Nombres relatifs I) Nombres relatifs

Séquence 2 – Nombres relatifs
I) Nombres relatifs : rappels.
Bilan 1
Définitions (et interprétations graphiques)
− La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans son signe.
Sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre représente la distance entre le nombre et l’origine.
− Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe sont appelés nombres opposés.
Sur une droite graduée, deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine.
Bilan 2
Propriété (admise) Somme de relatifs
La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif
−  signe.
− dont la distance à 0 est .
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est un nombre relatif
− de signe celui .
− dont la distance à 0 est .
Propriété (admise) Différence de relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
II) Produit de nombres relatifs.
1) Produit de deux nombres relatifs
Activité 1 Activité 2
Retiens : Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et le signe est :
− positif si les nombres sont de même signe.
− négatif si les nombres sont de signes contraires.
Ex 2 – 4 – 3 p 26 Ex 23 – 31 – 32 p 27
Activité 3 Remarque Multiplier un nombre par –1 revient à changer son signe
Ex 34 p 27
2) Produit de plusieurs nombres relatifs
Activité 4
Retiens : Pour multiplier plusieurs nombres relatifs, on multiplie les distances à zéro et le signe est :
− positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs.
− négatif si il y a un nombre impair de facteurs négatifs.
Ex 7 – 6 p 26 Ex 40 – 41 – 42 p 28
III) Quotient de nombres relatifs.
Activité 5
Retiens : Pour diviser deux nombres relatifs, on divise les distances à zéro et le signe est :
− positif si les nombres sont de même signe.
− négatif si les nombres sont de signes contraires.
Ex 12 – 11 p 26 Ex 64 p 29 Ex 18 – 19 p 26 Ex 76 – 78 p 30
DTL : Transmath 2011 Ex 56 p 24 Ex 80 – 81 p 27 Ex 100 p 27 Ex 103 p 27 Ex 136 p 31

Bilan 1 « Vocabulaire – Droite graduée »
1) Complète à l’aide des signes <, = ou > :
3,9  3,09 –3  –4 –9  4 –3,7  –3,64
2) Encadre chacun des nombres suivants à l’aide de deux entiers consécutifs :
 0,1   –3   4,99   –1,34 
3) Rappel : La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans .
Quand on représente un nombre sur une droite graduée, la distance à zéro d’un nombre est la distance qui sépare le
nombre de l’origine de la droite.
a) Complète : La distance à zéro de +2,5 est , la distance à zéro de –3 est , la distance à zéro de 7 est 
b) Comment qualifie-t-on les nombres −35,7 et 35,7 ?
c) Quelle symétrie peut-on observer si on place ces deux nombres sur une droite graduée?
4) On considère maintenant les points A (−3) ; B (1,75) ; C (2,25) ; D (–1,5).
Rappel : Le nombre entre parenthèses désigne l’emplacement du point sur la droite graduée, on l’appelle
. du point.
Construis ci-dessous une droite graduée puis place les points A, B, C et D.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Bilan 2 « Somme et différence de nombres relatifs »
Effectue les calculs suivants :
24 + 17 =  (– 4) + 5 =  (– 8) + (– 14) =  9 + (– 9) =  (– 20) + (– 12) = 
(+ 4) – (+ 15) =  (– 12) – (+ 5) =  (– 10) – (– 7) =  14 – (– 4) =  (– 6) – (+ 6) = 
3 – 9 = –3 – 9 = –9 – (–3) = 9 – 3 × 5 =
−1 + 21 – (13 – 8) – (3 + 8)
=
(– 3 + 9) + (4 – 11) – (– 5 – 6)
=
3 – [ 4 – (5 – 9) ]
=
La somme de deux nombres relatifs de signes contraires
est un nombre relatif
− dont le signe est celui ....
.
− dont la distance à 0 est ..
.
Exemples : (–6) + (+11) =
5 + (
–
13) =
Somme de relatifs
La somme de deux nombres relatifs de même signe
est un nombre relatif
−  signe.
− dont la distance à 0 est 
..
Exemples : 25 + 18 =
(
–
2) + (
–
9) =
Différence de relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples : 2 – 7 =
–3 – (–11) =
Simplification
Exemples : 4 + (+1) = 4 + 1
4 + (–1) = 4 – 1
4 – (+1) = 4 – 1
4 – (–1) = 4 + 1

Activité 1 Produit de deux nombres de signes différents
1) « 3 fois –2 » : positif par négatif
a) On remarque que 3 × (–2) = (–2) + (–2) + (–2). Complète alors : 3 × (–2) = 
b) En décomposant mentalement de la même manière, complète les calculs suivants :
2 × (–8) =  (–6) × 9 =  5 × (–1,4) =  (–3,6) × 10 = 
2) Généralisation
a) Pourquoi ne peut-on pas calculer 2,7 × (–1,4) comme à la question 1) ?
b) Calcule à la main : 2,7 × 1,4 = 
c) Factorise puis calcule l’expression suivante : 2,7 × 1,4 + 2,7 × (–1,4)
d) A l’aide des deux questions précédentes, quelle doit être la valeur de 2,7 × (–1,4) ? Explique ta réponse.
e) Trouve la règle qui donne le signe du produit de deux nombres de signes contraires.
f) Effectue les calculs suivants :
9 × (–7) = (–15) × 6 = 12,5 × (–20) = 7,1 × (–0,8) =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Activité 2 Produit de deux nombres négatifs
a) Voici un extrait de la table de multiplication par –3.
Essaie de compléter tous les résultats manquants.
b) Quel semble être le signe du produit de deux relatifs négatifs ?
c) Calcule à la main : (–3) × 2,5 = 
d) Factorise puis calcule l’expression suivante : (–3) × 2,5 + (–3) × (–2,5)
e) A l’aide des deux questions précédentes, quelle doit être la valeur de (–3) × (–2,5) ? Explique ta réponse.
f) Trouve la règle qui donne le signe du produit de deux nombres négatifs.
g) Effectue les calculs suivants :
(–3) × (–8) = (–11) × (–7) = (–4) × (–1,5) = (–2,5) × (–0,4) =
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Activité 3 Multiplication par (–1)
a) x désigne un nombre relatif. Dans chaque cas, calcule (–1) × x .
x = 9  x = 20,5  x = –4  x = –5,2  x = –1
b) Complète la propriété :
Propriété En multipliant un nombre par (–1), on obtient son .............................
Autrement dit, quel que soit le nombre x , (–1) × x = 
c) Est-il vrai que le nombre – x est négatif quelles que soit la valeurs de x ? Justifie.
(–3) × 2 = 
(–3) × 1 = 
(–3) × 0 = 
(–3) × (–1) = 
(
–
3) ×
(
–
2) = 
+
=
+
=
On sait calculer →
Ce qui est nouveau →
+
3
+ =

Activité 4 Sans calculatrice !
1) Indique le signe de chaque produit dans la colonne de droite, en face du calcul correspondant. (On ne demande pas ici
de les calculer)
Produit Signe du produit
A = (–2,7) × (–2,7)
B = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
C = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
D = (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7) × (–2,7)
E = (–2) × (–3) × (–1)
F = (–2) × 3 × (–1) × (–2)
G = 2 × (–3) × (–1) × 2 × 5
H = (–2) × (–3) × (–1) × (–2) × (–5) × (–3)
2) Calcule de tête E, F, G et H.
3) Propose une propriété sur le produit de plusieurs nombres relatifs.
4) Donne le signe des expressions suivantes :
I = (–5) × (–1) × 6 × (–1) × (–2) × 12 × (–4)
J = (–2) × (–2) × (–2) ×  × (–2)
2013 facteurs égaux à (–2)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Rappel : Si x est un nombre tel que 9 × x = 13. alors x =
Activité 5 À nouveau sans calculatrice !
Les lettres x, y, z, s, t, u, v et w désignent chacune un nombre relatif inconnu dans les huit produits suivants :
77 × x = −4 −44 × y = 7 −44 × z = −7 −4 × s = −7
t × 4 = 77 u × 77 = 4 v × 4 = −77 w × (−4) = 7
1) D’après la règle des signes, quelles lettres représentent des nombres positifs ? 
Quelles sont celles qui représentent des nombres négatifs ? 
2) Associe chaque lettre x, y, z, s, t, u, v et w au quotient correspondant parmi les huit proposés ci-dessous :
44
7
− 4
77
77
4
4
7
−
−
77
4−
44
7
−
−
4
7
− 4
77−
x =
77
4−
y = z = s =
t = u = v = w =
3) A l’aide des réponses fournies au 1) et au 2), écris d’un côté les quotients positifs et de l’autre les quotients négatifs.
4) Quelle propriété va-t-on écrire dans le cours pour diviser deux nombres relatifs ?