Nombres relatifs I) Nombres relatifs

Séquence 2 – Nombres relatifs
I)
Nombres relatifs : rappels.
Bilan 1
Définitions (et interprétations graphiques)
− La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans son signe.
Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre représente la distance entre le nombre et l’origine.
− Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe sont appelés nombres opposés.
Sur une droite graduée, deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.
Bilan 2
Propriété (admise)
Somme de relatifs
La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif
−
signe.
− dont la distance à 0 est
.
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est un nombre relatif
− de signe celui
.
− dont la distance à 0 est
Propriété (admise)
.
Différence de relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
II)
Produit de nombres relatifs.
1) Produit de deux nombres relatifs
Activité 1
Retiens :
Activité 2
Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et le signe est :
− positif si les nombres sont de même signe.
− négatif si les nombres sont de signes contraires.
Ex 2 – 4 – 3 p 26
Activité 3
Ex 23 – 31 – 32 p 27
Remarque
Multiplier un nombre par –1 revient à changer son signe
Ex 34 p 27
2) Produit de plusieurs nombres relatifs
Activité 4
Retiens :
Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et le signe est :
− positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs.
− négatif si il y a un nombre impair de facteurs négatifs.
Ex 7 – 6 p 26
III)
Ex 40 – 41 – 42 p 28
Quotient de nombres relatifs.
Activité 5
Retiens :
Pour diviser deux nombres relatifs, on divise les distances à zéro et le signe est :
− positif si les nombres sont de même signe.
− négatif si les nombres sont de signes contraires.
Ex 12 – 11 p 26
DTL : Transmath 2011
Ex 64 p 29
Ex 56 p 24
Ex 18 – 19 p 26
Ex 80 – 81 p 27
Ex 76 – 78 p 30
Ex 100 p 27
Ex 103 p 27
Ex 136 p 31
Bilan 1
1)
« Vocabulaire – Droite graduée »
Complète à l’aide des signes <, = ou > :
3,9
2)
3,09
–3
–9
4
–3,7
–3,64
Encadre chacun des nombres suivants à l’aide de deux entiers consécutifs :
0,1
3)
–4
Rappel :
–3
4,99
–1,34
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans
.
Quand on représente un nombre sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre est la distance qui sépare le
nombre de l’origine de la droite.
4)
a)
Complète : La distance à zéro de +2,5 est
, la distance à zéro de –3 est
, la distance à zéro de 7 est
b)
Comment qualifie-t-on les nombres −35,7 et 35,7 ?
c)
Quelle symétrie peut-on observer si on place ces deux nombres sur une droite graduée?
On considère maintenant les points A (−3) ; B (1,75) ; C (2,25) ; D (–1,5).
Rappel :
Le nombre entre parenthèses désigne l’emplacement du point sur la droite graduée, on l’appelle
. du point.
Construis ci-dessous une droite graduée puis place les points A, B, C et D.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Bilan 2
« Somme et différence de nombres relatifs »
Somme de relatifs
La somme de deux nombres relatifs de même signe
est un nombre relatif
−
signe.
− dont la distance à 0 est
..
Exemples :
La somme de deux nombres relatifs de signes contraires
est un nombre relatif
− dont le signe est celui
....
.
− dont la distance à 0 est
.
Exemples :
25 + 18 =
(–6) + (+11) =
5 + (–13) =
(–2) + (–9) =
Différence de relatifs
Simplification
Exemples :
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples :
..
4 + (+1) = 4 + 1
4 + (–1) = 4 – 1
2–7=
4 – (+1) = 4 – 1
–3 – (–11) =
4 – (–1) = 4 + 1
Effectue les calculs suivants :
24 + 17 =
(– 4) + 5 =
(– 8) + (– 14) =
9 + (– 9) =
(– 20) + (– 12) =
(+ 4) – (+ 15) =
(– 12) – (+ 5) =
(– 10) – (– 7) =
14 – (– 4) =
(– 6) – (+ 6) =
3–9=
–3 – 9 =
–9 – (–3) =
−1 + 21 – (13 – 8) – (3 + 8)
=
9–3×5=
3 – [ 4 – (5 – 9) ]
(– 3 + 9) + (4 – 11) – (– 5 – 6)
=
=
Activité 1
Produit de deux nombres de signes différents
1) « 3 fois –2 » : positif par négatif
a) On remarque que 3 × (–2) = (–2) + (–2) + (–2). Complète alors :
3 × (–2) =
b) En décomposant mentalement de la même manière, complète les calculs suivants :
2 × (–8) =
(–6) × 9 =
5 × (–1,4) =
(–3,6) × 10 =
2) Généralisation
a) Pourquoi ne peut-on pas calculer 2,7 × (–1,4) comme à la question 1) ?
b) Calcule à la main : 2,7 × 1,4 =
c) Factorise puis calcule l’expression suivante : 2,7 × 1,4 + 2,7 × (–1,4)
d) A l’aide des deux questions précédentes, quelle doit être la valeur de 2,7 × (–1,4) ? Explique ta réponse.
e) Trouve la règle qui donne le signe du produit de deux nombres de signes contraires.
f)
Effectue les calculs suivants :
9 × (–7) =
(–15) × 6 =
12,5 × (–20) =
7,1 × (–0,8) =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Activité 2
Produit de deux nombres négatifs
(–3) × 2 =
On sait calculer →
(–3) × 1 =
a) Voici un extrait de la table de multiplication par –3.
(–3) × 0 =
Essaie de compléter tous les résultats manquants.
(–3) × (–1) =
Ce qui est nouveau →
(–3) × (–2) =
+3
+=
+=
+=
b) Quel semble être le signe du produit de deux relatifs négatifs ?
c) Calcule à la main : (–3) × 2,5 =
d) Factorise puis calcule l’expression suivante :
(–3) × 2,5 + (–3) × (–2,5)
e) A l’aide des deux questions précédentes, quelle doit être la valeur de (–3) × (–2,5) ? Explique ta réponse.
f)
Trouve la règle qui donne le signe du produit de deux nombres négatifs.
g) Effectue les calculs suivants :
(–3) × (–8) =
(–11) × (–7) =
(–4) × (–1,5) =
(–2,5) × (–0,4) =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Activité 3
a)
●
Multiplication par (–1)
x désigne un nombre relatif. Dans chaque cas, calcule (–1) × x.
x=9
●
x = 20,5
●
x = –4
●
x = –5,2
b) Complète la propriété :
Propriété
En multipliant un nombre par (–1), on obtient son .............................
Autrement dit, quel que soit le nombre x, (–1) × x =
c) Est-il vrai que le nombre –x est négatif quelles que soit la valeurs de x ? Justifie.
●
x = –1
Activité 4
Sans calculatrice !
1) Indique le signe de chaque produit dans la colonne de droite, en face du calcul correspondant. (On ne demande pas ici
de les calculer)
Produit
Signe du produit
A = (–2,7) × (–2,7)
B = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
C = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
D = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
E = (–2) × (–3) × (–1)
F = (–2) × 3 × (–1) × (–2)
G = 2 × (–3) × (–1) × 2 × 5
H = (–2) × (–3) × (–1) × (–2) × (–5) × (–3)
2) Calcule de tête E, F, G et H.
3) Propose une propriété sur le produit de plusieurs nombres relatifs.
4) Donne le signe des expressions suivantes :
I = (–5) × (–1) × 6 × (–1) × (–2) × 12 × (–4)
J = (–2) × (–2) × (–2) ×
× (–2)
2013 facteurs égaux à (–2)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Rappel :
Si
Activité 5
x est un nombre tel que
9 × x = 13.
alors
x=
À nouveau sans calculatrice !
Les lettres x,
y, z, s, t, u, v et w désignent chacune un nombre relatif inconnu dans les huit produits suivants :
77 × x = −4
−44 × y = 7
−44 × z = −7
−4 × s = −7
t × 4 = 77
u × 77 = 4
v × 4 = −77
w × (−4) = 7
1) D’après la règle des signes, quelles lettres représentent des nombres positifs ?
Quelles sont celles qui représentent des nombres négatifs ?
2) Associe chaque lettre
x=
t=
x, y, z, s, t, u, v et w au quotient correspondant parmi les huit proposés ci-dessous :
7
− 44
77
4
4
77
−7
−4
−4
77
−7
− 44
7
−4
−77
4
−4
77
y=
z=
s=
u=
v=
w=
3) A l’aide des réponses fournies au 1) et au 2), écris d’un côté les quotients positifs et de l’autre les quotients négatifs.
4) Quelle propriété va-t-on écrire dans le cours pour diviser deux nombres relatifs ?