Examen du module LP353

30 janvier 2008
Examen du module LP353
Année Universitaire 2007-2008
Documents de cours et de TD non autorisés. Calculatrice autorisée.
Durée de l’épreuve 3 heures
L’examen est composé de deux parties correspondant à des sujets totalement indépendants.
Le premier sujet a pour but d’étudier la propagation d’une onde électromagnétique dans les
hautes couches de l’atmosphère terrestre.
Le second sujet porte sur l’étude d’une méthode de mesure de biréfringence.
Première partie
Propagation d’une onde électromagnétique
dans l’ionosphère
1
Modèle de Drude
Le modèle de Drude (1900) permet de décrire la réponse d’un gaz d’électron libres et indépendants à un champ électromagnétique. Dans ce modèle, les électrons, de masse m et de vitesse
−
→
→
v , sont soumis à une force de frottement −mγ −
v et à la force électromagnétique de Lorentz. La
vitesse des électons étant ici négligeable devant la vitesse de la lumière, la contribution à cette
force due au champ magnétique peut être négligée devant celle due au champ électrique.
1. Écrire l’équation du mouvement pour un électron et la résoudre dans le cas d’un champ
−
→
−
→
oscillant E = E0 e−iωt .
−
→
2. Rappeler la relation liant le champ électrique incident à la polarisation volumique P .
Quelle relation lie la susceptibilité χ à la permittivité diélectrique relative εr ? Donner
−
→
→
l’expression de P en fonction de la densité volumique d’électrons n, de −
r et de qe , charge
de l’électron.
3. En déduire l’expression de la permittivité diélectrique relative εr en fonction de la pulsation
nqe2
et de γ. Donner les expressions de ses parties réelle et imaginaire.
ω, de ωp2 ≡
mε0
4. Sachant que ωp ∼ 1015 Hz et γ ∼ 1014 Hz, à quelle expression peut se réduire la permittivité
diélectrique relative pour des pulsations proches de la pulsation plasma ωp ?
5. Le coefficient de réflection en intensité d’un métal
√ pour2une onde oscillant dans le domaine
εr − 1 . Donner l’allure de R en fonction
des fréquences visibles est donné par : R ≡ √
εr + 1 de la pulsation ω, pour des valeurs proche de ωp .
2
Propagation d’une onde électromagnétique dans l’ionosphère
L’ionosphère est une région de l’atmosphère située entre 60 et 800 km d’altitude. Elle est
constituée de gaz fortement ionisé et d’électrons libres très dilués. La propagation d’une onde
dans l’ionosphère est décrite en première approximation par la permittivité diélectrique relative
obtenu dans le cadre du modèle de Drude. Néanmoins, la présence du champ magnétique terrestre
modifie de façon significative cette description.
Dans ce qui suit, nous examinerons un gaz d’électrons ayant une densité volumique n ho−
→
mogène. Ce gaz est soumis au un champ magnétique uniforme, statique et “intense” B0 . Nous
−
→
allons étudier le cas particulier d’une onde se propageant parallèlement et dans le sens de B0 .
Enfin, le plasma étant très dilué, les collisions pourront être négligées.
Données : ε0 = 8, 5.10−12 C2 .m−3 .kg−1 .s2 ; m = 9, 1.10−31 kg ; qe = 1, 6.10−19 C.
1. Ecrire l’équation du mouvement d’un électron de l’ionosphère dans un champ électrique
−
→
−
→
oscillant E et dans le champ magnétique statique B0 .
2. On considère que le champ électrique est polarisé circulairement et oscille à la pulsation ω,
−
→
−
→
−
→
→
→
ce qui permet d’écrire : E = (−
a1 ± i b1 )E0 e−iωt , où −
a1 et b1 sont deux vecteurs unitaires
h
Fig. 1 – Densité d’électrons dans la ionosphère en fonction de l’altitude h.
orthogonaux.
Résoudre alors l’équation du mouvement pour un tel champ, en cherchant des solutions
→
en −
x également polarisées circulairement.
3. Montrer alors que la constante diélectrique peut être écrite :
ωp2
(1)
ω(ω ∓ ωB )
où vous préciserez l’expression de la pulsation de Bohr ωB .
En déduire que l’ionosphère est un milieu anisotrope et indiquer la nature des vibrations
propres pouvant se propager dans ce milieu.
AN – Le champ magnétique terrestre a une amplitude de l’ordre de 30 µT. Quelle est la
valeur de ωB . La densité d’électrons libres est d’environ 1010 électrons/m3 . Déterminer la
valeur de ωp .
Tracer ε±
r en fonction de ω/ωB et pour ωp /ωB = 2.
Il existe une large plage de fréquences pour laquelle ε+ et ε− sont de signe opposé. Que
pouvez vous en conclure quant à la propagation des ondes “±” ?
La figure 1 représente schématiquement la densité d’électrons en fonction de l’altitude h
dans une couche de l’ionosphère. Quelle conséquence a cette variation de n sur la dépendance de la pulsation plasma ωp en fonction de h ?
On considère une onde électromagnétique de pulsation ω1 partant du sol (onde radio par
exemple) et se propageant en direction de l’ionosphère. Expliquer pourquoi cette onde est
réfléchie à partir d’une certaine altitude h1 dont vous donnerez l’expression.
En déduire une méthode permettant de déterminer la densité maximum d’électrons dans
une couche de l’ionosphère.
Donner l’expression de ε−
r lorsque ω → 0.
En déduire l’expression du vecteur d’onde associé à la propagation de l’onde, en fonction
de ω. L’ionosphère est-elle un milieu dispersif ? Si oui, donner l’expression de la vitesse de
dω
en fonction de ω.
groupe vg ≡
dk
Lorsqu’un orage se produit dans un hémisphère terrestre, il crée des ondes électromagnétiques ayant un spectre en fréquence très large. Certaines composantes spectrales de ce
champ électromagnétique se propagent en suivant les lignes du champ magnétique terrestre. Lorsque ces ondes arrivent aux antipodes du lieu de création, un phénomène de
sifflement de fréquence variable (aiguë suivi de grave) peut y être entendu. Comment expliqueriez vous ce phénomène ?
ε±
r =1−
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Deuxième partie
Méthode de la lame quart-d’onde pour la
mesure de biréfringence
Nous proposons d’utiliser une lame quart d’onde pour mesurer la biréfringence ∆n e d’une
lame mince biréfringente d’épaisseur e. Cette méthode est complémentaire de celle utilisant le
compensateur de Babinet.
faisceau
incident
e
Fig. 2 – Lame mince biréfringente taillée telle que son axe optique est orthogonal à la face
d’entrée. Éclairage en incidence oblique.
1
Action d’une lame mince sur un faisceau de lumière polarisé
linéairement
On considère un faisceau de lumière polarisé linéairement, selon la direction P, arrivant sur
une lame mince biréfringente L (dont la normale est la direction Oz), taillée de sorte que son
axe optique (Oy) soit parallèle à la face d’entrée. On pourra noter α l’angle entre P et l’axe
optique.
1. On considère que le faisceau arrive sous incidence oblique sur la lame. Tracer la marche des
normales sur toute l’épaisseur de la lame et aux deux interfaces (entrée et sortie) cristal-air.
2. Dans toute la suite de cette partie, on considère le cas de l’incidence normale.
Justifier pourquoi la polarisation de la lumière à la sortie de la lame est elliptique et préciser
de quel paramètre dépend le sens de parcours de cette ellipse par l’extrémité du vecteur
champ électrique.
3. On choisit, pour cette question, une direction de polarisation incidente orientée à 45˚de
l’axe optique. Montrer que, dans ce cas, les demi-axes de l’ellipse sont la direction de
polarisation incidente et sa perpendiculaire.
2
Action d’une lame quart-d’onde sur une polarisation rectiligne
On considère le cas particulier d’une lame quart-donde, c’est à dire telle que ∆ne = λ/4.
1. Montrer qu’une telle lame λ/4 transforme une polarisation linéaire incidente P faisant
l’angle α avec son axe optique, en une polarisation elliptique, dont l’ellipse est inscrite
dans un rectangle dont l’une des diagonales est la direction de P.
2. Si l’on fait l’hypothèse que l’axe rapide de la lame λ/4 est porté par Ox, quels sont les
sens de parcours de l’ellipse, selon que 0 ≤ α < π/2 ou π/2 ≤ α < π ?
y
x
Q.I.
filtre
l=578 nm
e
l/4
écran
Fig. 3 – Montage pour la mesure de la biréfringence d’une lame mince d’épaisseur e, par la
méthode de la lame quart-d’onde. La mesure est faite à la longueur d’onde λ = 578 nm grâce à
un filtre interférentiel intercalé sur le trajet de la lumière blanche issue de la lampe Quarz-Iode
(Q.I.).
3
Mesure de la biréfringence d’une lame mince par la méthode
de la lame λ/4
On considère le montage décrit sur la figure 3, dans lequel la lame d’intérêt L (celle dont on
cherche à mesurer la biréfringence), d’épaisseur e, est suivie d’une lame λ/4.
1. Comment doit on orienter les lignes neutres de la lame λ/4 pour que cette lame transforme
la polarisation émergeant de la lame L en une polarisation linéaire ?
On place un analyseur A initialement croisé avec le polariseur P (ie, P et A sont orthogonaux entre eux) : le faisceau incident est éteint sur l’écran. Après avoir intercalé la lame
L, l’écran est de nouveau éclairé. On ajoute alors la lame λ/4 convenablement orientée.
2. Montrer que l’angle ψ dont on doit tourner l’analyseur A pour rétablir l’exctinction sur
2π
∆ne, par
l’écran est relié au déphasage dû à la biréfringence φ ≡
λ
tan
φ
= − tan ψ
2
(2)
3. En déduire un protocole de mesure de la biréfringence. Quelles sont les limites de cette
méthode de mesure ?
⋆⋆⋆