Correction 1 1. Voici les expressions algébriques associées : a. f : x

Correction 1
1. Voici les expressions algébriques associées :
a.
f : x 7−→ 2x
p
b. g : x 7−→ 4×(x − 5)
2.
1
x
c.
x 7−→ x +
a.
L’image du nombre 5 est le double de 5, c’est à dire 10. On note :
f (5) = 10
b. Le produit de 4 par la différence de 7 par 5 vaut 4×(7 − 3) = 16. La racine carrée de 16 vaut 4 : l’image
de 7 par la fonction h vaut 4. On note
h(7) = 4.
3 ne peut avoir d’image par la fonction g car le produit de 4 par la différence de 3 par 5 vaut 4×(3−5) = −8
: on ne peut prendre la racine carré de ce produit
c.
0 n’admet pas d’inverse : 0 n’admet pas d’image par la fonction h.
Correction 2
Une fonction associe à un nombre de son ensemble de définition une et eune seule image. Ainsi pour toute courbe
représentative d’une fonction, deux points ne peuvent avoir la même abscisse.
Ainsi, les courbes représentées à la question b. et d. ne peuvent être des courbes représentatives de fonctions.
Correction 3
1. Des points de la courbe, on déduit que :
f (−2) = 3 f (−
2. Les antécédents de -1 sont
1
1
) = 1 f ( ) = −1 f (2 = 1
2
2
1
et 1.
2
L’ensemble des antécédents de 0 est
L’ensemble des antécédents de 3 est
©
©
− 3; 0;
ª
3
;3
2
− 2 ; 3}
Correction 4
1.
f (1) =
1
1
=
.
1+1
2
L’image de 1 par la fonction f vaut
√
√
g(1) = 3 − 2×1 = 1 = 1.
1 est l’image de 1 par la fonction g.
2.
1
2
1
3
= 4
L’antécédent de 4 par f vaut − .
1+x
4
1 = 4×(1 + x)
−3 = 4x
3
x= −
4
√
3 − 2x = 4
3 − 2x = 16
−2x = 13
13
x= −
2
13
L’antécédent de 4 par g est −
.
2
Correction 5
1.
f (2) = 3×2 + 5 = 6 + 5 = 11
L’image par la fonction f de 2 est 11
3x + 5 = −1
x = −2
Le nombre −1 possède un antécédent par la fonction f : −2
2.
g(1) = −2×1 − 2 = −2 − 2 = −4
L’image par la fonction g de 1 est −4
−2x − 2 = 8
x = −5
Le nombre 8 possède un antécédent par la fonction g : −5
h(5) = 52 = 25
L’image par la fonction h de 5 est 25
3.
L’équation x2 = 9 possède deux solutions : 3 et −3.
Le nombre 9 possède deux antécédents par la fonction h : 3 et −3
j(−3) = 3×(−3)2 = 3×9 = 27
L’image par la fonction j de 5 est −3
4.
3x2 = 9
x2 = 3
√
√
Le nombre 9 possède deux antécédents par la fonction k : − 3 et 3
5.
k(2) =
3×2 + 1
7
=
2+1
3
L’image par la fonction k de 2 est
7
3
3x + 1
= 1
x+1
3x + 1 = x + 1
2x = 2
x= 1
Le nombre 1 possède un antécédent par la fonction k : 1
6.
`(1) =
2×1 − 2
=0
x+π
L’image par la fonction j de 2 est
7
3
2x + 2
= 2
x+π
2x + 2 = 2×(x + π)
2x + 2 = 2x + 2π
0x = 2π − 2
Le nombre 2 ne possède pas d’antécédent par la fonction ` – 2π − 2 est un nombre non-nul.
Correction 6
1. Aucune contrainte. On peut calculer l’image de n’importe quel nombre au travers de la fonction f : son
ensemble de définition est R
2. Une fraction n’est pas définie si son dénominateur est nul.
Autrement dit, la fonction g est définie sur l’ensemble des réels privés du nombre 0. On en déduit que :
Dg = R − {0}
5
. On a :
2
5
Dh = R − {− }.
2
3. Le dénominateur 2x + 5 s’annule en −
1.
j.
On a de même :
Dh = R − {−
5
}.
2
k. La racine d’un nombre est défini si, et seulement si, ce nombre est positif ou nul (ie supérieur à 0). Ainsi,
la fonction k sera définie sur l’ensemble [0 ; +∞[
l.
Puisque x2 est toujours positif ou nul, on en déduit que ` est définie sur R :
D` = R
m. Cherchons pour quelle valeurs de x, 2x + 5 est positif ou nul :
2x + 5 > 0
2x > −5
5
x> −
2
£
£
5
L’ensemble de définition de m est −
; +∞
2
n. Faisons la même étude pour −x + 2 :
L’ensemble de définition de n est ] − ∞ ; 2]
−x + 2 > 0
−x > −2
x62
Correction 7
Une fraction ne peut avoir son dénominateur
égal à 0.
3x + 7 = 0
3x = −7
−7
x=
3
La fontion f n’est pas définie pour −
Df = R − {−
7
.
3
7
}
3
Une racine est définie uniquement si ce qu’elle
présente en dessous est supérieur ou égal à 0 :
1 − 6x > 0
−6x > −1
−1
x6
−6
1
x6
6
¤
1 ¤
Dg = − ∞ ;
6
Correction 8
1. On a :
f (1) = 12 − 6×1 + 2 = 1 − 6 + 2 = −3
L’image de 1 par la fonction f est −3
2. Deux méthodes sont possibles pour calculer les antécédents de −7 par la fonction f :
Une résolution algébrique de l’équation x2 − 6x + 2 = −7 :
x2 − 6x + 2 = −7
x2 − 6x + 9 = 0
(x − 3)2 = 0
Un produit de facteur est nul si, et seulement, au moins un de ses facteurs est nul :
3 est l’unique solution de ce système.
On ne peut pas toujours factoriser un polynome du second degré (avec des x2 )
La deuxième méthode est un “tatônnement” pour vérifier si ces nombres sont des antécédents :
f (3) = 32 − 6×3 + 2 = −7
f (2) = 22 − 6×2 + 2 = 0
2
f (1) = 1 − 6×1 + 2 = −3
f (−2) = (−2)2 − 6×(−2) + 2 = −6
Le seul antécédent de −7 est 3.
3. L’ensemble de définition de la fonction g est ] − 4; 7]
4. Le point (0,1) appartient à la courbe Cg .
Ainsi, l’image de 0 par g est 1
¡
¢
5.
−3 ; 1 n’est pas un point de la courbe.
¡
¢
On ne peut dire si −2 ; −0,5 est un point de la courbe car il n’est pas un point d’intersection du
quadrillage.
¡
¢
4 ; 3 est un point de la courbe.
¡
¢
6 ; 2 est un point de la courbe.
6. La fonction a pour maximun 3 et il est atteint en 4.
Correction 9
1. L’ensemble de définition de la fonction f est la réunion des intervalles :
[−5; −2] ∪] − 1; 5[
2. On a :
f (−4) = 0 ; f (−2) = −3 ; f (2) = 3
On ne peut donner l’image du point 3 car le point de la courbe Cg ayant pour abscisse 3 n’est pas un
point de l’intersection du quadrillage : on ne peut donner avec précision son ordonnée.
¡
¢
Le symbole porté sur le point 5 ; 1 précise que 5 n’a pas d’image par la fonction f .
3. Le nombre −3 ne possède qu’un antécédent :
−2.
Le nombre −1 ne possède qu’un antécédent : −3.
©
ª
L’ensemble des antécédents de 0 est :
− 4 ; 0 ; x ; 1 où le nombre x est dans l’intervalle ]0 ; 1[.
Le nombre 3 possède deux antécédents :
−5 et 2.