W )) −U(ECW ) où 22 Principes de Finance Comité HEC © 2012 (6) Portefeuilles optimaux Cas de N actifs risqués : ⎛ µ1 ⎞
⎜
⎟
Matrice des rendements espérés des N actifs : µ = ⎜ M ⎟ ⎜⎝ µ N ⎟⎠
N ,1
⎛ σ 2 σ
1
12
⎜
M σ 22
Matrice variance covariance (symétrique) : Σ = ⎜⎜
M
⎜ M
⎜⎝ σ N1 L
L
L
O
L
σ 1N ⎞
⎟
M ⎟
⎟
M ⎟
O ⎟⎠
N ,N
Où σ1N=Cov(r1,r2)=σ1σNρ1N ; les variances sont sur la diagonale. ⎛ w1 ⎞
⎜
⎟
Matrice des poids investis dans chaque actif : w = ⎜ M ⎟ ⎜⎝ wN ⎟⎠
N ,1
Portefeuille à variance minimale : ⎛
⎜
1
min wʹ′Σw sous les contraintes 1ʹ′ w = 1 et µ ʹ′w = µP où 1 = ⎜
w 2
⎜
⎜⎝
1 ⎞
1 ⎟
⎟ M ⎟
1 ⎟⎠ N ,1
1
L = wʹ′ ∑w + λ (1− 1ʹ′ w) + γ ( µP − µ ʹ′w) 2
∂L
= ∑ w − λ1 − γ ⋅ µ = 0 ó ∑w = λ1 + γ ⋅ µ ó w = λ ∑ −1 1 + γ ∑ −1 µ ∂w
∂L
= 1− 1ʹ′ w = 0
−1
−1
⎧
⎧λ A + λ B = 1
⎪λ1ʹ′ ∑ 1 + γ 1ʹ′ ∑ µ = 1
∂λ
ó ⎨
ó ⎨
−1
−1
∂L
λ B + γ C = µP
λ
µ
∑
1
+
γ
µ
∑
µ
=
µ
ʹ′
ʹ′
⎩
⎪
P
⎩
= µP − µ ʹ′w = 0
∂γ
Notations : A = 1ʹ′ ∑ −1 1 > 0 ; B = 1ʹ′ ∑−1 µ ; C = µʹ′ ∑−1 µ > 0 ; Δ = AC − B2 > 0 A, B,C ∈° (ce sont des scalaires), alors ils sont transposables. Le système d’équations est résolu pour : λ =
C − µP B
µ A− B
et γ = P
. Δ
Δ
: composition du portefeuille à variance minimale avec un rendement attendu de . Equation de l’ensemble des portefeuilles : σ P2 (µP ) = wʹ′ ∑w = (λ ∑−1 1 + γ ∑−1 µ )ʹ′ ∑ (λ ∑−1 1 + γ ∑−1 µ )= λ 2 A + 2λγ B + γ 2C
23 Principes de Finance => σ P2 ( µP ) =
Comité HEC © 2012 AµP2 − 2BµP + C
C’est un hyperbole dans le plan ( µ P , σ P ) Δ
Portefeuille à variance minimale globale : Courbe au-­‐dessus de : ensemble des portefeuilles efficients Un poids négatif dans un actif signifie que c’est une vente à découvert. AµP2 − 2BµP + C
min σ (µP ) =
µP
Δ
2
P
∂σ 2 2AµP − 2B
B
=
= 0 ó µ P = µ g = A
∂ µP
Δ
σ g2 =
Aµ g2 − 2Bµ g + C 1
= Δ
A
=> wg = λ ∑−1 1 + γ ∑−1 µ =
∑−1 1
∑−1 1
=
A
1ʹ′ ∑−1 1
Détermination du portefeuille optimal (deux actifs risqués) : Optimal signifie pour un comportement donné face au risque ( a ) via le critère moyenne-­‐variance. a
µ − µ + a(σ 2 − ρ12σ 1σ 2 )
max µP (w) − σ P2 (w) ó w o = 1 22 2 2
w
2
a(σ 1 + σ 2 − 2 ρ12σ 1σ 2 )
Détermination du portefeuille optimal (N actifs risqués) : a
a
max µP − σ P2 = max wʹ′µ − wʹ′ ∑w sous contrainte wʹ′1 = 1 w
w
2
2
a
L = wʹ′µ − wʹ′ ∑ w + λ (1− wʹ′1) 2
∂L
1
= µ − a ∑ w − λ1 = 0 ó a ∑ w = µ − λ1 ó w = ∑ −1 ( µ − λ1) (1) ∂w
a
∂L
= 1− wʹ′1 = 0 (2) ∂λ
24 Principes de Finance (1) dans (2) : 1−
=> w =
Comité HEC © 2012 B−a
1
(µʹ′ − λ1ʹ′ )∑−1 1 = a − µʹ′ ∑−1 1 + λ1ʹ′ ∑−1 1 = 0 ó λ =
A
a
1− B / A −1
1
∑ 1 + ∑ −1 µ A
a
: portefeuille optimal (plus risque-­‐phobe) Un actif risqué et un actif sans risque : On a un actif risqué à rendement r%(proportion w ) et un actif sans risque à rendement rf (proportion 1− w ). -­‐ Rendement du portefeuille : -­‐ Rendement espéré : -­‐ Variance : => µ P =
σP
( µ − rf ) + rf C’est une droite dans le plan (σ P , µ P ) . σ
Détermination du portefeuille optimal (un actif risqué, un sans risque) : a 2
aw2σ 2
max µP − σ P = wµ + (1− w)rf −
w
2
2
CPO : µ − rf − awσ 2 = 0 ó w o =
µ − rf
C’est une fonction décroissante de a. aσ 2
25 Principes de Finance Comité HEC © 2012 N actifs risqués et un actif sans risque : portefeuille de tangence , 1− wt actif sans risque On investit toujours la même proportion d’actifs dans le portefeuille de tangence, alors c’est seulement la quantité qu’on y investit qu’il faut choisir. Portefeuille de tangence : C’est le portefeuille optimal pour lequel l’investissement dans l’actif sans risque est de 0 (100% dans le portefeuille de tangence T). ∑ −1 ( µ − rf 1)
w
wT =
=
1ʹ′ w
B − Arf
µT =
C − Brf
B − Arf ; σ T2 =
où w =
1 −1
∑ (µ − rf 1) ; a
C − 2Brf + Arf2
=> Il faut déterminer la proportion wt . (B − Arf )2
Composition du portefeuille : wt wT dans les actifs risqués, 1− wt dans l’actif sans risque. On a donc µP = wt µT + (1− wt )rf et σ P2 = wt2σ T2 . Portefeuille optimal : a
a
max µP − σ P2 = wt µT + (1− wt )rf − wt2σ T2 wt
2
2
CPO : µT − rf − awtσ T2 = 0 ó wt =
µT − rf
1
=> w = wt wT = ∑ −1 ( µ − rf 1) 2
a
aσ T
N.B. : Si 1− wt < 0 , on emprunte de l’argent pour investir dans le portefeuille de tangence. 3) 1) Portefeuilles à variance minimale 2) CML (Capital Market Line) 3) Préférences => Portefeuille optimal 2) 1) 26 Principes de Finance Comité HEC © 2012 La CML donne le rendement supplémentaire par unité de risque disponible sur le marché. Il n’est pas possible d’obtenir un rendement plus élevé que celui donné par la CML. Les portefeuilles efficients et le portefeuille optimal sont sur la CML (donc pas sur le haut de la courbe des portefeuilles à variance minimale). Nombre d’actifs et diversification : Quel est le nombre optimal d’actifs qu’il faudrait détenir dans un portefeuille ? 1
On définit N actifs, chacun étant détenu dans une proportion wn = : N
N
N
N
σ = ∑ w σ + ∑ ∑ wn wmσ mn où m ≠ n 2
P
2
n
2
n
n=1
n=1 m=1
σ P2 =
N N
⎞
1 N 2 1 N N
1 ⎛ 1 N 2 ⎞ N −1 ⎛
1
σ
+
σ
=
σ
+
σ mn ⎟
∑
∑
∑
n ⎟
2 ∑ n
2 ∑ ∑ mn
⎜
⎜
⎠
N n=1
N n=1 m=1
N ⎝ N n=1 ⎠
N ⎝ N(N −1) n=1 m=1
=> 1
N −1
= σ2 +
σ → σ N→∞
N
N
où σ 2 est la moyenne des variances et σ la moyenne des covariances. La corrélation moyenne du portefeuille (de façon heuristique/approximative) : σ σ P2
ρ = 2 ≈ 2 pour N → ∞ => σ P2 → ρσ 2 N→∞
σ
σ
Ainsi, la fraction du risque qui ne peut pas être diversifiée est σ P2
≈ ρ . σ2
Il y a 2 types de risque : risque spécifique • Le risque unique/spécifique qui peut être diversifié. • Le risque systématique/ de marché qui provient de la corrélation entre les risque rendements des différents actifs systématique et ne peut pas être diversifié. N 1 5 10 -­‐> Les portefeuilles efficients n’ont que du risque de marché. -­‐> Le risque unique n’est pas rémunéré par une prime de risque car on n’est pas obligé de le prendre. 27 Principes de Finance Comité HEC © 2012 (7) Evaluation des actifs financiers Il y a un lien entre rendement attendu et risque. La CML décrit la meilleure possibilité d’échanger risque contre rendement attendu. CAPM (Capital Asset Pricing Model) : En français aussi appelé le MEDAF (Modèle d’évaluation des actifs financiers). Idée : seul le risque systématique doit être rémunéré/ engendrer une prime de risque. CML : ensemble des µ
portefeuilles efficients e
Equation de la CML : µ −r
portefeuille de tangence µ
= rf + T f σ e e
σT
actif x compensation pour l’attente quantité de risque pris compensation par unité de risque pris risque risque unique systématique Prime de risque : µe − rf =
µT − rf
σ e σT
Si un portefeuille est sur la CML, alors il est efficient et son risque unique est nul. Risque total : σ 2j = ρ 2jT σ 2j + (1− ρ 2jT )σ 2j = risque systématique + risque unique Portefeuille efficient ó ρPT=Cov(rP,rT)/σPσT=wtσT2/wtσTσT=1 µ −r
=> Prime de risque : µ j − rf = T f ρ jT σ j où ρ jT σ j : risque systématique σT
A l’équilibre : µ j = rf + (µm − rf )ρ jm
σj
-­‐> le portefeuille de tangence devient le σm
portefeuille de marché à cause des échanges entre prêteurs et emprunteurs. Le portefeuille de marché est l’ensemble des actifs financiers disponibles sur le marché.
28 Principes de Finance Comité HEC © 2012 ρjm = Cov(rj,rm)/σjσm ó µj = rf+(µm-­‐rf)* Cov(rj,rm)/σm2 où βj= Cov(rj,rm)/σm2 = ρjmσj/σm= risque systématique/ σm => SML : µ j = rf + β j (µm − rf ) ó µj-­‐rf (prime de risque de l’actif)= βj*(µm-­‐rf) = (indicateur du risqué systématique)*(prime de risque du portefeuille du marché) Si un portefeuille est efficient (sur la CML), SML alors il satisfait la CAPM (il est sur la SML). Le contraire n’est pas vrai. CML : ensemble des portefeuilles efficients SML : ensemble des portefeuilles qui satisfont la CAPM. 1 En effet : -­‐ Portefeuille efficient ( ρ Pm = 1 ) ó µP = rf + ( µm − rf )
σP
σ
= rf + ( µm − rf ) P ρ Pm = rf + ( µm − rf )β m (équation de la SML) σm
σm
-­‐ Sur la SML ó µP = rf + (µm − rf )β m = rf + (µm − rf )
µ −r
σP
ρPm = rf + m f ⋅ ρPmσ P σm
σm
µ −r
≠ rf + m f σ P σm
β j > 1 : actif procyclique (plus que le marché) β j < 0 : actif anticyclique (contraire au marché) Décomposition du risque : 2
σP2 = βP2σm2+σε2 ; βP2σ m2 = ρPm
σ P2 ó σP2 = ρPm2σP2+ σε2 : risque total = risque systématique + risque unique risque systématique risque unique VARIANCE ECART-­‐TYPE A l’équilibre, il n’y a jamais de titres au-­‐dessous de la SML (si un titre est au-­‐
dessous, son prix chute pour que µ j augmente jusqu’à rejoindre la SML). C’est aussi impossible que des titres soient au-­‐dessus de la SML à l’équilibre (leur prix seraient trop faibles). 29 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Mesures de performance d’un titre : Ratio de Sharpe : µ −r µ −r
SR = P f ≤ m f (pente de la CML) σP
σm
C’est une mesure du risque total qui pénalise le risque unique. Plus il est élevé, meilleure est la performance du portefeuille. Ratio de Treynor : µ −r
TRP = P f βP
Plus le ratio de Treynor est élevé, meilleure est la performance du portefeuille. Il ne pénalise pas le risque diversifiable. Alpha de Jensen : αP = µP – [rf+βP(µP-­‐rf)]; si CAPM satisfait : α P = 0 Plus α P est élevé, meilleur est le portefeuille car α m = 0 . TR et α P peuvent seulement être positifs à court terme, à long terme les portefeuilles satisferont la CAPM. Les limites du CAPM : • Limites théoriques : il requiert des préférences moyenne-­‐variance, ignore les coûts de transaction, et c’est un modèle à seulement une période • Limite de la diversification : de nos jours il faut au moins 50 titres et la corrélation entre le marché et les titres décroît (une corrélation négative devient plus rare), on peut donc douter de la pertinence du β . •
•
Difficultés pratiques : détermination du taux sans risque, détermination du portefeuille de marché (à cause de la grande diversité des actifs financiers), détermination de la rentabilité espérée du portefeuille. Instabilité du β , qui devrait être prévisionnel plutôt qu’historique. Modèle APT (Arbitrage Pricing Theory) : rj = a + bj1rv1 + … + bjkrvk + εj Le modèle est basé sur la sensibilité aux facteurs macroéconomiques. Il ne nécessite ni des préférences moyenne-­‐variance, ni un portefeuille de marché. Prime de risque : µ j − rf = b j1 ( µv1 − rf ) + ...+ b jk ( µvk − rf ) où b jk : sensibilité de l’actif j au facteur k ; µvk − rf : prime de risque du facteur k 30 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Si les marchés sont parfaits, les décisions financières ont une VAN nulle. => L’objectif de la politique financière est d’exploiter les imperfections du marché pour créer de la valeur. La fiscalité : But de l’entreprise : maximiser le revenu des investisseurs ó minimiser les impôts. Investisseurs : ceux qui apportent des Créanciers Créanciers fonds à l’entreprise. Actionnaires Actionnaires L’Etat n’en est pas un. Etat Les impôts sont calculés sur le bénéfice après paiement des intérêts, il y a donc une incitation pour les entreprises de s’endetter. Si l’entreprise est endettée, ses investisseurs reçoivent un flux/revenu supplémentaire : l’avantage fiscal de la dette (tax shield), tC rD où tC est le taux d’imposition (corporate tax rate) et r est le taux d’intérêt. Si r = rD (la dette est émise au pair) et le risque de l’avantage fiscal est égal à celui de la dette (par exemple : jamais de pertes), on peut escompter l’avantage fiscal au taux rD . Si en plus la dette est perpétuelle (ou refinancée à échéance) : VAN(avantage fiscal) =
tC rD D
= tC D rD
MM1 avec impôts : La valeur d’une entreprise endettée excède celle d’une entreprise non endettée de la valeur actuelle des économies d’impôts permises par la déductibilité fiscale des intérêts. VL = VU + tC D = D + E ó VU = E + (1− tC )D La dette coûte rD D et rapporte tC rD D => elle coûte en réalité rD (1− tC )D . => WACC =
D
E
(1− tC )rD +
rE D+E
D+E
Le coût du capital n’est plus indépendant de la structure financière en raison des impôts. Flux total qui revient aux investisseurs : rAVU + tC rD D = rE E + rD D
37 Principes de Finance => rE E = rAVU − (1− tC )rD D ó rE = rA
Comité HEC © 2012 VU
D
− (1− tC )rD E
E
En remplaçant VU : MM2 avec impôts : rE = rA +
D
(1− tC )(rA − rD ) E
Si , le WACC D ⎞
⎛
En insérant MM2 dans le WACC : WACC = ⎜ 1− tC
r
⎟ A dépend du levier. ⎝
D + E ⎠
rendement Marchés rendement Avec impôts parfaits WACC WACC valeur de l’entreprise valeur actuelle de l’avantage fiscal Synthèse (en marchés parfaits) (avec impôts) Formules utiles de l’exemple du cours : r −r
rA = rf + β A (rm − rf ) ó β A = A f rm − rf
VL =
EBIT (1− tC )
Bénéfice après impôts
+ tC D ; rE =
rA
E
Le bénéfice après impôts est ce qui revient aux actionnaires : (EBIT − rD D)(1− tC ) Le prix des actions saute lors de la mise en place de la nouvelle structure financière, car l’ « insider trading » est interdit. 38 Principes de Finance Comité HEC © 2012 nombre d’actions valeur par action temps temps Si l’actionnaire a besoin de liquidités, il peut vendre l’action (ce serait un dividende synthétique). S’il préfère détenir des actions, il peut acheter des actions avec le dividende reçu. Ainsi : MM et la politique de dividendes : En marchés parfaits, la politique de dividendes n’est pas créatrice de valeur pour l’actionnaire. La fiscalité des entreprises : En présence d’impôts, la détention d’une trésorerie excédentaire alourdit la charge fiscale de l’entreprise. La fiscalité des actionnaires : Les dividendes sont imposés au taux t div , les plus-­‐values sont imposées au taux t pv . En général t div > t pv : c’est donc optimal de ne verser aucun dividende. Mais attention, car si l’entreprise fait des rachats d’actions réguliers le fisc les considérera comme des dividendes dissimulés et les imposera en conséquence. Les taux d’imposition et besoins varient d’un investisseur à l’autre, l’entreprise peut donc attirer certains types d’investisseurs (ex. : fonds de pension) plutôt que d’autres en fonction de sa politique de distribution (effet de clientèle). EBIT ⋅ propdiv (1− tdiv ) + EBIT ⋅ proprachat (1− t pv )
Exemple du cours : E0 =
rE
Modèle : DANS UNE ANNEE Avant dividende et rachat d’actions EBIT 10’000 Nb d’actions 1’000 EPS 10 Total dividende 5’000 Total rachat 5’000 Div. par action 5 Fonds propres 72’500 Prix par action 72.5 Nb rachetées Après dividende, avant rachat 67’500 67.5 Après dividende, après rachat 925.925 62’500 67.5 74.074 43 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Ici, Total dividende
P : le taux d’imposition influence le montant qui sera distribué aux actionnaires. Graphique : 50% rachat, 50% dividende. temps Le nombre d’actions rachetées est plus élevé en présence d’impôts (car leur cours est plus faible). Imperfections du marché : • fiscalité de l’entreprise • saisonnalité • coûts de transaction • pecking order • coûts de détresse financière • fiscalité des actionnaires • asymétrie de l’information Pourquoi garder la liquidité ? -­‐ Les coûts de transaction liés à l’émission d’actifs financiers sont évités en gardant de la trésorerie pour s’auto-­‐financer. -­‐ Garder des liquidités réduit la probabilité d’insuffisance future, surtout en présence de saisonnalité/cyclicité. -­‐ Les dirigeants ont une incitation à garder la liquidité (cela leur laisse plus de marge dans leur gestion de l’entreprise). Asymétries d’information : une augmentation graduelle du montant du dividende est un bon signe car cela signifie que l’entreprise pense toujours avoir assez de flux de trésorerie pour le distribuer, une chute est très mauvaise car elle indique que l’entreprise est mal gérée. C’est donc le contenu informationnel qui justifie l’existence des dividendes. Seule leur variation est importante (d’où le lissage des dividendes). 44 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Les options sont des titres à somme nulle (zero sum game) car le gain de l’un est la perte de l’autre. Leur risque est toujours plus important qu’une position dans le sous-­‐jacent. actif call-­‐put Achat d’un call et vente d’un put : call (long) Gain à l’échéance : CT − PT = ST − K K put (short) => En t=1, acheter un call et vendre un put est équivalent à acheter une action et emprunter la valeur actuelle de K , car ces deux stratégies ont le même profil de gain. Selon la loi du prix unique : Ct − Pt = St −VA(K) , c’est la relation de parité. Pour répliquer un call : Ct = Pt + St − VA(K ) Pour répliquer un put : Pt = Ct − St + VA(K ) payoff Straddle : On achète un call et un put de même strike. Bien si de larges mouvements du prix du sous-­‐jacent sont anticipés. payoff Strangle : On achète un call et un put avec K P < K C . Bien si on est confiant dans la direction du mouvement du sous-­‐jacent. L’écart papillon : On achète 2 calls de strike différent et vend 2 calls de même strike avec K CL1 < K CS < K CL 2 . Bien si on pense que le payoff prix du sous-­‐jacent restera stable. ST K CL1 K CL 2
K CS 47 Principes de Finance Comité HEC © 2012 payoff L’assurance de portefeuille : On achète une action et un put l’ayant comme sous-­‐jacent. C’est équivalent à acheter un call et faire un prêt de bons du Trésor. put ST K action Différents facteurs influencent le prix des options : -­‐ Le prix d’exercice : plus il est grand, plus le prix du call est faible et celui du put élevé -­‐ Le prix du sous-­‐jacent : plus il est élevé, plus le prix du call est élevé et celui du put faible -­‐ Volatilité : plus elle est élevée, plus le prix de l’option est élevé -­‐> c’est le contraire des actions ! Le prix d’une option ne peut pas être négatif. Le modèle binomial : Hypothèse : le prix de l’action sous-­‐jacente ne peut prendre que deux valeurs à la période suivante. Pour le cas d’un put (ou autre option), il faut soit remplacer les formules de payoff du call par les formules de payoff d’un put, soit utiliser la relation de parité (pour transformer C 0 en P0 ). On valorise l’option en construisant un portefeuille de réplication ayant le même profil de gain que l’option, par application de la loi du prix unique. L’avantage est qu’on n’a pas besoin de savoir les probabilités de hausse et de baisse de l’option.
48 Principes de Finance T
n
Comité HEC © 2012 T
rC
1
n
;
r
=
e
−1 u=e
u
Puis les formules habituelles peuvent être appliquées. La formule de Black-­‐Scholes : Ct = StN(d1)-­‐Ke-­‐n(T-­‐t)N(d2) ⎡ St
⎤
ln ⎢ −r(T
−t ) ⎥
Ke
⎦ + σ T − t et d = d − σ T − t où d1 = ⎣
2
1
2
σ T −t
Ν ( ) est la distribution cumulative d’une loi normale. Pour calculer Ν(x) sur la σ
; d =
TI-­‐84, la commande est : DISTR − > 2 :normalcdf( − > normalcdf(-­‐100, x ) La formule de Black-­‐Scholes fonctionne remarquablement bien dans la réalité, c’est pour cela qu’elle est devenue standard dans la pratique. Via la relation de parité on trouve aussi que : Pt = Ke-­‐r(T-­‐t)N(-­‐d2) -­‐ StN(-­‐d1) Lorsqu’on cherche la valeur d’un certain nombre d’options (par exemple 100 puts), il faut toujours commencer par chercher la valeur de l’une d’entre elles puis la multiplier par le nombre désiré. Attention, en réalité la volatilité implicite varie en fonction du prix d’exercice (volatility smile), alors qu’elle devrait être constante en théorie. C’est une destruction empirique de la formule de Black-­‐Scholes.
51 Principes de Finance Comité HEC © 2012 Bonus : Les joies de la TI-­‐84 Ce n’est bien sûr pas une calculatrice super programmée qui te fera passer l’examen. Mais étant donné que t’y as droit, autant l’utiliser à bon escient et profiter des quelques minutes qu’elle peut te faire gagner à l’examen. CF0 = x : c’est le premier cash flow CFListe = {x, y, z} : la série des cash flow (signe négatif si c’est une sortie d’argent) CFFreq = {2,1,2} : la fréquence des cash flow en liste (1 par défaut) Calcul de la VAN (ou NPV, net présent value en anglais): APPS − > 1:Finance... − > 7 :npv( Syntaxe : npv(taux d’intérêt, CF0 , CFListe , CFFreq ) Calcul du TRI (ou IRR, internal rate of return en anglais): APPS − > 1:Finance... − > 8 :irr( Syntaxe : irr( CF0 , CFListe , CFFreq ) Programmer la TI-­‐84 : A titre d’exemple, voilà une programmation possible de d1 . D’ailleurs, la formule de Black-­‐Scholes est un très bon candidat pour la programmation étant donné qu’il faudra l’appliquer assez mécaniquement. ⎡ St
⎤
ln ⎢ −r(T
−t ) ⎥
Ke
⎦ + σ T − t Pour rappel : d1 = ⎣
2
σ T −t
On définit St -­‐> S ; K -­‐> K ; σ -­‐> O ; T-­‐t -­‐> T ; r -­‐> R, car il faut assigner une lettre unique à chaque variable (sinon une erreur apparaîtra lors du lancement). PRGM − > NEW − > 1: Create New − > Name=D1 PROGRAM : D1 : Prompt S,K,O,T,R : (ln(S/(K*e^(-­‐R*T))))/(O*√(T))+(O*√(T))/2-­‐>D : Disp D Pour les commandes Prompt et Disp (qui correspond au Print de Python), il faut aller dans PRGM − > I/O − > 2 : ou 3 : . Toutes les autres commandes de programmation sont accessibles depuis cet écran. Pour la commande -­‐> (stockage du résultat du calcul dans une variable), c’est le bouton STO > . 52