un exemple de groupe quantique localement compact - IMJ-PRG

Un exemple de groupe quantique localement compact
de type III
Pierre F IMA
Mémoire de DEA sous la direction de Leonid VAINERMAN
DEA de Mathématiques de Paris 7, année 2003-2004
1
Je tiens à remercier sinçèrement Stefaan VAES et Leonid VAINERMAN pour leur aide, leurs explications, et leur patience.
2
Table des matières
1 Introduction
3
2 Préliminaires
2.1 Constructions de groupes localement compacts . . . . . . .
2.1.1 Produit restreint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le corps des nombres p-adiques et ses mesures de Haar . .
2.2.1 Corps valués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Le corps p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Produit tensoriel infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Produit tensoriel infini d’espaces de Hilbert . . . .
2.3.2 Produit tensoriel infini de C ∗ -algèbres unifères . . .
2.3.3 Produit tensoriel infini d’algèbres de von Neumann
2.4 Facteurs d’Araki-Woods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Théorie des poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Invariants S et T , classification des facteurs de type III . .
2.6.1 Invariant T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Invariant S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Groupes quantiques localement compacts . . . . . . . . . .
2.7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Biproduit croisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
3 Un exemple de groupe quantique de type III
3.1 Un premier exemple de type I∞ . . . . . .
3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Type de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . .
3.4 L’algèbre du dual . . . . . . . . . . . . . .
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Références
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34
Introduction
La notion de groupe quantique localement compact, introduite par J. Kustermans et S. Vaes
dans [17] (voir aussi [16] et [18]), est le résultat de nombreuses années de recherche et se base sur
les travaux de G. Kac et L. Vainerman [15], M. Enock et J.-M. Schwartz [10], S. Baaj et G. Skandalis
[2], S.L. Woronowicz [31] et A. Van Daele [28].
L’une des motivations dans le développement de la théorie des groupes quantiques localement compacts est la dualité des groupes. Si G est un groupe abélien localement compact alors
l’ensemble des caractères continus de G peut être muni d’une structure de groupe localement
compact appelé groupe dual de G et noté Ĝ. Le théorème de Pontryagin dit que le bidual de G
est canoniquement isomorphe au groupe original G. Cependant, la généralisation de ce type de
résultat au cas non-abélien pose des problèmes. Il est alors intéressant de trouver une catégorie
auto-duale contenant tous les groupes localement compacts. Kac, en 1961 [12, 13], définit une
3
nouvelle structure (ring group) contenant en un certain sens les groupes localement compacts
unimodulaires et leurs objets duaux. Il était possible avec cette structure d’obtenir une dualité généralisant la dualité de Pontryagin. C’est en 1973 que Kac et Vainerman [15] et indépendamment
Enock et Schwartz [10] définissent une catégorie auto-duale contenant tous les groupes localement compacts. Ces objets sont aujourd’hui appelés algèbres de Kac. Puis, une seconde étape
dans le développement de la théorie des groupes quantiques localement compacts est franchie
après les travaux de Drinfel’d [9], Jimbo [11] et Woronowicz [30, 29]. On obtient de nouveaux
exemples qui ne sont pas des algèbres de Kac. Finalement, un ensemble satisfaisant d’axiomes est
donné par Kustermans et Vaes.
Une autre motivation importante est apparue dans l’étude des sous-facteurs. Si M est un facteur II1 et G un groupe fini agissant extérieurement sur M alors l’algèbre des points fixes M G est
un sous-facteur de M . Le sous-facteur M G ⊂ M est irréductible, de profondeur 2. Il est alors naturel de se demander si tous les sous-facteurs irréductibles, de profondeur 2 sont de cette forme.
Bien que ce ne soit pas le cas, le théorème d’Enock et Nest dit que tout sous-facteur irréductible,
de profondeur 2, satisfaisant une bonne condition de régularité, est de la forme M G ⊂ M où M G
est l’algèbre des points fixes pour l’action extérieure d’un groupe quantique localement compact
G sur M .
Afin d’obtenir des groupes quantiques localement compacts les plus éloignés possible des
groupes on cherche les exemples les moins commutatif et cocommutatif possibles, c’est à dire tels
que l’algèbre de von Neumann sous-jacente soit un facteur et l’algèbre du dual soit également
un facteur. On connait un tel exemple autodual qui est de type I∞ (voir [27] section 5.3). Il existe
également un exemple qui n’est pas cocommutatif et tel que l’algèbre soit un facteur de type
II1 ; c’est le groupe quantique libre Au(n) de Banica [5]. Cependant, le dual n’est évidemment pas
un facteur car, Au(n) étant compact, son dual est une somme infinie d’algèbres de matrices. Il
est clair qu’il n’existe pas de groupe quantique tel que l’algèbre soit un facteur de type In car,
étant de dimension finie, l’algèbre de Hopf se décompose en une somme directe de matrice et
comme la counité fournit une représentation dans C, C apparait toujours dans la décomposition.
Pour le type III aucun exemple non-trivial (c’est à dire ni commutatif ni cocommutatif) n’a encore
été traité. Le but de ce mémoire est de construire, pour tout λ ∈ [0, 1], un groupe quantique
localement compact dont l’algèbre est un facteur de type IIIλ et l’algèbre du dual est encore un
facteur. Nous verrons également que le groupe quantique obtenu est semi-régulier mais n’est pas
régulier. L’exemple présenté ici est dû à S. Vaes et est une modification de l’exemple 4.2 dans [4].
Nous utiliserons le biproduit croisé pour construire cet exemple. Cette construction provient
des travaux de Kac [14]. Elle a ensuite été reprise et généralisée par Takeuchi [25], Majid [20, 21].
On la retrouve également dans Baaj et Skandalis [3], Vaes et Vainerman [27] et Baaj, Skandalis,
Vaes [4] (la liste est non-exhaustive).
Dans la seconde partie nous rappelerons toutes les notions et résultats qui nous servirons pour
la suite. En particulier nous donnerons les définitions des différentes constructions de groupes
localement compacts qui interviennent dans ce mémoire. Nous rappelerons également la définition du corps Qp , des produits tensoriels infinis d’espaces de Hilbert et d’algèbres de von Neumann. Puis nous donnerons les resultats fondamentaux concernant la théorie des poids et la classification des facteurs. Enfin nous définirons les groupes quantiques localement compacts et la
construction du biproduit croisé.
4
Dans la troisième partie nous présenterons en détail notre exemple de groupe quantique localement compact.
2
2.1
Préliminaires
Constructions de groupes localement compacts
2.1.1 Produit restreint
Soient {Gn , n ∈ N} une famille de groupes localement compacts et Kn ⊂ Gn un sous-groupe
compact ouvert. Le produit restreint des Gn relativement aux Kn est :


Y0
[
Y
G1 × . . . × G n × 
Kk  .
(Gn , Kn ) =
n
k≥n+1
C’est un sous-groupe localement compact et ouvert du produit des Gn . Si chaque Gn est à base
Q0
(Gn , Kn ) l’est aussi.
dénombrable d’ouverts alors
Soient {(Xn , µn ), n ∈ N} une famille d’espaces mesurés et Yn ⊂ Xn un sous-ensemble mesurable tel que µn (Yn ) = 1. On définit l’espace mesuré :

! 
n
Y
Y
(Xn , µn ) × 
Zn =
(Yn , µn ) .
i=1
k≥n+1
Le dernier produit a un sens car les (Yn , µn ) sont des espaces de probabilité. Soit alors :
X=
[
Zn .
X est un espace mesuré sur lequel on définit une mesure µ par :
µ(S) = lim µn (S ∩ Zn )
n
S ⊂ X mesurable.
Q0
(Xn , Yn , µn ). Si chaque Xn est standard, Yn est compact et µn est régulière, le
On note (X, µ) =
produit des mesures sur Zn est au sens des mesures régulières et la mesure µ sur l’espace standard
X est régulière.
Revenons aux groupes Gn . Soit µn la mesure de Haar à gauche (respectivement à droite) sur
Q0
(Gn , Kn ) telle que :
Gn normalisée à 1 sur Kn alors la mesure µ définie sur
(G, µ) =
Y
0
(Gn , Kn , µn )
est une mesure de Haar à gauche (respectivement à droite).
2.1.2 Produit semi-direct
Soient G et H deux groupes localement compacts. Soit α une action de G sur H i.e. α est un
morphisme de groupes G → Aut(H), g 7→ αg , où Aut(H) désigne les automorphismes de H, tel
que l’application G × H → H, (g, s) 7→ αg (s) soit continue. Le produit semi-direct Gα n H de G
par H sous l’action α est comme espace topologique G×H. La condition de continuité sur l’action
α assure que la loi de groupe : ((g, s)(h, t) = (gh, sαg (t)) fait de Gα n H un groupe topologique.
5
Donc Gα n H est un groupe localement compact et, si G et H sont à base dénombrable d’ouverts,
Gα n H l’est aussi.
Considérons maintenant µG et µH deux mesures de Haar à droite sur G et H respectivement.
Une application directe du théorème de Fubini prouve que la mesure produit µ = µG × µH sur
Gα n H est une mesure de Haar à droite.
2.2
Le corps des nombres p-adiques et ses mesures de Haar
Une bonne référence pour cette section est [22].
2.2.1 Corps valués
Valeurs absolue Soit (K, | − |) un corps valué. On rappelle qu’une valeur absolue est dite ultramétrique si :
|x + y| ≤ max{|x|, |y|}.
Dans ce cas elle vérifie la propriété suivante. Si x et y ont des valeurs absolues distinctes, |x − y| =
max{|x|, |y|}. Autrement dit, tout triangle est isocèle. De plus, deux boules de même rayon sont
soit disjointes soit égales. En effet, soient deux boules ouvertes B1 et B2 de rayon r et de centres
respectifs a1 et a2 . Si, par exemple, x ∈ B1 et a ∈ B1 ∩ B2 , alors |a2 − x|p = |(a2 − a) + (a − x)|p ≤
max {|(a2 − a)|p, |(a − x)|p } < r.
Losque (K, | − |) est valué ultramétrique, la boule de centre 0 et de rayon 1 est un sous-anneau
par la propriété d’ultramétricité.
On rappelle que deux valeurs absolue |−|1 et |−|2 sur un corps K induisent la même topologie
si et seulement si il existe un réel α > 0 tel que | − |2 = | − |α
1.
Module d’un corps localement compact Soit K un corps (commutatif) localement compact et
µ une mesure de Haar additive sur K. Si x ∈ K ∗ , la mesure µx définie sur les boréliens par
µx (A) = µ(xA) est une mesure de Haar additive. Il existe donc un réel m(x) > 0 (indépendant du
choix de µ) tel que µx = m(x)µ. L’associativité de la multiplication dans K implique que :
m(xy) = m(x)m(y)
x, y ∈ K ∗ .
On obtient un morphisme de groupe K ∗ → R∗+ . On prolonge alors m à K en posant m(0) = 0.
L’application m est appelée le module de K. Il est facile de vérifier que m est continue. Pour cela
on choisit un voisinage compact V de 0 dans K et a ∈ K. Comme aV est compact et que µ est
régulière, pour tout > 0 on peut trouver un ouvert U tel que aV ⊂ U et µ(U ) ≤ µ(aV ) + . Par
continuité de la multiplication dans K, il existe un voisinage W de a tel que W V ⊂ U . Donc si
x ∈ W on a :
µ(xV ) ≤ µ(U ) ≤ µ(aV ) + ,
m(x) ≤ m(a) + µ(V
).
Comme m(x) ≤ 0 et m(0) = 0, on a prouvé que m est continue en 0. On a également prouvé que
m est semi-continue supérieurement en tout point a ∈ K et si a 6= 0 en écrivant m(a) = m(a1−1 ) on
prouve que m est semi-continue inférieurement en a. Donc m est continue. De plus, par définition
de m, la mesure ν sur K ∗ définie par :
dν(x) =
6
dµ(x)
m(x)
est une mesure de Haar sur le groupe localement compact K ∗ .
Posons Br = {x ∈ K, m(x) ≤ r} et C = maxx∈B1 m(1 + x) ≥ 1. Il est alors évident que :
(1)
m(a + b) ≤ C max(m(a), m(b))
car si 0 6= m(a) ≥ m(b), alors x = ab ∈ B1 et m(1+ ab ) ≤ C, m(a+b) ≤ Cm(a) = C max(m(a), m(b)).
On dit que m est une valeur absolue généralisée sur K. Plus généralement, une valeur absolue
généralisée sur un corps K est un morphisme de groupe f de K dans R∗+ avec f (0) = 0 et qui
vérifie l’inégalité (1). De plus, le résultat suivant :
Lemme 2.1 Soit K un corps et f une valeur absolue généralisée sur K telle que :
f (x + y) ≤ 2 max(f (x), f (y))
x, y ∈ K.
Alors f est une valeur absolue.
α
implique qu’il existe un réel α > 0 tel que mα (x) = (m(x)) soit une valeur absolue sur K
(prendre α tel que C α ≤ 2). En utilisant alors le fait que m est continue on montre que m induit la
topologie de K. En particulier, tout corps localement compact est canoniquement valué. De plus,
si (K, | − |) est valué localement compact, on déduit du fait que les valeurs absolues mα et | − |
induisent les mêmes topologies qu’il existe un réel β > 0 tel que :
m(x) = |x|β ,
x ∈ K.
2.2.2 Le corps p-adique
On étend la valuation p-adique notée vp , déjà définie sur Z, à Q par : vp ( nd ) = vp (n) − vp (d). On
peut alors définir la valeur absolue p-adique sur Q en posant |x|p = p−vp (x) avec les conventions
p−∞ = 0 et vp (0) = ∞. Il est facile de vérifier que cette valeur absolue est ultramétrique. On
définit Qp , le corps des nombres p-adiques, en complétant Q pour la valeur absolue | − |p i.e.,
Qp = E/I où E est l’anneau des suites de Cauchy pour | − |p et I est l’idéal maximal des suites de
Cauchy qui tendent vers 0. On étend | − |p en une valeur absolue ultramétrique sur Qp par :
|x|p = lim |xn |p
n→∞
où x ∈ Qp et (xn )n est un représentant de x. L’anneau Zp des entiers p-adiques est la boule de
centre 0 et de rayon 1 dans Qp .
La bonne façon de voir Qp (c’est la première construction historique, donnée par Hensel) est
décrite dans la proposition suivante.
Proposition 2.2 Soit x ∈ Qp , il existe une unique suite (an ) ∈ [[0, p − 1]]Z et un entier n0 tels que pour
P
n < n0 , an = 0 et que x =
an pn . Cette série est appelée développement de Hensel de x.
n≥n0
Démonstration. Commençons par l’unicité. Si a =
P
n≥n0
an pn et b =
P
n≥n1
bn pn sont deux telles
séries différentes, notons n2 le plus petit relatif tel que an2 6= bn2 . Alors, 0 = |a − b|p = |(an2 −
P
bn2 )pn2 +
(an − bn )pn |p = p−n2 , d’après le principe des triangles isocèles. En effet, |(an2 −
n≥n2 +1
P
bn2 )pn2 |p = p−n2 et |
(an − bn )pn |p ≤ p−(n2 +1) , car | · |p est ultramétrique. C’est absurde.
n≥n2 +1
7
On se ramène au cas où |x|p = 1, en multipliant x par une puissance convenable de p ; en effet,
l’ensemble des valeurs absolues p-adiques des rationnels est {pn , n ∈ Z} ∪ {0}, qui est un fermé
pour (R, | · |) et est donc égal à l’ensemble des valeurs absolues de Qp . Ainsi, si x 6= 0, |x|p = pm ,
pour m bien choisi, et on multiplie x par pm . On montre alors que l’on peut approcher x par une
suite d’entiers positifs (ni )i≥1 tels que |x − ni |p ≤ p−i et ni ≤ pi − 1.
Démontrons d’abord le résultat pour x = ab ∈ Q. Si l’on choisit a et b premiers entre eux,
comme |x|p = 1, p - b et donc pi et b sont premiers entre eux, et on choisit une relation de Bezout
kpi +lb = 1 (on choisit l de telle sorte que al soit un entier positif). Dès lors, | ab −al|p = | ab (1−lb)|p =
P
P
|kpi |p ≤ p−i . On peut alors écrire la décomposition de al en base p : al =
cj p j +
cj pj . On a
j<i
j≥i
)
(
P
P
cj pj |p = p−i .
bien d =
cj pj ≤ pi − 1 et |x − d|p = |x − al + (al − d)|p ≤ max |x − al|p , |
j<i
j≥i
Maintenant, si x ∈ Qp , on choisit y ∈ Q tel que |x−y|p ≤ p−i et ni ≤ pi −1 tel que |y−ni |p ≤ p−i .
On obtient que |x − ni |p = |(x − y) + (y − ni )|p ≤ p−i .
Pour finir, il suffit de voir, si x ∈ Qp et (ni )i≥1 la suite d’entiers associés, alors ni et ni+1 ont
leur i premiers termes de la décomposition en base p égaux. Cela est vrai car |n i − ni+1 |p ≤ p−i et
donc, dans la décomposition en base p, les termes en pj , où j < i se simplifient. Par conséquent,
P
les ni sont les sommes partielles d’une série de la forme
an pn , avec an ≤ p − 1, qui converge
vers x.
On montre maintenant la proposition suivante :
Proposition 2.3 Zp est compact ouvert et Qp et localement compact.
Démonstration. Il est clair que Zp est ouvert car si x ∈ Zp alors la boule ouverte de centre x
et de rayon 1 contient 0 donc est égale à la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 qui est incluse
dans Zp . De plus, on prouve la compacité de Zp séquentiellement en remarquant que
)
(∞
X
n
N
an p , (an ) ∈ [[0, p − 1]]
:
Zp =
n=0
se donner une suite (xi ) d’entiers p-adiques, c’est se donner une famille (an (i)) ∈ [[0, p − 1]]N ,
indexée par i ∈ N. Le processus diagonal permet alors de trouver φ telle que pour tous j ≥ i
et n ≤ i, an (φ(i)) = an (φ(j)). La suite (xφ(i) ) est convergente. Pour voir que Qp est localement
compact il suffit de remarquer que si x ∈ Qp alors, x + Zp = {y ∈ Qp / |x − y|p ≤ 1} est un
voisinage compact de x.
+
Soit ν la mesure de Haar additive sur Qp normalisée à 1 sur Zp . En utilisant le développement
de Hensel on voit que :
p−1
G
Zp =
a + pZp
a=0
ce qui implique ν + (pZp ) = p−1 . Considérons maintenant m le module de Qp . Par la section précédente, il existe un réel α > 0 tel que :
m(x) = |x|α
p
x ∈ Qp
mais comme m(p) = p−1 l’égalité précédente implique que α = 1. Donc le module de Qp est la
valeur absolue p-adique et , comme
!
p−1
G
a + pZp = p−1 (p − 1),
ν + (Z∗p ) = ν +
a=1
8
on déduit que l’unique mesure de Haar sur Q∗p normalisée à 1 sur Z∗p est :
+
dν × (x) = (1 − p−1 )−1 |x|−1
p dν (x).
2.3
Produit tensoriel infini
2.3.1 Produit tensoriel infini d’espaces de Hilbert
Soient Hn une suite d’espaces de Hilbert et ξn ∈ Hn , kξn k = 1. On note Hn = H1 ⊗ . . . ⊗ Hn
où le produit tensoriel est celui d’espaces de Hilbert. On définit les isométries suivantes :
πn : Hn −→ Hn+1 , πn (η1 ⊗ . . . ⊗ ηn ) = η1 ⊗ . . . ⊗ ηn ⊗ ξn+1
πk,n = πn−1 πn−2 . . . πk+1 πk : Hk −→ Hn
et,
pour k < n.
Comme pour k ≤ l ≤ m on a πl,m πk,l = πk,m et on obtient un système inductif d’espace de Hilbert.
Le produit tensoriel infini des Hn relativement aux ξn est la limite inductive dans la catégorie des
F
espaces de Hilbert i.e., si on pose K = Hn /∼ où, si xn ∈ Hn , on pose :
xn ∼ xm ⇔ ∃l, l ≥ n, l ≥ m, πn,l (xn ) = πl,m (xm ).
alors K est un espace vectoriel pour les lois [λxn + xm ] = [λπn,l (xn ) + πl,m (xm )] où l ≥ n,
l ≥ m et [x] est la classe de x. De plus, < [xn ], [xm ] >=< πn,l (xn ), πl,m (xm ) >Hl (où l ≥ n,
l ≥ m) est une forme sesquilinéaire non dégénérée positive sur K. Le produit tensoriel infini
N
des Hn relativement aux ξn , noté
(Hn , ξn ) est la complétion de K pour < −, − >. On note
N
πn,∞ l’isométrie canonique de Hn dans
(Hn , ξn ) et η1 ⊗ . . . ηn ⊗ ξn+1 ⊗ ξn+2 ⊗ . . . l’élément
πn,∞ (η1 ⊗ . . . ⊗ ηn ). Pour terminer, on remarque que si Un ∈ B(Hn ), Un (ξn ) = ξn , on peut définir
N
un opérateur sur
(Hn , ξn ), de domaine dense par :
U (η1 ⊗ ηn ⊗ ξn ) = U1 η1 ⊗ Un ηn ⊗ ξn ,
où ξn =
N
k≥n ξk ,
qui est borné si le produit
Q
kUn k est convergent. On le note
2.3.2 Produit tensoriel infini de C ∗ -algèbres unifères
N
Un .
Soit An une suite de C ∗ -algèbres unifères on pose :
An = A 1 ⊗ . . . ⊗ A n
où ⊗ est le produit tensoriel minimal de C ∗ -algèbres. On définit :
πn : An → An+1
πn (x) = x ⊗ 1 et,
πk,n = πn−1 πn−2 . . . πk+1 πk : Ak −→ An
pour k < n.
On obtient un système inductif (propre) de C ∗ -algèbres. Le produit tensoriel infini des An est la
F
limite inductive des An dans la catégorie des C ∗ -algèbres, i.e. soit xi ∈ Ai on muni n An de la
relation d’équivalence :
xn ∼ xm ⇔ ∃ l ∈ N, l ≥ n, l ≥ m, πn,l (xn ) = πm,l (xm ).
9
F
On note X = n An /∼ et [x] la classe de x. On introduit une structure d’algèbre involutive sur X,
soient λ ∈ C, a ∈ An et b ∈ Am , on choisit l ≥ n, m et on pose :


λ[a] = [λa],




[a] + [b] = [π
n,l (a) + πm,l (b)],


[a][b] = [πn,l (a)πm,l (b)],



 ∗
[a] = [a∗ ].
Comme chaque πn est un *-morphisme unital injectif la norme d’une classe d’équivalence est
bien définie. On en déduit donc une C ∗ -norme sur X. Le produit tensoriel infini des An noté
N
An est la complétion de X pour cette C ∗ -norme. Soit πn,∞ l’injection canonique de An dans
N
Ak , on note x ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ . . . = πn,∞ (x).
2.3.3 Produit tensoriel infini d’algèbres de von Neumann
N
Si Mn ⊆ B(Hn ) est une algèbre de von Neumann on note
(Mn , Hn , ξn ) l’algèbre de von
N
Neumann agissant dans
(Hn , ξn ) engendrée par les opérateurs de la forme x1 ⊗ . . . ⊗ xn ⊗ 1 ⊗
1 ⊗ . . . où xi ∈ Mi et n ∈ N.
Soit (Mn ) une suite d’algèbres de von Neumann et pour tout n, ωn un état normal sur Mn . On
N
définit l’état produit ω =
ωn sur le produit tensoriel infini des C ∗ -algèbres Mn par :
ω(x1 ⊗ . . . ⊗ xn ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ . . .) = ω1 (x1 )ω2 (x2 ) ⊗ . . . ⊗ ωn (xn ).
Puis on construit la représentation G.N.S. de ω, (Hω , πω , ξω ) et on définit le produit tensoriel infini
des Mn relativement aux ωn par :
M=
On a alors :
O
00
O
(Mn , ωn ) = πω
Mn
πω (M ) =
O
dans Hω .
(πn (Mn ), Hn , ξn )
où (Hn , πn , ξn ) est la construction G.N.S. de ωn . Démontrons maintenant le résultat suivant :
Théorème 2.4 Soit Mn ⊂ B(Hn ) une suite d’algèbres de von Neumann alors :
O
O 0
0
(Mn , Hn , ξn ) =
M n , Hn , ξ n .
Démonstration. On commence par démontrer le lemme suivant :
Lemme 2.5 Soit H =
N
(Hn , ξn ). On définit une application n : B(H) → B(Hn ) par la formule :
< n η, ζ >=< x η ⊗ ξn , ζ ⊗ ξn > ,
η, ζ ∈ Hn .
Identifions n (x) avec n (x) ⊗ 1 ∈ B(Hn ) ⊗ 1 ⊂ B(H). Alors n est une espérance conditionnelle de B(H)
sur B(Hn ) ⊗ 1 telle que pour tout ω ∈ B(H)∗ :
lim kω ◦ n − ωk = 0.
n→∞
10
Démonstration.
Pour tout η, ζ ∈ H, et > 0, il existe n ∈ N et ηn , ζn ∈ H n tels que :
kη − ηn ⊗ ξ n k < ,
kζ − ζn ⊗ ξ n k < .
En posant η n = ηn ⊗ ξ n et ζ n = ζn ⊗ ξ n on obtient :
ωηn ,ζ n = ωηn ,ζ n ◦ n .
On en déduit :
kωη,ζ ◦ n − ωη,ζ k ≤ 2kωη,ζ − ωηn ,ζ n k
≤ 2 kη − η n kkζk + kη n kkζ − ζ n k
≤ 2 (kζk + (kηk + )) .
Donc limn→0 kωη,ζ −ωη,ζ ◦n k = 0. On déduit alors le lemme du fait que les combinaisons linéaires
des ωη,ζ sont dense dans B(H)∗ et kn k = 1.
Démontrons maintenant le théorème. Posons M n = M1 ⊗. . .⊗Mn , où ⊗ est le produit tensoriel
spatial d’algèbres de von Neumann. On a :


O
O
M=
(Mn , Hn , ξn ) = M n ⊗ 
(Mn , Hn , ξn ) ,
k≥n+1
ce qui implique (c.f. [24]) :
0
O
M =

0
0
(Mn , Hn , ξn ) = M n ⊗ 
O
k≥n+1
0
(Mn , Hn , ξn ) .
Par le lemme précédent, chaque x ∈ B(H) est la limite ultrafaible de (n (x)). Donc il suffit de
0
montrer que n (M ) ⊂ M n ⊗ 1. Pour tout a ∈ M n et x ∈ M on a :
0
0
an (x) = n (ax) = n (xa) = n (x)a,
0
donc n (x) ∈ M n ⊗ 1.
On a alors le corollaire suivant :
Corollaire 2.6 Si chaque Mn est un facteur alors
Démonstration.
Par le théorème précédent on a :
00
0
M ∪M
=
=
∞ [
N
(Mn , Hn , ξn ) est un facteur.
0
(M n ⊗ 1) ∪ (M n ⊗ 1)
n=0
O
00
!00
(B(Hn ), Hn , ξn ) .
=
∞
[
B(H n ) ⊗ 1
n=0
!00
Donc, en utilisant encore le théorème,
0
M ∩M =
O
(B(Hn ), Hn , ξn )
11
0
=
O
(CHn , Hn , ξn ) = CH .
2.4
Facteurs d’Araki-Woods
La référence pour cette section est [1]. Les facteurs étudiés par Araki et Woods dans [1] sont
N
des facteurs de la forme M =
(Mn , ωn ) où Mn est un facteur de type Inν avec nν ∈ N ∪ {∞}
et ωn est un état normal de la forme tr(ρn .) avec ρn un opérateur positif à trace et tr la trace Mn .
Soient {λni , i = 1, . . . , nν } les valeurs propres de ρn , on a le résultat suivant :
Lemme 2.7
1. M est de type I si et seulement si :
X
|1 − λn1 | < +∞.
n
2. M est de type II1 si et seulement si nν < ∞ pour tout n et :
X 1 2
1
(nν )− 2 − (λni ) 2 < +∞.
n,i
3. S’il existe δ > 0 tel que pour tout n λn1 ≥ δ alors M est de type III si et seulement si :
(
2 )
X
λn 1
inf − 1 , C = ∞
λn i
n,i
pour une constante C > 0.
Araki et Woods définissent également un invariant algébrique pour ce type de facteurs. Ils le
notent r∞ (M ) et le définissent de la façon suivante. Soit µn la mesure définie sur N par :

λ
si 1 ≤ i ≤ nν ,
ni
µn (i) =
0
sinon.
Pour k ∈ N et I ⊂ N, I de cardinal fini, on note Xk l’espace discret N muni de la mesure µk
Q
Q
et X(I) = k∈I Xk muni de la mesure produit µI = k∈I µk . r∞ (M ) est alors défini comme
l’ensemble des λ ∈ [0, ∞] tels qu’il existe une suite (Iα ) de sous-ensembles finis de N deux à deux
disjoints et deux suites (Kα1 ), (Kα2 ) de sous-ensembles de X(Iα ) munies de bijections Φα : Kα1 −→
Kα2 telles que :
X
µIα (Φα (x)) 1
= 0.
µIα (Kα ) = ∞ et lim max1 λ −
α→∞ x∈Kα
µIα (x) α
2.5
Théorie des poids
Une bonne référence pour cette section est [23]. Si M est une algèbre de von Neumann on note
M l’ensemble de ses éléments positifs. Un poids sur M est l’analogue non-commutatif d’une
mesure positive non nécessairement finie :
+
Définition 2.8 Un poids sur une algèbre de von Neumann M est une application :
Ψ : M + −→ R+ ∪ {+∞}
telle que Ψ(x + y) = Ψ(x) + Ψ(y) et Ψ(λx) = λΨ(x) pour x, y ∈ M + , λ ≥ 0 et avec la convention
0.(+∞) = 0.
12
Si Ψ est un poids sur M on définit :
DΨ = {x ∈ M + , Ψ(x) < +∞}
NΨ = {x ∈ M, Ψ(x∗ x) < +∞}
MΨ = NΨ∗ NΨ .
Il n’est pas très difficile de montrer que NΨ est un idéal à gauche et que MΨ est une sous-algèbre
involutive de M vérifiant :
MΨ ∩ M + = D Ψ
MΨ = Vect < DΨ >
où Vect < − > désigne l’espace vectoriel engendré. La dernière égalité permet de prolonger
uniquement Ψ, par linéarité, sur MΨ . On note encore Ψ ce prolongement. Le poids Ψ est dit semifini si MΨ est faiblement dense dans M , fidèle si Ψ(x) est non nul pour tout élément positif x non
nul, et normal si Ψ(sup xi ) = sup Ψ(xi ) pour toute suite généralisée croissante bornée (xi ) dans
M + . On peut montrer que sur toute algèbre de von Neumann il existe des poids normaux, fidèles
et semi-finis.
Dans la suite on suppose que Ψ est fidèle, normal et semi-fini (en abrégé f.n.s.). On peut
construire une représentation de M de la façon suivante. On considère la forme sésquilinéaire
non-dégénérée positive sur NΨ définie par < x, y >= Ψ(y ∗ x), x, y ∈ NΨ . On en déduit un espace de Hilbert HΨ et une application linéaire ηΨ de NΨ dans HΨ d’image dense. Par l’inégalité
(ax)∗ ax ≤ kak2 x∗ x on voit que pour tout x ∈ M on a un opérateur πΨ (x) ∈ B(HΨ ) déterminé
par πΨ (x)ηΨ (y) = ηΨ (xy) pour y ∈ NΨ . Le fait que l’application πΨ donne une *-représentation
normale, fidèle et non dégenéré de M est une vérification immédiate. Cette représentation est
appelée la représentation G.N.S. de Ψ.
On considère maintenant l’opérateur antilinéaire S0 sur HΨ défini par :
D(S0 ) = ηΨ (NΨ ∩ NΨ∗ )
S0 ηΨ (x) = ηΨ (x∗ )
où D(S0 ) désigne le domaine de S0 . On montre que c’est un opérateur fermable et on note S sa
1
fermeture. Soit S = JΨ ∆Ψ2 la décomposition polaire de S alors ∆Ψ = S ∗ S est positif autoadjoint
et injectif, on l’appelle l’opérateur modulaire de Ψ et en utilisant le fait que S = S −1 il n’est pas
−1
∗
2
très difficile de montrer que JΨ = JΨ
= JΨ
et JΨ
= 1 donc JΨ est une conjugaison, appelée la
conjugaison canonique associée à Ψ. De plus, on a le théorème fondamental de M. Tomita :
Théorème 2.9 On a les identités suivantes :
−it
∆it
Ψ πΨ (M )∆Ψ = πΨ (M )
0
JΨ πΨ (M )JΨ = πΨ (M ) .
t ∈ R,
Le théorème de Tomita fournit alors un groupe d’automorphismes de M :
−1
−it
σtΨ (x) = πΨ
(∆it
Ψ πΨ (x)∆Ψ ),
x ∈ M, t ∈ R
appelé le groupe d’automorphismes modulaire de Ψ.
On peut également construire le produit tensoriel de poids. En fait, on a le résultat suivant :
Proposition 2.10 Soit M1 et M2 deux algèbres de von Neumann. Soit Ψi un poids sur Mi alors il existe
un unique poid Ψ sur M1 ⊗ M2 tel que :
1. xi ∈ MΨi implique x1 ⊗ x2 ∈ MΨ et Ψ(x1 ⊗ x2 ) = Ψ1 (x1 )Ψ2 (x2 )
2. σtΨ = σtΨ1 ⊗ σtΨ2 ,
pour tout t ∈ R.
13
2.6
Invariants S et T , classification des facteurs de type III
La référence pour cette section est [7].
2.6.1 Invariant T
Soit M une algèbre de von Neumann. On dispose de l’ensemble des poids f.n.s. sur M et de
leurs groupes d’automorphismes modulaires. On peut alors se demander quelle est la dépendance en Ψ du groupe d’automorphismes σΨ pour un poids Ψ donné. Le théorème suivant (dû
à A. Connes), qui est une version non-commutative du théorème de Radon Nykodym, répond à
cette question. Il dit que modulo le groupe des automorphismes intérieurs, σΨ ne dépend pas de
Ψ.
Théorème 2.11 Soient ϕ et Ψ deux poids f.n.s. sur M . Alors il existe une application fortement continue
t 7→ ut de R dans les unitaires de M telle que :
1. σtΨ (x) = ut σtϕ (x)u∗t
2. ut+s = ut σtϕ (us )
x ∈ M, t ∈ R
s, t ∈ R.
Soient Aut(M ) le groupe des automorphismes de M , Int(M ) le sous-groupe distingué des
automorphismes intérieurs, Out(M ) le quotient et l’application canonique de Aut(M ) dans
Out(M ). Le théorème précédent implique que si Ψ est un poids f.n.s. sur M alors le morphisme
δ : t 7→ δt = (σtΨ ) de R dans Out(M ) ne dépend pas de Ψ. On l’appelle l’homomorphisme modulaire de M . On définit T (M ) comme le noyau de δ. C’est un sous groupe de R et un invariant
algébrique de M . Dans le cas des produits tensoriel infini de facteurs Mn , on a un théorème qui
relie T (M ) aux T (Mn ) :
N
Théorème 2.12 Soit T0 6= 0 et M =
(Mn , ωn ) un produit tensoriel infini de facteurs selon des états
T
normaux fidèles ωn . On a T0 ∈ T (M ) si et seulement si T0 ∈ T (Mn ) et si, un désignant un unitaire de
P
Mn tel que σTω0n (x) = un xu∗n pour tout x ∈ Mn on a ∞
n=1 |1 − ωn (un )| < ∞.
2.6.2 Invariant S
Pour définir l’invariant S on considère également tous les poids f.n.s. sur M mais cette fois-ci
on regarde le spectre des opérateurs modulaires. On pose :
\
S(M ) =
Sp∆Ψ , Ψ poids f.n.s. sur M.
Alors S(M ) est un invariant algébrique de M et on a le théorème suivant :
Théorème 2.13 Soit M un facteur. M est de type III si et seulement si 0 ∈ S(M ) et dans ce cas, S(M )
est soit :
1. {0, 1} et on dit que M est de type III0
2. {0} ∪ {λn , n ∈ Z} avec 0 < λ < 1 et on dit que M est de type III λ
3. [0, +∞[ et on dit que M est de type III1
De plus, Connes a montré que dans le cas des facteurs d’Araki-Woods on a r∞ (M ) = S(M ).
Il a également montré la relation suivante entre les invariants T et S :
Théorème 2.14 Soit M un facteur. Si S(M ) 6= {0, 1} alors T (M ) est l’orthogonal de S(M ) ∩ R ∗+ pour
la dualité (t, λ) 7→ λit .
14
2.7
Groupes quantiques localement compacts
2.7.1 Définitions
Les définitions proposées ici sont issues des travaux de J. Kustermans et S. Vaes dans [17] et
[18]. Durant toute la suite de ce mémoire, les algèbres de von Neumann seront supposées être
à prédual séparable et les groupes localement compacts à base dénombrable d’ouverts. Soient
G un groupe localement compact et µ une mesure de Haar à gauche, ν une mesure de Haar à
droite. Considérons l’algèbre de von Neumann M = L∞ (G). La multiplication de G fournit un
*-morphisme unital normal :
∆ : M → M ⊗ M : (∆f )(g, h) = f (gh)
où ⊗ est le produit tensoriel spatial d’algèbres de von Neumann, et où l’on a utilisé l’identification
canonique M ⊗ M = L∞ (G × G). L’associativité de la multiplication dans G implique l’identité
suivante :
(∆ ⊗ ι)∆ = (ι ⊗ ∆)∆
où ι est l’application identité. Les mesures de Haar à gauche et à droite µ et ν de G fournissent
des poids f.n.s. ϕ et ψ sur M :
Z
+
f (x)dµ(x)
ϕ : M → [0, +∞] : ϕ(f ) =
G
ψ : M + → [0, +∞] : ψ(f ) =
Z
f (x)dν(x)
G
où M + est l’ensemble des éléments positifs de M . L’invariance à gauche de µ et l’invariance à
droite de ν impliquent les identités suivantes :
+
ϕ ((ω ⊗ ι)∆(a)) = ω(1)ϕ(a) a ∈ M+
ϕ , ω ∈ M∗
+
ψ ((ι ⊗ ω)∆(a)) = ω(1)ψ(a) a ∈ M+
ψ , ω ∈ M∗
+
+
où, si ϕ est un poids, on note M+
ϕ = {x ∈ M , ϕ(x) < +∞}, M∗ est le prédual de M et M∗
est l’ensemble des formes positives ultrafaiblement continues sur M . Par analogie avec ce qui
précède on définit :
Définition 2.15 Soit M une algèbre de von Neumann. Une comultiplication sur M est un *-morphisme
unital normal de M dans M ⊗ M . Une comultiplication ∆ sur M est dite coassociative si elle satisfait
l’équation suivante :
(∆ ⊗ ι)∆ = (ι ⊗ ∆)∆.
Un poids f.n.s. ϕ est dit invariant à gauche pour ∆ s’il satisfait :
ϕ ((ω ⊗ ι)∆(a)) = ω(1)ϕ(a)
+
a ∈ M+
ϕ , ω ∈ M∗ .
Un poids f.n.s. ψ est dit invariant à droite pour ∆ s’il satisfait :
+
ψ ((ι ⊗ ω)∆(a)) = ω(1)ψ(a) a ∈ M+
ψ , ω ∈ M∗ .
On définit alors les groupes quantiques localement compacts :
15
Définition 2.16 Un groupe quantique localement compact est une paire (M, ∆) où ∆ est une comultiplication coassociative et M est une algèbre de von Neumann munie d’un poids f.n.s ϕ invariant à gauche
pour ∆ et d’un poids f.n.s. ψ invariant à droite pour ∆.
Le premier exemple évident est L∞ (G) avec la comultiplication et les poids invariant définis comme précédemment. On note ∆G la comultiplication et ϕG le poids invariant à gauche.
Cet exemple est commutatif et on peut montrer que tout groupe quantique localement compact
commutatif est obtenu de cette façon.
On peut donner un autre exemple évident de groupe quantique localement compact provenant d’un groupe localement compact G. Prenont M = L(G) l’algèbre de von Neumann de G.
On note g 7→ λg la représentation régulière gauche de G sur L2 (G). On définit sur M une comulR
00
tiplication par ∆(x) = x ⊗ x. En remarquant que M = G f (g)λg dg, f ∈ Cc (G) , où Cc (G) est
l’ensemble des fonctions continues à support compact sur G, on peut construire un poids f.n.s. ϕ
sur M tel que :
Z
ϕ
f (g)λg dg
= f (e).
G
Soit f ∈ Cc (G) et ω ∈ M∗ alors on a :
Z
Z
ϕ (ω ⊗ ι)∆
f (g)λg dg
=ϕ
f (g)ω(λg )λg dg
G
G
Z
f (g)λg dg ω(1).
= f (e)ω(λe ) = ϕ
G
Donc ϕ est invariant à gauche. Comme ∆ est cocommutative, i.e. elle vérifie σ∆ = ∆ (où σ(x ⊗
y) = y ⊗ x, x, y ∈ M ), ϕ est également invariant à droite et (M, ∆) est un groupe quantique localement compact. On peut montrer que tout groupe quantique localement compact cocommutatif
est de cette forme.
Unitaires multiplicatifs et groupes quantiques localement compacts Les unitaires multiplicatifs sont étudiés dans [2]. Introduisons d’abord quelques notations. Soit H un espace de Hilbert.
Pour ξ ∈ H on définit :
0
θξ , θξ ∈ B(H, H ⊗ H)
par :
θξ (η) = ξ ⊗ η
0
et θξ (η) = η ⊗ ξ.
On définit également θi,ξ ∈ B(H ⊗ H, H ⊗ H ⊗ H) (i = 1, 2 ou 3) en posant θ1,ξ (η ⊗ ζ) = ξ ⊗ η ⊗ ζ,
θ2,ξ (η ⊗ ζ) = η ⊗ ξ ⊗ ζ et θ3,ξ (η ⊗ ζ) = η ⊗ ζ ⊗ ξ.
Pour T ∈ B(H ⊗H) on définit T12 , T13 , T23 ∈ B(H ⊗H ⊗H) par T12 θ2,ξ = θ2,ξ T , T13 θ2,ξ = θ2,ξ T
et T23 θ1,ξ = θ1,ξ T .
Pour T ∈ B(H ⊗ H) et ω ∈ B(H)∗ on définit (ι ⊗ ω)(T ) et (ω ⊗ ι)(T ) comme les uniques
éléments de B(H) vérifiant les formules :
< ξ, (ι ⊗ ω)(T )η >= ω(θξ∗ T θη >,
0
0
< ξ, (ω ⊗ ι)(T )η >= ω(θξ∗ T θη > .
On définit alors les unitaires multiplicatifs.
Définition 2.17 Un unitaire W ∈ B(H ⊗ H) est dit multiplicatif s’il satisfait la relation pentagonale :
W12 W13 W23 = W23 W12 .
16
On associe à tout unitaire multiplicatif W l’algèbre naturelle suivante :
C(W ) = {(ι ⊗ ω)(ΣW ), ω ∈ B(H)∗ }
où Σ ∈ B(H ⊗ H) est la volte, i.e. Σ(ξ ⊗ η) = η ⊗ ξ. On a [C(W )C(W )] = [C(W )], où [−] désigne l’adhérence normique, mais [C(W )] n’est pas une C ∗ -algèbre en général. On note K(H) les
opérateurs compact sur H. On rappelle maintenant les notions de regularité et semi-régularité :
Définition 2.18 Un unitaire multiplicatif W sur H ⊗ H est dit régulier si [C(W )] = K(H) et semirégulier si K(H) ⊂ [C(W )].
Soit G un groupe localement compact. Il est facile de vérifier que l’unitaire WG défini par :
WG : L2 (G ⊗ G) → L2 (G ⊗ G),
(WG ξ)(x, y) = ξ(xy, y)
est multiplicatif. En réécrivant cette formule en termes de ∆G et ΛG (où ΛG est l’application G.N.S.
canonique de ϕG i.e. l’inclusion de L∞ (G) ∩ L2 (G) dans L2 (G)), on obtient :
WG∗ (ΛG (a) ⊗ ΛG (b)) = (ΛG ⊗ ΛG )(ΛG (b)(a ⊗ 1)) pour tout a, b ∈ NϕG
où ΛG ⊗ ΛG est l’application G.N.S canonique pour le poids ϕG ⊗ ϕG . A l’aide de la dernière
formule on peut, pour un groupe quantique localement compact (M, ∆) muni d’un poids f.n.s.
ϕ invariant à gauche, définir un unitaire multiplicatif de la façon suivante. Représentons M sur
l’espace G.N.S de ϕ tel que (H, ι, Λ) soit une construction G.N.S pour ϕ. Alors on peut prouver
que la formule suivante :
W ∗ (Λ(a) ⊗ Λ(b)) = (Λ ⊗ Λ)(Λ(b)(a ⊗ 1)) pour tout a, b ∈ Nϕ
définit un unitaire dans B(H ⊗ H) qui est multiplicatif. Cet unitaire est appelé la représentation
régulière gauche de (M, ∆). Il permet de retrouver la comultiplication et l’algèbre de von Neumann
du groupe quantique. Plus précisément, on a les formules :
∆(x) = W ∗ (1 ⊗ x)W
pour tout x ∈ M
M = {(ι ⊗ ω)(W ), ω ∈ B(H)∗ }
∗−ultraforte
.
Si (M, ∆) est un groupe quantique, il est possible de construire un nouveau groupe quantique
ˆ son dual, et dans le cas des groupes, L(G) est le dual de L∞ (G). On peut montrer que
(M̂ , ∆),
ˆ ˆ
ˆ est isomorphe à (M, ∆). Ce dernier résultat généralise le théorème de Pontryagin.
(M̂, ∆)
2.7.2 Biproduit croisé
Pour obtenir des exemples de groupes quantiques qui ne proviennent pas de groupes, c’est à
dire non commutatifs et non cocommutatifs, il existe une méthode très efficace, la construction
du biproduit croisé. Dans cette section on définit, dans un cas simple qui nous servira par la suite,
le biproduit croisé de deux groupes localement compacts.
Soient G et H deux groupes localement compacts tels qu’il existe deux applications définies
presque partout et mesurables :
G × H → H : (g, s) 7→ αg (s)
G × H → G : (g, s) 7→ βs (g)
17
vérifiant les identités suivantes :
αhg (s) = αh (αg (s)) et βs (hg) = βαg (s) (h)βs (g), pour presque tout (g, h, s),
(2)
βts (g) = βt (βs (g)) et αg (ts) = αβs (g) (t)αg (s), pour presque tout (s, t, g).
(3)
Dans ce cas on appelle (G, H) un couple assorti. On peut alors définir deux *-morphismes
unitaux normaux :
α : L∞ (H) → L∞ (G × H) : (αf )(g, s) = f (αg (s)),
β : L∞ (G) → L∞ (H × G) : (βf )(s, g) = f (βs (g)),
vérifiant :
(ι ⊗ α)α = (∆G ⊗ ι)α
et
(ι ⊗ β)β = (∆H ⊗ ι)β
où ∆G est la comultiplication sur L∞ (G). Alors α est une action du groupe quantique (L∞ (G), ∆G )
sur l’algèbre de von Neumann L∞ (H) et β est une action du groupe quantique (L∞ (H), ∆H ) sur
l’algèbre de von Neumann L∞ (G). On peut alors définir les produits croisés suivants :
G n L∞ (H) = (α(L∞ (H)) ∪ L(G) ⊗ 1)
∞
∞
00
dans B(L2 (G × H))
00
2
H n L (G) = (β(L (G)) ∪ L(H) ⊗ 1)
et,
dans B(L (H × G)).
De plus, en introduisant l’unitaire W sur L2 (G × H × G × H) :
(W ξ)(g, s, h, t) = ξ(βαg (s)−1 t (h)g, s, h, αg (s)−1 t),
on peut prouver que la formule :
∆(x) = W ∗ (1L2 (G×H) ⊗ x)W
pour x ∈ G n L∞ (H)
définit une comultiplication coassociative sur G n L∞ (H). Le poids invariant à gauche est obtenu
comme le poids dual du poids invariant à gauche sur L∞ (H). On peut également construire
un poids invariant à droite. Ces structures font de G n L∞ (H) un groupe quantique localement
compact, que l’on appelle le biproduit croisé de G par H, et on construit de la même façon une
structure de groupe quantique localement compact sur H n L∞ (G). On peut alors montrer que
H n L∞ (G) est le dual de G n L∞ (H).
Si (G1 , G2 ) est un couple assorti on peut toujours construire un groupe G tel que l’on soit dans
le cas suivant (voir [4, 3]).
Soient G un groupe localement compact et G1 , G2 deux sous-groupes fermés de G tels que
G1 ∩ G2 = {e} et µ(G − G1 G2 ) = 0 où µ est une mesure de Haar sur G à gauche ou à droite (elles
ont les mêmes ensembles de mesure nulle). On note Ω = G1 G2 et on considère les applications :
θ : G1 × G2 −→ G : (g, s) 7−→ gs
et,
ρ : G1 × G2 −→ G : (g, s) 7−→ sg.
On montre que ce sont des isomorphismes boréliens (voir [4]). Donc O = θ −1 (Ω ∩ Ω−1 ) et
0
O = ρ−1 (Ω ∩ Ω−1 ) sont des boréliens dont le complémentaire est de mesure nulle et ρ−1 θ est
0
un isomorphisme borélien de O sur O . Pour (g, s) ∈ O on peut donc définir βs (g) ∈ G1 et
αg (s) ∈ G2 tels que :
ρ−1 (θ(g, s)) = (βs (g), αg (s)) .
18
On a donc, pour tout (g, s) ∈ O, gs = αg (s)βs (g). De plus, on montre que (c.f. [4]) α et β sont mesurables, définies presque partout et vérifient les relations (2) et (3). Donc (G1 , G2 ) est un couple
assorti et il est facile de voir que l’action α est isomorphe à l’action canonique de G1 sur L∞ (G/G1 )
et on a donc G1 n L∞ (G2 ) ' G1 n L∞ (G/G1 ) (on a le même résultat pour l’action β).
On renvoie à [4] pour la démonstration du résultat suivant :
Théorème 2.19 Le biproduit croisé de G1 par G2 est régulier si et seulement si l’application θ est un
homéomorphisme de G1 × G2 sur G, il est semi-régulier si et seulement si θ est un homéomorphisme de
G1 × G2 sur un ouvert de G dont le complémentaire est de mesure nulle.
3
Un exemple de groupe quantique de type III
3.1
Un premier exemple de type I∞
Dans cette section on présente un exemple provenant de [27].
Considérons G, le produit semi-direct de K ∗ par K (le groupe ax + b) où K est un corps
localement compact (commutatif), à base dénombrable d’ouverts et non-discret (par exemple R,
C, ou Qp ). L’hypothèse sur K implique que si µ est une mesure de Haar additive sur K alors elle
∗
est sans atome. Soit dν(x) = dµ(x)
m(x) une mesure de Haar sur K qui est également sans atome.
On considère sur G la mesure de Haar à droite produit des mesure ν et µ. On définit deux sousgroupes fermés de G :
G1 = {(g, 0), g ∈ K ∗ } G2 = {(s, s − 1), s ∈ K ∗ }.
On a :
G1 G2 = {(gs, gs − g), g, s ∈ K ∗ } = {(a, b) ∈ G, a−1 b 6= 1}
En particulier, G1 G2 est ouvert et :
G − G1 G2 = {(a, b) ∈ G, a−1 b = 1}
est de mesure nulle dans G. Identifions G1 et G2 avec K ∗ de facon évidente. Sous cette identification, un calcul direct donne, pour g, s ∈ K ∗ et g(s − 1) + 1 6= 0 :
αg (s) = g(s − 1) + 1,
βs (g) =
gs
.
g(s − 1) + 1
(4)
Notons (M, ∆) le groupe quantique localement compact obtenu par la construction du biproduit
croisé de G1 par G2 . Le théorème 2.19 dit que (M, ∆) est semi-régulier mais n’est pas régulier de
plus on a le résultat suivant :
Proposition 3.1 G1 n L∞ (G2 ) est un facteur de type I∞ de plus :
G1 n L∞ (G2 ) ' G2 n L∞ (G1 )
.
Démonstration.
19
L’isomorphisme s’obtient de la façon suivante. Soit l’isomorphisme u : G1 → G2 , u(g) = g −1 ,
on a alors :
u(βs (g)) = αu−1 (s) (u(g))
pour tout s, g ∈ K ∗ . Donc en posant :
U : L2 (G1 × G2 ) → L2 (G2 × G1 ) (U ξ)(s, g) = ξ(u−1 (s), u(g))
On obtient un unitaire tel que pour F L∞ (G2 ) et t ∈ G1 :
U α(F )U ∗ = β(F̃ ),
U (λt ⊗ 1)U ∗ = λu(t) ⊗ 1
où F̃ ∈ L∞ (G1 ), F̃ (x) = F (u(x)). On en déduit que G1 n L∞ (G2 ) ' G2 n L∞ (G1 ).
Pour montrer que G1 nL∞ (G2 ) est un facteur de type I∞ , on remarque d’abord que l’action de
G1 sur L∞ (G/G1 ) est isomorphe à l’action (évidente) de K ∗ sur L∞ (K). Il suffit donc de montrer
que K ∗ n L∞ (K) est un facteur de type I∞ . Posons :
W : L2 (K ∗ × K) → L2 (K ∗ × K ∗ )
1
(W ξ)(x, y) = m(x) 2 ξ(xy −1 , y).
Alors on a (pour le détail des calculs voir le début de la preuve du lemme 3.8)
W (K ∗ n L∞ (K)) W ∗ = B L2 (K ∗ ) ⊗ 1.
ˆ ' (M, ∆) (voir
Remarque En fait, la même preuve montre que (M, ∆) est auto-dual i.e. (M̂, ∆)
[27]).
3.2
Définition
Dans cette section on définit l’exemple que l’on va étudier. Il s’inspire de l’exemple de la section précédente et de l’exemple 4.2 dans [4].
Soit A un anneau localement compact (à base dénombrable d’ouverts). Alors A∗ , le groupe
des inversibles de A, vu comme {(a, b) ∈ A × A, ab = ba = 1} est un groupe localement compact
à base dénombrable d’ouverts. Le groupe ax + b de A est A∗ n A pour l’action évidente de A∗ sur
A. Si G1 = A∗ × {0} et si G2 est un sous groupe fermé de A∗ n A assorti à G1 alors il est facile de
voir que l’action de G1 sur L∞ (G/G1 ) est isomorphe à l’action de A∗ sur L∞ (A). On a donc :
Lemme 3.2 Si G1 , G2 sont deux sous-groupes de A∗ n A tels que (G1 , G2 ) soit assorti et G1 = A∗ × {0}
alors on a :
G1 n L∞ (G2 ) ' A∗ n L∞ (A).
Q0
Soient (pn )n une suite de nombres premiers et A = n∈N (Qpn , Zpn ) le produit restreint des
Qpn relativement aux Zpn . Alors A est un anneau localement compact à base dénombrable d’ouverts. Le groupe des inversibles de A est :
Y 0
A∗ =
Q∗pn , Z∗pn .
n∈N
Soit νp+ la mesure de Haar additive sur Qp normalisée à 1 sur Zp , on rappelle que l’unique
mesure de Haar sur Q∗p normalisée à 1 sur Z∗p est :
+
dνp× (x) = (1 − p−1 )−1 |x|−1
p dνp (x).
20
(5)
Soit ν + la mesure sur A déduite des νp+n . C’est l’unique mesure de Haar additive sur A norQ
malisée à 1 sur n∈N Zpn . On obtient de la même façon l’unique mesure de Haar ν × sur A∗
Q
normalisée à 1 sur n∈N Z∗pn en considérant les mesures νp×n .
On note G le groupe ax + b de A et µ la mesure de Haar à droite produit des mesures ν × et
ν + . On définit deux sous groupes de G. G1 est le sous-groupe qui fixe 0 i.e. :
G1 = {(a, 0) ∈ G} ,
et G2 est le sous groupe qui fixe "le point non-existant p1n
de A" i.e. :
n
G2 = {((an ), (bn )) ∈ G, an + bn pn = 1 ∀n ∈ N} .
Afin de considérer le biproduit croisé de G1 par G2 , démontrons le résultat suivant :
Lemme 3.3
(i) G1 et G2 sont fermés et G1 ∩ G2 = {1}
(ii) G1 G2 6= G, µ(G − G1 G2 ) = 0 et G1 G2 est ouvert.
Démonstration.
L’assertion (i) est triviale. Démontrons l’assertion (ii). On a :
1 − an
, an 6= 0 ∀n et an ∈ 1 + pn Zpn pour n suffisamment grand .
G2 =
(an ),
pn
On déduit :
1 − an
∗
G2 G1 =
(an bn ),
, b = (bn )n ∈ A , an 6= 0 ∀n et an ∈ 1 + pn Zpn pour n suffisamment grand
pn
1
∀n où b = (bn )n .
= (a, b) ∈ G, bn 6=
pn
Alors :
G − G 2 G1 =
(a, b) ∈ G, ∃n ∈ N, bn =
1
où b = (bn )n
pn
qui est clairement de mesure nulle. Donc G − G1 G2 est de mesure nulle. De plus, il est clair que
G2 G1 est ouvert donc G1 G2 = (G2 G1 )−1 l’est aussi.
On peut maintenant effectuer le biproduit croisé de G1 par G2 . Par le lemme 3.3 et le théorème
2.19 on a immédiatement le résultat suivant :
Proposition 3.4 Le biproduit croisé de G1 par G2 est semi-régulier et n’est pas régulier.
3.3
Type de l’algèbre
Le résultat principal de ce mémoire est le théorème suivant :
Théorème 3.5 Pour tout λ ∈ [0, 1] il existe une famille de nombres premiers P telle que G 1 n L∞ (G2 )
soit un facteur de type IIIλ .
Démonstration.
Par le lemme 3.2 il suffit d’étudier A∗ n L∞ (A).
21
Soit :
∞
O
U :
(L2 (Q∗pn × Qpn ), χZ∗pn ×Zpn ) −→ L2 (A∗ × A)
n=0
défini sur un sous ensemble dense par :
U (F0 ⊗ . . . ⊗ Fn ⊗ χZ∗p
n+1
×Zpn+1
n
Y
⊗ . . .) = ((xi ), (yi )) 7→
Y
Fi (xi , yi ) ×
i=0
χZ∗p
i
×Zpi (xi , yi )
i≥n+1
où Fi ∈ L2 (Q∗pi × Qpi ), (xi ) ∈ A∗ et (yi ) ∈ A. C’est une isométrie d’image dense, qui se prolonge
en un unitaire . On considère maintenant les applications suivantes :
π : L∞ (A) −→ B(L2 (A∗ × A))
λ : A∗ −→ B(L2 (A∗ × A))
λ(t) = λt ⊗ 1
(π(F )ξ)(x, y) = F (xy)ξ(x, y)
Les applications πn : L∞ (Qpn ) → B(L2 (Q∗pn × Qpn )) et λn : Q∗pn → B(L2 (Q∗pn × Qpn )) sont
définies de façon analogue. Un calcul immédiat donne les égalités suivantes :
U (π0 (F0 ) ⊗ . . . ⊗ πn (Fn ) ⊗ 1 . . .)U ∗ = π(F0 . . . Fn )
U (λ0 (t0 ) ⊗ . . . ⊗ λn (tn ) ⊗ 1 . . .)U ∗ = λ(t0 , . . . , tn , 1, . . .)
Qn
où Fi ∈ L∞ (Qpi ), ti ∈ Q∗pi et F0 . . . Fn ((xi )i ) := i=0 Fi (xi ).
Q
Comme L∞ (A) est engendrée par les fonctions de la forme (xi ) 7→ ni=1 Fi (xi ) où Fi ∈ L∞ (Qpi )
et que {(t1 , . . . , tn , 1, . . .), ti ∈ Q∗pi , n ∈ N} est dense dans A∗ , on déduit :
U ∗ (A∗ n L∞ (A)) U =
∞
O
(6)
(Q∗pn n L∞ (Qpn ), L2 (Q∗pn × Qpn ), χZ∗pn ×Zpn ).
n=0
On considère maintenant deux projections q1 et q2 de A∗ nL∞ (A). Soit q1 l’image de χ(Q
n
Z∗
pn )
par la représentation de L (A ) associée à la représentation régulière gauche de A , i.e. q1 est la
convolution à gauche par χ(Q Z∗ ) . On sait que ( c.f. [8] ) q1 ∈ L(A∗ ). On note encore q1 l’image de
n pn
q1 dans A∗ nL∞ (A). Soit q2 l’image de χ(Q Zp ) ∈ L∞ (A) dans A∗ nL∞ (A). q1 est une projection
n
n
Q
car on a χ(Q Z∗ ) ∗ χ(Q Z∗ ) = χ(Q Z∗ ) en utilisant le fait que n Z∗pn est un sous-groupe de
n pn
n pn
n pn
mesure 1. Il est facile de vérifier que q1 et q2 commutent :
Z
ξ(t−1 x, y)dt.
(q1 q2 ξ) (x, y) = χ(Q Zp ) (xy) (q2 ξ) (x, y) = χ(Q Zp ) (xy) Q
1
∗
n
∗
n
n
n
n
Z∗
pn
Et :
(q2 q1 ξ) (x, y) =
Z
(q1 ξ) (t
Q
−1
x, y)dt =
Z∗
pn
n
= χ( Q
n
Zp n
) (xy)
Z
Z
Q
n
Z∗
pn
χ(Q
n
Zpn ) (t
−1
xy)ξ(t−1 x, y)dt
ξ(t−1 x, y)dt
Q
∗
n Zp n
Q
Q
Q
Q
car t−1 xy ∈ n Zpn et t ∈ n Z∗pn ⇔ xy ∈ n Zpn et t ∈ n Z∗pn . Donc q = q1 q2 est une projection
dans A∗ n L∞ (A). On a alors le résultat suivant :
22
Lemme 3.6 Soit qn = qn1 qn2 avec qn1 l’image de χZ∗pn par la représentation de L1 (Q∗pn ) associée à la
représentation régulière gauche de Q∗pn et qn2 = χZpn ∈ L∞ (Qpn ) ( on confond qni avec son image dans
Q∗pn n L∞ (Qpn ) ). Alors qn est une projection, qn χZ∗pn ×Zpn = χZ∗pn ×Zpn et on a l’isomorphisme suivant :
q (A∗ n L∞ (A)) q '
∞
O
n=0
où ωχZ∗p
n
×Zpn
(qn Q∗pn n L∞ (Qpn ) qn , ωχZ∗p
n
×Zpn
)
est l’état vectoriel associé à χZ∗pn ×Zpn .
Démonstration.
On montre, comme pour q1 et q2 , que qn1 et qn2 sont des projections qui commutent. Donc qn est
une projection et on a :
Z
(qn ξ)(x, y) = χZpn (xy)
ξ(t−1 x, y)dt,
(7)
Z∗
pn
ce qui implique que qn χZ∗pn ×Zpn = χZ∗pn ×Zpn . Calculons l’image de q par l’isomorphisme (6).
Soient Fi ∈ L2 (Q∗pi × Qpi ), x = (xi ) ∈ A∗ , y = (yi ) ∈ A. On a :


qU F1 ⊗ . . . ⊗ Fn
O
χZ∗p
i
×Zpi
i≥n+1

 (x, y) =
×
=
n
Y
χZpi (xi yi )
i=0
Y
U ∗ qU =
Z∗
p
χZpi (xi yi )
i≥n+1
n
Y
∞
O
Fi (t−1
i xi , yi )dti
i
Z
(qi Fi ) (xi , yi )
i=0
On en déduit que :
Z
Z∗
pi
χZ∗p
i
−1
×Zpi (ti xi , yi )dti
Y qi χZ∗p
i≥n+1
i
×Zpi
(xi , yi ).
qn .
(8)
n=0
Donc on a :
U (q (A∗ n L∞ (A)) q) U ∗ =
∞
O
n=0
(qn Q∗pn n L∞ (Qpn ) qn , qn L2 (Q∗pn × Qpn ), χZ∗pn ×Zpn ).
Fixons n ∈ N et notons e = qn , p = pn et π = πn . Pour conclure le lemme il suffit de montrer
que eL2 (Q∗p × Qp ) est la construction G.N.S de l’état vectoriel ωχZ∗p ×Zp sur e Q∗p n L∞ (Qp ) e, i.e.
le vecteur χZ∗p ×Zp est cyclique et séparateur.
Soient (X, ν) un espace mesuré standard, f une classe d’équivalence (pour la relation habituelle) d’applications mesurables de X dans C et A ⊆ X. On dit que le support de f est inclus
dans A et on note Supp(f ) ⊆ A si il existe un représentant de f à support dans A. On commence
par démontrer le lemme suivant :
Lemme 3.7 Soit f ∈ Cc (Qp ) avec Supp(f ) ⊆ Zp . Soit fn = χpn Z∗p ∗ f où le produit de convolution est
sur Q∗p pour la mesure νp× . Alors, fn est dans L2 (Qp ) et :
kfn − f kL2 (Qp ) −−−−−→ 0.
n→+∞
Démonstration. On considère f ∈ L2 (Q∗p ) et Supp(f ) ⊂ Z∗p . On remarque que pn Z∗p n∈N est
une base de voisinage de 1 dans Q∗p . Donc on déduit des résultats classiques de convolution que
23
fn ∈ L2 (Q∗p ) et que kfn − f kL2(Q∗p ) −−−−−→ 0. De plus, si g ∈ L2 (Q∗p ) et Supp(g) ⊆ Z∗p on déduit de
n→+∞
l’équation (5) :
kgk2L2 (Qp )
= (1 − p
−1
)
≤ (1 − p−1 )
Z
Z
|g(x)|2 |x|p dνp× (x)
Q∗
p
Z∗
p
|g(x)|2 dνp× (x) = (1 − p−1 )kgk2L2 (Q∗p ) .
Or, Supp(fn ) ⊆ pn Z∗p + Z∗p donc Supp(fn ) ⊆ Z∗p . On en déduit le lemme.
Commençons par calculer l’image de e. On a par (7) :
Im(e) = ξ ∈ L2 (Q∗p × Qp ), ξ est invariant par translation par Z∗p sur la 1ière variable et Supp(ξ) ⊆ X .
où X = (x, y) ∈ Q∗p × Qp , xy ∈ Zp . Donc :
Im(e) = Vect < χpn Z∗p ⊗ η, n ∈ Z, η ∈ L2 (Qp ) et Supp(η) ⊆ p−n Zp >
= Vect < χpn Z∗p ⊗ χp−n Zp L2 (Qp ), n ∈ Z >
= Vect < χpn Z∗p ⊗ χp−n Zp Cc (Qp ), n ∈ Z >.
où Vect < − > désigne l’espace vectoriel engendré.
Montrons que χZ∗p ×Zp est cyclique. Soit H = e Q∗p n L∞ (Qp ) eχZ∗p ×Zp . Un calcul facile montre
que si F ∈ L∞ (Qp ) on a :
eπ(F )eχZ∗p ×Zp = χZ∗p ⊗ χZ∗p ∗ (χZp F ) .
Si l’on note α l’action de Q∗p sur L∞ (Qp ) on déduit du calcul précédent :
eπ(αg (F ))eχZ∗p ×Zp = χZ∗p ⊗ χgZ∗p ∗ (χZp F )
(9)
pour tout g ∈ Q∗p . En appliquant (9) à g = pn on voit que :
{χZ∗p ⊗ χpn Z∗p ∗ (χZp F ) , F ∈ Cc (Qp ), n ∈ Z} ⊆ H.
De plus, le lemme 3.7 implique que :
L2 (Q∗
p ×Qp )
χZ∗p ⊗ (χpn Z∗p ∗ χZp F ) −−−−−−−→ χZ∗p ⊗ (χZp F )
n→+∞
pour F ∈ Cc (Qp ). Donc {χZ∗p ⊗ (χZp F ), F ∈ Cc (Qp )} ⊆ H. De plus, si g ∈ Q∗p , on a :
e(λg ⊗ 1)e χZ∗p ⊗ (χZp F ) = χgZ∗p ⊗ χg−1 Zp F .
Donc en appliquant ceci à g = p−n on déduit {χpn Z∗p ⊗ (χp−n Zp F ), F ∈ Cc (Qp )} ⊆ H, ce qui implique que Im(e) = H. Montrons maintenant que χZ∗p ×Zp est séparateur. Il suffit pour cela de mon0
trer que c’est un vecteur cyclique pour le commutant. Notons K = e Q∗p n L∞ (Qp ) eχZ∗p ×Zp . Il
est facile de vérifier que si g ∈ Q∗p et F ∈ L∞ (Qp ) alors les éléments ρg ⊗ λg et π(F ) sont dans
0
0
0
Q∗p n L∞ (Qp ) = L(Q∗p ) ⊗ 1 ∩ (π(L∞ (Qp )) . On en déduit comme précédemment, par l’équation (9) et le lemme 3.7, que {χZ∗p ⊗(χZp F ), F ∈ Cc (Qp )} ⊆ K. On a également l’identité suivante :
e (ρg ⊗ λg ) e χZ∗p ⊗ (χZp F ) = χg−1 Z∗p ⊗ χgZp αg (F ) .
24
On en déduit que {χpn Z∗p ⊗ (χp−n Zp F ), F ∈ Cc (Qp )} ⊆ K. Donc Ime = K.
Si l’on note, pour p un nombre premier, Φp l’état normal fidèle sur B(l 2 (N)) défini par :
Φp (x) =
∞
X
p−n (1 − p−1 ) < xen , en >
n=
où (en ) est la base canonique de B(l 2 (N)) alors on a l’identification suivante :
Lemme 3.8
q (A∗ n L∞ (A)) q '
O
n∈N
B(l2 (N)), Φpn .
Démonstration. Par l’équation (5), on déduit que les applications suivantes sont unitaires :
−1
1
u : L2 (Q∗p ) −→ L2 (Qp ) , (uξ)(x) = |x|p 2 (1 − p−1 )− 2 ξ(x),
V : L2 (Q∗p × Q∗p ) −→ L2 (Q∗p × Q∗p ) , (V ξ)(x, y) = ξ(xy −1 , y), et,
W : L2 (Q∗p × Qp ) −→ L2 (Q∗p × Q∗p ) , W = V (1 ⊗ u∗ ).
On a alors les formules suivantes :
1
1
(W ξ)(x, y) = |y|p2 (1 − p−1 ) 2 ξ(xy −1 , y) et,
−1
1
(W ∗ ξ)(x, y) = |y|p 2 (1 − p−1 )− 2 ξ(xy, y).
A l’aide de (10) et (11) on calcule W Q∗p n L∞ (Qp ) W ∗ . Si g ∈ Q∗p on a :
(10)
(11)
(W (λg ⊗ 1)W ∗ ξ)(x, y) = ξ(t−1 x, y) = ((λg ⊗ 1)ξ) (x, y).
Si F ∈ L∞ (Qp ) on a :
(W π(F )W ∗ ξ)(x, y) = F (x)ξ(x, y) = ((F ⊗ 1)ξ)(x, y).
Comme les mesures de Haar multiplicative et additive ont les mêmes ensembles de mesure nulle
on a L∞ (Qp ) = L∞ (Q∗p ) et on déduit des calculs précédents que :
00
W Q∗p n L∞ (Qp ) W ∗ = L(Q∗p ) ∪ L∞ (Q∗p ) ⊗ 1.
0
0
0
Et comme L∞ (Q∗p ) = L∞ (Q∗p ), on en déduit que L(Q∗p ) ∩ L∞ (Q∗p ) est l’ensemble des
fonctions L∞ invariantes par translations, donc est réduit aux fonctions constantes d’où :
Comme :
W Q∗p n L∞ (Qp ) W ∗ = B L2 (Q∗p ) ⊗ 1.
χZ∗p ×Zp = χZ∗p ×Zp −{0}
=
∞
X
presque partout
χZ∗p ×pn Z∗p ,
n=0
on a :
W χZ∗p ×Zp =
∞
X
n
1
p− 2 (1 − p−1 ) 2 χpn Z∗p ×pn Z∗p ,
n=0
25
(12)
on en déduit que l’état vectoriel ωχZ∗p ×Zp sur Q∗p n L∞ (Qp ) devient par l’isomorphisme (12) avec
B L2 (Q∗p ) l’état ω défini par :
ω(x) =< (x ⊗ 1)W χZ∗p ×Zp , W χZ∗p ×Zp >=
∞
X
p−n (1 − p−1 ) < xχpn Z∗p , χpn Z∗p > .
n=0
Soit f la projection de L2 (Q∗p ) définie par f = f1 f2 où f1 est la convolution à gauche par χZ∗p et f2
est la multiplication par χZp . On a :
Z
(f ξ)(x) = χZp (x)
ξ(t−1 x)dt.
(13)
Z∗
p
Si l’on note e la projection qn où pn = p ( voir équation (7) ) alors on a :
Z
(W f W ∗ ξ)(x, y) = χZp (x)
ξ(t−1 x, y)dt.
Z∗
p
Donc e = f ⊗ 1 et :
W e Q∗p n L∞ (Qp ) e W ∗ = f B L2 (Q∗p ) f ⊗ 1 = B f L2 (Q∗p ) ⊗ 1.
De plus, par l’équation (13) on déduit que :
f L2 (Q∗p ) = ξ ∈ L2 (Q∗p ) , ξ est à support dans Zp − {0} et est invariant par translation par Z∗p
= Vect < χpn Z∗p , n ∈ N >,
ce qui fournit un unitaire entre f L2 (Q∗p ) et l2 (N) qui envoie χpn Z∗p sur en et l’état ω sur l’état Φp .
On termine la démonstration en appliquant le lemme 3.6.
On démontre maintenant un résultat général sur les algèbres de von Neumann. Si M est une
algèbre de von Neumann, une projection p ∈ M est dite purement infinie si p 6= 0 et s’il existe
deux projections e et f dans M telles que ef = 0, p = e + f et e ∼ f ∼ p. Une algèbre de von
Neumann est dite purement infinie si 1 est une projection purement infinie de M . On a le résultat
suivant :
Lemme 3.9 Soit M une algèbre de von Neumann à prédual séparable et purement infinie. Si p est une
projection de M purement infinie, de support central 1, alors M ' pM p.
Démonstration. On rappelle que (c.f. [24]) si M est à prédual séparable et si e, f sont deux
projections purement infinies de M alors Z(e) = Z(f ) implique e ∼ f où Z(e) est le support
central de e. On peut supposer M ⊆ B(H) avec H séparable et M H = H. On définit alors une
sous-algèbre involutive de B(H pH) par :
! (
!
)
M
Mp
x1
x2 p
N=
=
, xi ∈ M .
pM pM p
px3 px4 p
On vérifie par un calcul très simple que N = N , donc N est une algèbre de von Neumman et
comme H pH est séparable, N∗ est séparable. Il est facile de vérifier que les deux projections :
!
!
1 0
0 0
et
0 0
0 p
00
26
sont purement infinies dans!N en utilisant
! le fait que 1 et p le sont dans M . Puis on voit que le
1 0
1 0
support central de
est
car c’est la projection sur :
0 0
0 1
N
1 0
0 0
!
(H pH) = M H pM H = H pH.
De plus, comme M pH = H, on a :
N
donc,
que :
0 0
0 p
!
0 0
0 p
!
(H pH) = M pH pM pH = H pH,
est de support central
1 0
0 0
!
0 0
0 p
!
1 0
0 1
!
. Par conséquent, il existe
a
c
b
d
!
∈ N tel
=
a∗ a + c ∗ c a ∗ b + c ∗ d
b∗ a + d ∗ c b ∗ b + d ∗ d
!
(14)
=
aa∗ + bb∗
ca∗ + db∗
!
(15)
ac∗ + bd∗
cc∗ + dd∗
En utilisant les équations (14) et (15) on trouve a = b = d = 0. On en déduit que c ∈ pM vérifie
c∗ c = 1 et cc∗ = p donc c : H → pH est unitaire et cM c∗ = c1M 1c∗ = cc∗ cM c∗ cc∗ = pcM c∗ p =
pM p, ce qui démontre la proposition.
Il est facile de voir que tout facteur M de type I∞ ( et à prédual séparable ) est purement infini.
En effet, en écrivant M de la forme B(l 2 (N)) et en décomposant 1 = e + f avec e la projection sur
l’espace vectoriel fermé engendré par les vecteurs de base d’indices pairs et f = 1 − e on voit
immédiatement que 1 est purement infinie. On en déduit que Q∗p n L∞ (Qp ) est purement infinie
( c’est de type I∞ par l’equation (12) ). On remarque également qu’un produit tensoriel infini
N
n (Mn , Hn , ξn ) est purement infini si l’une des algèbres Mn est purement infinie. En effet, si
Mi est purement infinie, on écrit 1 = e + f avec ef = 0, et e ∼ f ∼ 1 et on obtient, dans le
produit tensoriel infini, 1 = E + F avec EF = 0, et E ∼ F ∼ 1 où E = 1 ⊗ . . . ⊗ e ⊗ 1 ⊗ . . .
et F = 1 ⊗ . . . ⊗ f ⊗ 1 ⊗ . . . ( e et f en iième place ). On déduit donc de l’isomorphisme (6) que
A∗ n L∞ (A) est purement infinie et on voit avec le lemme 3.8 que la projection q ( définie avant
le lemme 3.8 ) est purement infinie. On a alors :
Proposition 3.10 On a un isomorphisme :
A∗ n L∞ (A) '
O
n∈N
B(l2 (N)), Φpn .
Démonstration. D’après la discussion précédente, il suffit de montrer que q est de support
N
central 1. On commence par remarquer que si M =
(Mn , Hn , ξn ), fn est une projection dans
N
Mn avec ξn fn = fn et Mn fn Hn = Hn alors f =
fn vérifie M f H = H. Donc en utilisant
l’isomorphisme (6) et l’égalité (8), il suffit de montrer que pour tout n, Z(qn ) = 1. On reprend les
notations de la démonstrations du lemme 3.6 i.e. on fixe n et on pose e = qn , p = pn et π = πn .
Soit :
H = Q∗p n L∞ (Qp )eL2 (Q∗p × Qp ).
27
Un calcul simple montre que, pour ξ ∈ L2 (Q∗p ), η ∈ L2 (Qp ) et n ∈ N, on a :
λp−n ⊗ 1 π χ(Qp −Zp ) e(ξ ⊗ η) = χpn Z∗p ξ ⊗ η,
et comme pn Z∗p est une base de voisinages ouverts de 1 dans Q∗p on déduit :
L2 (Q∗
p ×Qp )
χpn Z∗p ξ ⊗ η −−−−−−−→ ξ ⊗ η.
n→+∞
Par conséquent, ξ ⊗ η ∈ H, ce qui démontre la proposition.
On démontre maintenant la proposition suivante :
Proposition 3.11 Pour tout λ ∈ [0, 1], il existe une suite (qk )k≥0 de nombres premiers telle que M =
N∞
2
k=0 B(l (N)), φqk soit un facteur de type IIIλ .
Démonstration.
On présente ici la même preuve que [26]. Le groupe d’automorphismes modulaires σp,t de
φp est la conjugaison par l’unitaire Up,t qui est l’opérateur diagonal ayant pour valeurs propres
{pitn , n ∈ N}. On commence par démontrer le lemme suivant :
Lemme 3.12 Soit (qk )k≥0 une suite de nombres premiers telle que limk→∞ qk = ∞. Alors, si M =
N∞
2
k=0 B(l (N)), φqk on a pour tout λ ∈]0, 1[ :
∞
X
2iπ
2π
∈ T (M ) ⇐⇒
qk−1 1 − qkln λ < ∞.
ln λ
k=0
Par le théorème 2.12 on a :
X
t ∈ T (M ) ⇐⇒
|1 − φqk (Uqk ,t )| < ∞.
Démonstration. Soient λ ∈]0, 1[ et t =
2π
ln λ .
k
Or :
1 − φp (Up,t ) = 1 −
X
p−n (1 − p−1 )pitn = 1 −
n≥0
−1
1 − p−1
1 − pit−1
− pit−1
1 − pit
=
.
1 − pit−1
p − pit
P 1−qit Donc on a t ∈ T (M ) ⇐⇒ k qk −qkit < ∞. Mais limk→+∞ qk = +∞ implique que :
=
p
k
1 − qkit −1
it
qk − q it ∼k→+∞ qk |1 − qk |
k
et le lemme est démontré.
On démontre maintenant le lemme suivant :
Lemme 3.13 Soit µ ∈]1, ∞[. Alors il existe une constante A > 0 et une suite (nj )j≥1 de nombres entiers
avec nj ↑ +∞ tels que :
1. nj ln nj ∼ µj
ln (nj ln nj )
2. −
j
<
ln µ
A
j.
28
Démonstration. Soient xj ∈]1, ∞[ tel que xj ln xj = µj et nj = [xj ] où [−] désigne la partie
entière. En appliquant
le théorème
des accroissements finis à la fonction x 7→ x ln x et en utilisant
1+ln xj
le fait que la suite
est
bornée
on trouve une constante C > 0 telle que nj ln nj − µj <
j
j≥1
Cj. Donc l’assertion 1 est démontrée
de plus, en appliquant les acroissements finis à x 7→ ln x
2 et
et en remarquant que la suite nj jln nj est bornée, on déduit l’assertion 2.
On rappelle le théorème des nombres premiers (voir par exemple [19]) qui peut s’écrire sous
la forme :
pn ∼n→+∞ n ln n + n ln (ln n) + O(n)
où pn est le nième nombre premier.
Démontrons maintenant la proposition.
Le cas λ ∈]0, 1[.
Soient µ = λ1 et pn le nième nombre premier. On a µ ∈]1, ∞[ et l’on peut donc considérer une
0
suite (nj )k≥1 comme dans le lemme 3.13. On pose qj = pnj puis on construit la suite (qk )k≥0 à
i
h
j
0
0
partir de la suite (qj )k≥1 en répétant µj fois le terme qj , i.e on pose :
0
0
0
0
0
0
q0 = q1 , q1 = q1 , . . . , q[µ]−1 = q1 , q[µ] = q2 , . . . , q[µ]+h µ2 i−1 = q2 , q[µ]+h µ2 i = q3 , . . .
2
2
Vérifions que la proposition marche pour cette suite.
Etape 1 : M est de type III
D’après le lemme 2.7, il suffit de montrer que :
X
qk−i 1 − qk−1 inf qki − 1 , 1 = +∞.
i,k≥0
Or on a :
X
i,k≥0
qk−i
1−
qk−1
inf qki − 1 , 1 =
X
qk−i
1−
qk−1
k≥0,i≥1
=
X 1
X 1 µj =
=
.
0
qk
qj j
k≥0
X
k≥0
1−
qk−1
X
i≥1
1
qk
i
j≥1
De plus, le théorème des nombres premiers et le lemme 3.13 donnent :
µj
1
1 µj
1
∼ .
∼
0
j
n
ln
n
j
j
qj
j
j
(16)
Donc M est de type III.
Etape 2 : 2πn
ln λ , n ∈ Z ⊆ T (M ).
Comme T (M ) est un sous-groupe additif de R, il suffit de montrer, par le lemme 3.12 que :
∞
X
k≥0
On a :
∞
X
k≥0
2iπ
qk−1 1 − qkln λ < ∞.
X µj 1
2iπ
qk−1 1 − qkln λ =
0
j qj
j≥1
29
2iπ 1 − qj0 ln λ 2iπ 1 − q 0 ln λ . Montrons que cette
j
dernière série est convergente. Par le théorème des nombres premiers on a :
ln(nj ln nj ) − ln pnj = ln 1 + ln (ln nj ) + O(nj ) .
ln nj
nj ln nj et par l’équivalence (16), cette série est de même type que
P
1
j j
Puis en utilisant le fait que ln (1 + x) < x, lnxx est décroissante pour x > e et que ln nj >
assez grand, on trouve une constante B > 0 telle que :
j
2
pour j
ln (nj ln nj ) − ln pnj < B ln nj .
j
Maintenant, en utilisant l’inégalité précédente et l’inégalité (2) du lemme 3.13 on trouve une
constante C > 0 telle que :
ln pnj
ln j
= −j + avec || < C
.
(17)
ln λ
j
Ce qui permet de déduire l’existence d’une constante D > 0 telle que :
2iπ ln pn 1 − qj0 ln λ = 1 − e2iπ ln λj < D ln j .
j
D’où :
2iπ X1
X ln j
1 − qj0 ln λ < D
< +∞.
j
j2
j
Ce qui termine l’étape 2.
j
Etape 3 : λ ∈ S(M )
On rappelle que r∞ (M ) = S(M ). On va montrer que λ ∈ r∞ (M ) en utilisant la définition de
r∞ (M ).
Soit νp la mesure sur N définie par νp (n) = p−n (1 − p−1 ). Pour k ∈ N et I ⊂ N, on note Xk
Q
l’espace discret N muni de la mesure de probabilité µk = νqk et X(I) = k∈I Xk muni de la
Q
mesure de probabilité produit µI = k∈I µk . Pour montrer que λ ∈ r∞ (M ) il suffit de montrer
qu’il existe une suite (Iα ) de sous-ensembles finis de N deux à deux disjoints et deux suites (Kα1 ),
(Kα2 ) de sous-ensembles de X(Iα ) munies de bijections Φα : Kα1 −→ Kα2 telles que :
X
µIα (Φα (x)) 1
= 0.
µIα (Kα ) = ∞ et lim max1 λ −
α→∞ x∈Kα
µIα (x) α
h ji
h si
P
0
Pour cela notons rj = µ2j et Nj = s≤j µs . Par définition on a Nj + k = qj+1 pour 0 ≤ k ≤
h j+1 i
h ji
h
i
0
µ
1
et qN −h µj i+k = qj pour 0 ≤ k ≤ µj − 1. On pose n = µ−1
+ 1 et on ne considère
j+1
j
j
i
h
i
h
i
h
j
j
j+1
j+1
j
que les j ≥ n. On a alors µj < µj+1 et donc rj = µ2j ≤ µj ≤ µj+1 . On en déduit que pour
0 ≤ k ≤ rj − 1 on a :
0
0
qNj −rj +k = qj et qNj +k = qj+1 .
On pose alors Ij,k = {Nj − rj + k, Nj + k} où k = 0, . . . , rj − 1 et j ≥ n. Les Ij,k sont disjoints car
on a :
j+1 j+1 j µ
µ
µ
Nj + rj − 1 < Nj+1 − rj+1 ⇐⇒
>
+
− 1.
j+1
2(j + 1)
2j
On construit alors la suite des Iα à partir des Ij,k pour j ≥ n, i.e. on pose :
I0 = In,0 , I1 = In,1 , . . . , Irn −1 = In,rn −1 , Irn = In+1,0 , . . .
30
Comme X(Ij,k ) = N × N muni de la mesure produit νq0 × νq0
j
Kα2 = {(0, 1)} avec les Φα évidents, on trouve :
X
µIα (Kα1 )
α≥0
car
h
µj
2j
i
∼
et comme
µj
2j
0
qj
0
qj+1
j+1
1
1− 0
qj
1
rj 0
=
rj νq0 (1)νq0 (0) =
j
j+1
qj
j≥n
j≥n
1 X µj 1
>
0 = +∞
4
2j qj
j≥n
X
, en prenant Kα1 = {(1, 0)} et
X
!
1−
1
0
qj+1
!
et on a l’équivalence (16). De plus :
∼
µIα (Φα (x)) max1 λ −
= λ−
x∈Kα
µIα (x) = λ −
µj
µj+1
νq0 (0)νq0 (1) µIα (Kα2 ) j
j+1
= λ −
µIα (Kα1 ) νq0 (1)νq0 (0) j
j+1
0
qj 0
qj+1 = λ, l’étape 3 est démontrée.
On sait maintenant que M est de type III, et l’étape 2 permet de déduire que M est de type
III0 ou IIIλk avec k ∈ N∗ alors que l’étape 3 implique que M est de type III1 ou III k1 avec k ∈ N∗
λ
donc M est de type IIIλ .
P∞
P −2k
k
Le cas λ = 0. Soient λ1 , λ2 ∈]0, 1[ tels que λλ21 = k=0 2−2 . Comme l’ecriture de
2
n’est
λ1
2π
2π
/ Q et par conséquent, Z ln λ1 + Z ln λ2 est dense dans R. Il suffit donc
pas périodique, on a λ2 ∈
de construire une suite de nombres premiers (qk ) telle que ln2πλl ∈ T (M ) pour l = 1, 2 et M est
n
de type III. Pour cela on choisit une suite j > 0 telle que |1 − j | < 1j . Si l’on pose m1 = 22 et
Pn
k
m2 = m1 k=0 2−2 , on trouve :
|m1 ln λ1 − m2 ln λ2 | = ln(λ2 )22
n
∞
X
k
n
2−2 < ln(λ2 )21−2 .
k=n+1
On peut donc trouver une suite d’entiers strictement croissante (nj ) telle que, si l’on note m1,j =
Pnj −2k
nj
22 et m2,j = m1,j k=0
2
, on a les deux inégalités suivantes :
j
(18)
|m1,j ln λ1 − m2,j ln λ2 | < | ln λ1 |
2
ln m1,j
j
C
<
(19)
m1,j
2
où la constante C apparaissant dans l’inégalité (19) est la même que celle de l’inégalité (17) obte00
0
nue dans le cas λ ∈]0, 1[ à l’étape 2 en prenant λ = λ1 . On choisit alors qj = qm1,j suite extraite
0
de la suite de nombres premiers qj construite dans le cas λ ∈]0, 1[ pour λ = λ1 . Les inégalités
00
(17) et (19) permettent de montrer que | ln qj + m1,j ln λ1 | < 2j | ln λ1 | et, avec l’inégalité (18) et la
définition de j on voit que :
2iπ 1 − q 00 ln λl < 1 pour l = 1, 2.
j
j
00 00
00
q
On construit alors la suite (qk ) à partir de la suite (qj ) en répétant jj le terme qj . Comme
00 00
00
P −1
P qj00 1
qj
qj
qj
qk =
∼ j et par conséquent,
00 = +∞. Donc, par le même
j → ∞ on a
j
j
q
j
31
argument que dans l’étape 1 du cas λ ∈]0, 1[ on voit que M est de type III. De plus, on a :
! " 00 #
00 ln2iπ
X
X qj
1
1
λl −1 < +∞.
q k 1 − q j
00
<
j
j
qj
Donc
2π
ln λl
∈ T (M ) pour l = 1, 2 par le lemme 3.12.
Le cas λ = 1. On présente ici la même preuve que [6]. Soit π(x) le cardinal de l’ensemble des
nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Le théorème des nombres premiers peut s’écrire également sous la forme (c.f. [19]) :
π(x) ln x
= 1.
lim
x→∞
x
On démontre maintenant le lemme suivant :
Lemme 3.14 Soient r > 0 et > 0 fixés. Alors pour x suffisamment grand on a :
π ((r + )x) − π(rx) ≥
x
.
2 ln x
En particulier, π ((r + )x) − π(rx) → +∞.
Démonstration. On déduit du théorème des nombres premiers que :
π ((r + )x) ln(r + )x π(rx) ln rx
= 0.
−
lim
(r + )x
rx
En développant les logarithmes on obtient :
π ((r + )x) ln x π(rx) ln x π ((r + )x) ln(r + ) π(rx) ln r
lim
−
+
−
= 0.
(r + )x
rx
(r + )x
rx
Les deux derniers termes tendant vers 0 avec x on déduit :
rπ ((r + )x) ln x − (r + )π(rx) ln x
π ((r + )x) ln x π(rx) ln x
= lim
−
= 0.
lim
(r + )x
rx
r(r + )x
En retirant (r + ) du dénominateur, la limite reste nulle et donc :
ln x
π(rx) ln x
= 0.
lim (π ((r + )x) − π(rx))
−
x
rx
Mais comme :
π(rx) ln rx
1 = lim
= lim
rx
π(rx) ln x π(rx) ln r
+
rx
rx
on déduit :
lim(π ((r + )x) − π(rx))
= lim
π(rx) ln x
,
rx
π(rx) ln x
ln x
= lim = .
x
rx
Donc, pour x suffisamment grand on a :
(π ((r + )x) − π(rx))
ln x
>
x
2
et le lemme est démontré.
On peut maintenant démontrer le cas λ = 1. On prend qk = pk le k ième nombre premier.
P 1
Comme
pk = ∞ on déduit, par le même argument que dans le cas λ ∈]0, 1[ à l’étape 1, que M
est de type III. On va maintenant montrer que r∞ (M ) = R+ ce qui prouve que M est de type III1 .
32
Pour cela on se donne un r > 0 et on montre que r ∈ r∞ (M ) en utilisant la définition de r∞ (M ).
On reprend les notations du début de l’étape 3 du cas λ ∈]0, 1[. Pour tout n on note t2n le plus petit
nombre premier de la forme p2k+1 qui est supérieur ou égal à p2n puis on pose Jn = {p2n , t2n }.
Par le lemme 3.14 on a :
∀ > 0 ∃N ∈ N, n > N =⇒ rp2n ≤ t2n ≤ (r + )p2n .
(20)
En utilisant (20) et le fait que pk+1 − pk → ∞ on déduit facilement qu’il existe un entier N1 tel que
n ≥ N1 implique t2(n+1) > t2n , ce qui implique que les Jn sont deux à deux disjoints à partir du
rang N1 . On construit alors la suite (Iα ) à partir de la suite (In ) en décalant les premiers termes,
i.e. on pose I0 = JN1 , I1 = JN1 +1 , etc. On pose alors Kα1 = {(0, 1)}, Kα2 = {(1, 0)} et les Φα
évidents. En appliquant (20) on a, pour n assez grand, rp2n < t2n < 2rp2n d’où :
1
1
1
1
1−
1−
≥
t2n
p2n
t2n
8rp2n
pour n > N2 . Donc en posant l = max{N1 , N2 } on a :
X 1 X
1
1
1 X 1
1
= +∞.
1−
1−
≥
µα (Kα ) =
t2n
p2n
t2n
8r
p2n
α
n≥l
n≥N1
De plus,
et (20) implique que :
µI (Φα (x)) µIα (Kα2 ) t2α =
r
−
=
r
−
max1 r − α
µIα (x) µIα (Kα1 ) p2α x∈Kα
t2α lim r −
= 0.
α→∞
p2α Ce qui termine la démonstration.
La démonstration du théorème est terminée en appliquant le lemme 3.2 et les propositions
3.10 et 3.11.
3.4
L’algèbre du dual
Dans cette section nous allons montrer, en écrivant sous la forme d’un produit tensoriel infini de facteur, que le dual, G2 n L∞ (G1 ), est un facteur. Pour cela nous allons utiliser la même
méthode que dans la section précédente. Notons νp la mesure de Haar sur Q∗p normalisée à 1 sur
1 + pZp et µp celle qui est normalisée à 1 sur Z∗p .
On rappelle que l’on a :
G1 = {(a, 0), a ∈ A∗ },
et :
G2 =
(an ),
1 − an
pn
, an 6= 0 ∀n et an ∈ 1 + pn Zpn
pour n suffisamment grand .
Q0
Soit K = n Q∗pn , 1 + pn Zpn muni de la mesure ν déduite des νp . Identifions dès maintenant
G2 à K et G1 à A∗ . Sous cette identification, un calcul direct montre que, pour s = (sn ) ∈ K et
g = (gn ) ∈ A∗ tels que pour tout n, gn (sn −1)+1 6= 0 et, à partir d’un certain rang, gn (sn −1)+1 ∈
1 + pn Zpn , on a :
gn sn
αg (s) = (gn (sn − 1) + 1) , βs (g) =
.
gn (sn − 1) + 1
33
Notons alors Gn1 = Gn2 = Q∗pn . On rappelle que (Gn1 , Gn2 ) est un couple assorti (voir section 3.1) et
les actions αn ,β n peuvent être directement calculées (voir équation 4). On a alors la proposition
suivante :
Proposition 3.15 On a un isomorphisme :
O
Gn2 n L∞ (Gn1 ), L2 (Q∗pn × Q∗pn , νpn × µpn ), χ(1+pn Zpn )×Z∗pn .
G2 n L∞ (G1 ) =
n
Démonstration. On considère l’unitaire (comme dans la section précédente) :
U :
O
n
L2 (Q∗pn × Q∗pn , νpn × µpn → L2 (K × A∗ , ν × µ)
défini sur un sous-ensemble dense par :
U (F0 ⊗. . .⊗Fn ⊗χ(1+pn+1 Zpn+1 )×Z∗p
n+1
⊗. . .) = ((xi ), (yi )) 7→
n
Y
i=0
Fi (xi , yi )
Y
χ(1+pk Zpk )×Z∗p ) (xi , yi )
k
k≥n+1
où Fn ∈ L2 (Q∗pn × Q∗pn ) et (xi ) ∈ K, (yi ) ∈ A∗ . Un calcul direct montre que :
U β 0 (F0 ) ⊗ . . . ⊗ β n (Fn ) ⊗ 1 ⊗ . . . U ∗ = β(F0 . . . Fn )
où Fi ∈ L∞ (Gi1 ) et F0 . . . Fn ∈ L∞ (G1 ), F0 . . . Fn (gk ) =
Qn
i=0
Fi (gi ). De plus , si ti ∈ Gi2 on a :
U (λ(t0 ) ⊗ . . . λ(tn ) ⊗ 1 . . .) U ∗ = λ((t0 , . . . , tn , 1, . . .)).
où l’on note λ(t) = λt ⊗ 1, t 7→ λt étant la représentation régulière gauche. On déduit :
O
U ∗ (G2 n L∞ (G1 )) U =
Gn2 n L∞ (Gn1 ), L2 (Q∗pn × Q∗pn , νpn × µpn ), χ(1+pn Zpn )×Z∗pn .
n
On déduit alors de la proposition 3.1 et du corollaire 2.6 :
Corollaire 3.16 G2 n L∞ (G1 ) est un facteur.
Références
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34
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