CLERMONT-FERRAND 2010 sujets et corrigés

Exercice Académique 3 : Des rayons perdus
Dans le carré suivant de côté 1, on a dessiné 3 cercles tangents entre eux, un grand, un moyen et un petit.
Le grand cercle et le cercle moyen sont tangents à 2 côtés du carré, le petit cercle est tangent à un côté.
Le centre du grand cercle et le centre du petit sont sur une même droite parallèle à un côté du carré.
1. Donner la distance entre les centres du grand et du petit cercle.
2. Pascale affirme : « La distance entre les centres du moyen et du grand cercle est 2 –
2
».
Qu’en pensez-vous ?
3. Déterminer la distance entre les centres du moyen et du petit cercle.
4. Peut-on trouver le rayon de ces trois cercles ?
Eléments de correction :
On désigne par :
O
1
le centre du grand cercle,
O
2
celui du moyen
O
3
celui du petit.
R
1
, R
2
et R
3
sont les rayons respectifs
de ces cercles.
ABCD sont les sommets du carré.

1. O
1
et O
3
se trouvent sur une parallèle au côté du carré : on a ainsi : 2R
1
+2R
3
= 1 ;
on en déduit la distance O
1
O
3
= R
1
+ R
3
=
1
2
2. Le grand cercle étant tangent aux côtés [AB] et [AD] du carré, O
1
est l’un des sommets du carré
de côté R
1
(à gauche et en haut du grand carré) dont [AO
1
] est une diagonale.
De même, le petit cercle est tangent aux côtés [BC] et [DC] du carré et O
2
est l’un des sommets du
carré de côté R
2
. (à droite et en bas du carré ABCD) dont [O
2
C] est une diagonale.
On en déduit que O
1
et O
2
sont sur la diagonale du carré ABCD qui mesure
2
.
D’autre part, la longueur AO
1
=
2
R
1
(diagonale du carré de côté R
1
) ; la longueur AO
2
=
2
R
2
(diagonale du carré de côté R
2
).
On obtient l’égalité suivante :
2
R
1
+ O
1
O
2
+
2
R
2
=
2
⇔
2
(R
1
+ R
2
) + R
1
+ R
2
=
2
⇔
(R
1
+ R
2
) (
2
+1) =
2
D’où la distance O
1
O
2
= R
1
+ R
2
= 2
2 2
2 1
= −
+
Donc Pascale a raison.
3. Dans le triangle O
1
O
2
O
3
, l’angle
1
O
ˆ
= 45°, en utilisant la formule d’Al Kashi on obtient :
O
2
O
3
2
= O
1
O
2
2
+ O
1
O
3 2
– 2 × O
1
O
2
× O
1
O
3
× cos 45°
d’où (R
2
+ R
3
)
2
= (2 –
2
)
2
+
1
4
2
(2 2)
2
− − = 1
4 4 2 2 2 1
4
− + + − +
(R
2
+ R
3
)
2
= 29
5 2
4
− La distance O
2
O
3
= R
2
+ R
3
=
29
5 2
4−
4. Pour trouver les rayons, on résout le système :
1 2
1 3
2 3
R R 2 2
1
R R 2
29
R R 5 2
4
+ = −
+ =
+ = −
R
2
= 2 –
2
– R
1
; R
3
=
1
2
−
R
1
En substituant dans la troisième équation on obtient :
R
2
+ R
3
=
1
5
2 2R
2
− − =
29
5 2
4−
Ce qui nous permet d’obtenir R
1
=
5 2 1 29
5 2
4 2 2 4
− − − R
1
≈ 0,33
R
2
=
3 2 1 29
5 2
4 2 2 4
− + − R
2
≈ 0,25
et R
3
=
3 2 1 29
5 2
4 2 2 4
− + + − R
3
≈ 0,17

Exercice Académique 4 : Jeu de mains…
Les candidats des séries L, ES, STI, STL, STG et ST2S ne traiteront que la question A.
A. Ce jeu se joue à deux. Chaque joueur à tour de rôle montre à l’autre un certain nombre non nul de
doigts de sa main droite, mais il s’agit de faire en sorte que le nombre total des doigts montrés, depuis
le début de la partie, soit à chaque étape un nombre premier.
Si un joueur ne peut plus jouer, il a perdu.
1) Ecrire tous les nombres premiers inférieurs à 50.
2) Y a-t-il toujours un gagnant ?
3) Le premier joueur a trois possibilités au premier tour. Etudier ces trois choix et dire si, selon ce
choix, un des deux joueurs peut trouver une stratégie pour gagner à coup sûr.
4) Olympe et Max jouent à ce jeu pour la première fois et n’ont a priori aucune stratégie : c’est
Olympe qui commence. A-t-elle
 Plus d’une chance sur deux de gagner ?
 Moins d’une chance sur deux de gagner ?
 Une chance sur deux de gagner ?
B. La règle du jeu reste la même, si ce n’est que chaque joueur montre cette fois-ci un certain nombre
non nul de doigts de ses deux mains.
1) Y a-t-il toujours un gagnant ?
2) Une règle supplémentaire est imposée : la suite des nombres premiers successivement obtenus au
cours d’une partie doit être une suite de nombres premiers consécutifs.
Olympe (encore elle !) joue à ce nouveau jeu pour la première fois et n’a a priori aucune stratégie :
c’est elle qui commence. A-t-elle
 Plus d’une chance sur deux de gagner ?
 Moins d’une chance sur deux de gagner ?
 Une chance sur deux de gagner ?
Remarque : le même exercice, en ne conservant que A. peut être posé pour les 1ères non scientifiques.
Correction :
A. 1) 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47.
2) On ne peut pas passer d’un nombre premier inférieur à 23 à un nombre premier strictement
supérieur à 23, puisqu’il faudrait plus de 5 doigts pour atteindre 29…
Donc le jeu s’arrête au bout de 9 coups au maximum et il y a toujours un gagnant.
3) Un tableau (ou un arbre) permet d’étudier les différentes possibilités de parties.
1
er
joueur 2
nd
joueur Coups suivants Nombre de coups total
5-7-11-13-17-19-23 9
3 7-11-13-17-19-23 8
5 7-11-13-17-19-23 8
2
7 11-13-17-19-23 7
5 7-11-13-17-19-23 8
3 7 11-13-17-19-23 7
5 7 11-13-17-19-23 7
Le premier joueur gagnera si la partie comporte un nombre impair de coups : il est sûr de gagner
s’il montre 5 doigts au premier coup.

4) Si Olympe commence en montrant 5 doigts, elle gagne à coup sûr, en montrant 3 doigts, elle a une
chance sur deux de gagner et en montrant 2 doigts, elle a aussi une chance sur deux de gagner.
Finalement elle a plus d’une chance sur deux de gagner.
Remarquons que le calcul exact qui utilise des probabilités conditionnelles (non au programme de
1
ère
S) conduit à une probabilité de 2/3.
B. 1) 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97-101-103-107-109-
113-127 sont en partant de 2 les 31 nombres premiers consécutifs.
Connaître le crible d’Eratosthène peut aider !
On ne peut pas passer d’un nombre premier inférieur à 113 à un nombre premier strictement
supérieur à 113, puisqu’il faudrait plus de 10 doigts pour atteindre 127…
Donc le jeu s’arrête au bout de 30 coups au maximum et il y a toujours un gagnant.
2) Olympe peut montrer au premier coup 2, 3, 5 ou 7 doigts : puisqu’elle commence, elle gagnera si
elle montre 3 ou 7 doigts, la partie comportant alors un nombre impair de coups.
Donc elle a une chance sur deux de gagner.