Le Problème de Minkowski et sa généralisation

Le Problème de Minkowski et sa généralisation
Matthieu JACQUEMET
Université de Fribourg (Suisse)
5 décembre 2008
1
Table des matières
1 Motivations
3
2 Quelques rappels
4
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Algèbre Grassmannienne . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formes diérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . .
k -densité de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Image Gaussienne pondérée (première approche) . . .
Homogénéité, convexité, ellipticité (première approche)
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3 Constructions fondamentales
3.1
3.2
3.3
Image Gaussienne pondérée (le retour) . . . . . . . . . . . . .
Fonctionnelles d'aires de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . .
Convexité et ellipticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Théorèmes et preuves
4.1
4.2
4.3
Enoncés des théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve du Théorème 3 (esquisse) . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve du Théorème 2 (esquisse) . . . . . . . . . . . . . . . .
2
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8
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13
16
Introduction
Le Problème de Minkowski est une question qui survient de manière "naturelle" lorsqu'on s'intéresse à l'aire de surfaces dans un espace.
Grosso modo, la question est de savoir si on peut construire un polyèdre de
bord contenu dans un plan donné à partir des seules directions (orientées) de
ses faces, et des aires totales des faces ayant une même direction (orientée).
Cette question admet une réponse plutôt simple si on considère un hyperplan,
mais se complique considérablement si on considère des faces de codimension
supérieure.
Le but de ce séminaire est de donner une introduction à ce sujet, concentrée sur quelques résultats récents (tirés d'un article de D. Burago et
S. Ivanov ; CF. [1]).
1
Motivations
Problème (Problème de Minkowski).
Soit P⊂ Rn un k-plan, k<n.
Soient {ei }i=1,...,r , des k-plans orientés, {ai }i=1,...,r , des réels positifs.
Question : existe-t-il une surface polyédrale orientée S, telle que :
1. ∂S ⊂ P
2. ∀Fj , Fj face de S : Fj est parallèle et de même orientation que ei , pour
un certain i
P
3.
Fj kei A(Fj ) = ai , où A représente l'aire de la face.
Pour le cas k = n − 1, la solution est donnée par le
Théorème (Théorème d'existence de Minkowski pour les polytopes).
Rn ,
Soient
et α1 , ..., αK ∈ Rn+
u1 , ..., uK ∈
des vecteurs unitaires qui engendrent
des scalaires strictement positifs.
Alors : (il existe un polytope P ⊂ Rn tel que les vecteurs normaux des faces
sont précisément les vecteurs ui , avec aire associée αi ) ⇐⇒ (α1 u1 + ... +
αK uK = 0).
Dans ce cas, P est unique à translation près.
Rn
Ainsi, la condition de "`linéarité"' α1 u1 + ... + αK uK = 0 est nécessaire,
et presque susante : il faut juste en plus supposer que les vecteurs ui engendrent Rn (voir par exemple [2] pour la version "complète", et [3] pour la
version bidimensionnelle simple).
Dans le cas général, il n'y a en principe pas de solution (déjà pour le cas
n = 4 et k = 2), c'est pourquoi on reformule le problème dans une version
aaiblie :
Problème (Problème de Minkowski aaibli).
Soit P⊂ Rn un k-plan, k<n.
Soient {ei }i=1,...,r , des k-plans orientés, {ai }i=1,...,r , des réels positifs.
Question : ∀ > 0, existe-t-il une surface polyédrale orientée S, telle que :
3
1. ∂S ⊂ P
P
2.
Fj kei A(Fj ) = ai , où A représente l'aire de la face
3. l'aire totale des faces parallèles à aucun des ei est inférieure à .
On va voir que pour une certaine classe de surfaces, il existe une condition
similaire à la condition de "linéarité" du Théorème de Minkowsi, et qui
garantit l'existence de S .
2
Quelques rappels
Cette section contient les rappels d'outils qui sont utilisés dans notre
contexte.
2.1 Algèbre Grassmannienne
(tiré de [4] et [5])
Soient V un espace vectoriel réel, et k ∈ N un entier naturel.
Dénition.
Un k -tenseur est une fonction multilinéaire τ : V k → R.
Dénition.
Λk V est l'ensemble des k -tenseurs alternés sur V. En particulier : L = R, Λ1 V = V .
k
Λ∗ V := ∞
k=0 Λ V est appelée algèbre extérieure, ou algèbre Grassmannienne
de V.
Λ0 V
Dénition.
Sur Λ∗ V , on peut dénir le produit extérieur "∧", qui a les
propriétés suivantes :
x ∈ Λk V , y ∈ Λl V =⇒ x ∧ y = (−1)kl y ∧ x
x ∧ x = 0, ∀ x ∈ V
(x1 , ..., xn ) ∈ V n linéairement dépendants ⇐⇒ x1 ∧ ... ∧ xn = 0.
Dénition.
v ∈ Λk V est appelé k -vecteur décomposable, ou k -vecteur simple
:⇔ ∃ x1 , ..., xk ∈ V = Λ1 V, tels que v = x1 ∧ ... ∧ xk .
L'ensemble des k -vecteurs simples sur V est noté Λks V .
Propriétés.
1. Un k -vecteur ξ est simple ⇐⇒ Tξ := {v ∈ V |v ∧ ξ = 0}
est un k -espace vectoriel.
2. Pour des vecteurs simples ξ et η : Tξ = Tη ⇐⇒ ξ = cη , c ∈ R.
3. ξ ∈ Λk V simple, non-nul, η ∈ Λl V simple, non-nul =⇒ (ξ ∧ η 6= 0 ⇔
Tξ∧η = Tξ ⊕ Tη ).
4. ξ ∈ Λk V simple et non-nul =⇒ (Tξ ⊂ Tη , η ∈ Λl V simple et non nul
⇔ ∃ ζ ∈ Λl−k V tel que η = ξ ∧ ζ).
Ces propriétés motivent la
4
Dénition. Grk (V ) désigne l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimen-
sion k de V . On peut notamment le voir comme quotient Grk (V ) = Λks V / ∼,
avec la relation d'équivalence ξ ∼ η :⇔ ξ = cη , c ∈ R, ξ, η des vecteurs
simples.
Grk+ (V ) est l'ensemble des sous-espaces vectoriels orientés de dimension k
de V .
Dans notre cas, l'espace vectoriel de base est V = Rn , et on parlera donc
plus volontiers de k -plans orientés plutôt que de k -sous-espaces vectoriels
orientés. L'ensemble des k -plans orientés sera noté G(k, n), et appelé Grassmannienne.
On notera GC(k, n) l'ensemble des k -vecteurs simples sur Rn , appelé cône
Grassmannien.
2.2 Formes diérentielles
(tiré de [5] et [6])
Soit M une variété diérentielle, et k ∈ N un entier naturel.
S
Dénition. ω : M −→ Λk T ∗ M = p∈M Λk Tp∗ M diérentiable est une kforme diérentielle :⇐⇒ prp ◦ ω = idM , prp la projection Λk T ∗ M → M
(autrement dit si pour tout p ∈ M, ω(p) ∈ Λk Tp∗ M ).
L'ensemble des k -formes diérentielles sur M est noté Ωk (M ).
Si la dimension
P de M est n, alors ω admet une représentation en coordonnées
P
locales ω = 1≤i1 ≤...≤ik ≤n fi1 ,...,ik dxi1 ∧ ... ∧ dxik , abréviée ω = I fI dxI ,
où I = {i1 , ..., ik } est un ensemble d'indices croissants de cardinalité k < n.
Les formes diérentielles présentent l'avantage de "bien se comporter"
sous les changements de coordonnées notamment.
On peut "étirer" une forme diérentielle d'une variété à une autre comme
suit :
Dénition.
Soit Φ : M −→ N diérentiable, entre deux variétés diérentielles M et N . Si ω estP
une forme diérentielle sur N , alors son pullback
∗
∗
Φ ω donné par Φ ω = I (fI ◦ Φ)dΦI , où dΦI désigne le changement de
coordonnées induit par Φ, est une forme diérentielle sur M .
Il est de plus possible d'obtenir une (k + 1)-forme diérentielle à partir
d'une k -forme diérentielle :
Dénition. La dérivée extérieure est l'unique fonction d : Ωk (M ) −→ Ωk+1 (M )
telle que :
si f ∈ Ω0 (M ), i.e. si f est une fonction sur M , alors df est la diérentielle de f .
d est R−linéaire
5
pour φ ∈ Ωk (M ), d(φ ∧ ψ) = dφ ∧ ψ + (−1)k φ ∧ dψ
d ◦ d=0
La prochaine étape est l'intégration d'une forme diérentielle. Pour cela,
on introduit d'abord la
Dénition.
Une fonction diérentiable c : [0, 1]k −→ M est appelé k -cube
singulier.
P
Pour des k -cubes singuliers ci , on dénit la k -chaine C := i ai ci , pour des
réels ai .
Le bord
P∂c d'un
P k -cube singulier est la (k − 1)-chaine donnée par :
ˆ
∂c := ki=1 =0,1 (−1)i+
P[(t1 , ..., ti , ..., tk ) 7−→
P c(t1 , ..., ti−1 , , ti+1 , ..., tk )].
Pour une k -chaine C = i ai ci , on a ∂C = i ai ∂ci .
On peut maintenant dénir l'intégrale d'une forme diérentielle sur un
cube singulier :
Dénition.
Soit ω ∈ Ωk (M ), et soit Rc : [0, 1]Rk −→ M un cube singulier.
L'intégrale de ω sur c est donnée par c ω := [0,1]k c∗ ω .
L'intégrale d'une forme diérentielle sur une chaine est dénie de manière
analogue, et on a alors le
Théorème
(Théorème de Stokes pour une chaine)
R . Soit RC une k -chaine et
ω une (k − 1)-forme diérentielle sur M . Alors ∂C ω = C dω .
On peut étendre cet énoncé aux variétés diérentielles, moyennant quelques
adaptations et restrictions :
Théorème (Théorème de Stokes). Soit M une n-variété diérentielle orientée à bord,
et ω Rune (n − 1)-forme diérentielle à support compact.
R
Alors M dω = ∂M i∗ ω , où i : ∂M −→ M est l'inclusion canonique.
L'avantage des formes diérentielles est qu'elles ne sont pas sensibles
à des changements de coordonnées. Autrement dit, l'intégrale d'une forme
diérentielle sur une variété diérentielle ne dépend pas de l'atlas associé à
la variété.
De plus, si on change l'orientation de la variété, alors l'intégrale ne fait que
changer de signe.
2.3 Homologie singulière
(tiré de [7])
Soient n ∈ N, Rn+1 muni de la base canonique e0 , e1 , ..., en , et p ∈ N,
p ≤ n.
n+1
Dénition.PLe p-simplexe
P standard de R
est donné par :
∆p := {x = pi=0 λi ei | pi=0 λi = 1, 0 ≤ λ ≤ 1}.
Fip : ∆p−1 −→ ∆p est la i-ème face de ∆p (la face opposée au sommet ei ).
6
Dénition. Soit X un espace topologique. σp : ∆p −→ X est appelé psimplexe singulier.
La i-ème face σ (i) de σ est donnée par σ (i) := σ ◦ Fip .
Dénition. Pour des p-simplexes
singuliers σpi et des scalaires nσpi , on peut
P
construire la p-chaine c := σp nσpi σpi .
i
c est dite à coecients dans R, respectivement Z :⇐⇒ les scalaires nσpi sont
des éléments de R, respectivement Z.
P
Le bord ∂p σ de σ est la P
(p − 1)-chaine donnéePpar ∂p σ := pi=0 (−1)i σ (i) .
Pour une p-chaine c = σ nσ σ , on a ∂p c := σ nσ ∂p σ .
Une p-chaine c est appellée p-cycle :⇐⇒ ∂p c = 0.
Dénition.
Soit f : Ω −→ Rn une fonction (Ω ⊂ Rn ouvert).
Le p-simplexe ∆p est dit Lipschitzien :⇐⇒ ∆p = f (∆0p ), avec f Lipschitzienne, et où ∆0p P
représente le p-simplexe standard de Rn .
La p-chaine c = σ nσ fσ est dite Lipschitzienne :⇐⇒ fσ : ∆0p −→ Rn est
Lipschitzienne ∀ σ .
2.4 Théorème de Hahn-Banach
(tiré de [8])
L'utilisation du Théorème de Hahn-Banach est une des étapes importantes d'une preuve qui va être présentée.
Dénition.
Soit V un espace vectoriel réel.
Une fonctionnelle p : V −→ R est appelée semi-norme :⇐⇒ (p(αv) =
|α|p(v), et p(u + v) ≤ p(u) + p(v), ∀u, v ∈ V, α ∈ R).
Théorème (Théorème de Hahn-Banach).
Soient V un espace vectoriel réel,
et U ⊂ V un sous-espace vectoriel.
Soient p : V −→ R une semi-norme, et g : U −→ R une fonctionnelle
linéaire telle que |g(u)| ≤ p(u), ∀ u ∈ U .
Alors : il existe une fonctionnelle linéaire f : V −→ R qui prolonge g (i.e.
telle que g = f|U ), et telle que |f (v)| ≤ p(v), ∀ v ∈ V .
2.5
k -densité
de volume
[9])
Dénition. Soit
(tiré de
k ∈ N. Une k -densité sur un espace vectoriel réel V est
une fonction continue φ : GC(k, n) −→ R, qui est homogène (i.e. telle que
φ(λa) = |λ|φ(a), ∀ a ∈ V, λ ∈ R).
φ est appelée k -densité de volume :⇐⇒ (φ(a) ≥ 0 ∀ a ∈ GC(k, n), et φ(a) =
0 ⇔ a = 0).
On peut dénir une k -densité de volume sur une variété diérentielle M en
considérant pour chaque p ∈ M l'espace cotangent Tp∗ M .
7
L'intégration d'une k -densité de volume se dénit de manière analogue à
l'intégration d'une forme diérentielle comme suit :
Dénition.
Soit M une variété diérentielle de dimension n. L'intégrale de
la k -densité
de
R
R volume φ sur une sous-variété orientée N ⊂ M est donnée
par N φ := N ω , où ω est la forme diérentielle de volume sur M telle
que ω(x1 ∧ ... ∧ xn ) := φ(p; x1 ∧ ... ∧ xn ) si la base (x1 , ..., xn ) est orientée
positivement, ω(x1 ∧ ... ∧ xn ) := −φ(p; x1 ∧ ... ∧ xn ) sinon.
On remarque cette fois que l'intégration est indépendante à la fois de
l'orientation et de la paramétrisation (en fait, on a pour une k -forme diérentielle ω que |ω| est une k -densité de volume).
De plus, il est possible d'intégrer une k -densité de volume sur une variété
non-orientée, ce qui n'est pas le cas d'une forme diérentielle.
2.6 Image Gaussienne pondérée (première approche)
(tiré de [9])
Soit P ⊂ Rn un polyèdre de faces F1 , ..., Fm (m > n).
A chaque face Fi on associe un k -vecteur simple ai tel que :
< ai >:= {x ∈ Rn |ai ∧ x = 0} ⊂ Rn est parallèle à Fi
l'aire de Fi est égale à la "norme" de ai .
Dénition. L'image Gaussienne de P est l'ensemble {a1 , ..., am } ⊂ GC(k, n).
Dénition.
Si φ est une k -densité de volume sur Rn , alors le k -volume de
P (par rapport à φ) est donné par φ(P) := φ(a1 ) + ... + φ(am ).
On peut modier un peu les dénitions ci-dessus pour se rapprocher de
la formulation qui nous intéresse :
Dénition.
L'image Gaussienne pondérée de P est formée par les ensembles
{e1 , ..., em } ⊂ GC(k, n) et {α1 , ..., αm } ⊂ R+ tels que ∀ i = 1, ..., m, ei soit
le vecteur unitaire de même orientation que ai , et ai = αi ei .
Et pour le k -volume :
Dénition.
Si φ est une k -densité de volume sur Rn , alors le k -volume de
P (par rapport à φ) est donné par φ(P) := α1 φ(e1 ) + ... + αm φ(em ).
2.7 Homogénéité, convexité, ellipticité (première approche)
(tiré de
[1])
Dénition.
Soit Φ : GC(k, n) −→ R une fonctionnelle d'aire.
Φ est dite homogène :⇐⇒ φ(λa) = |λ|φ(a), ∀ a ∈ V, λ ∈ R.
8
Φ est dite convexe :⇐⇒ Φ peut être étendue à une fonction convexe
sur tout Λk Rn (rappel : f est convexe sur Ω :⇔ f (tx + (1 − t)y) ≤
tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ Ω, t ∈ [0, 1]).
Φ est dite elliptique :⇐⇒ Φ(D) ≤ Φ(α), D un disque dans un k -plan
tel que ∂D = ∂α, α une surface.
Ces trois propriétés sont celles que l'on attend en principe lorsqu'on veut
dénir un volume sur des surfaces. On verra par la suite que les deux dernières
sont liées, et même équivalentes dans certains cas.
3
Constructions fondamentales
Après avoir rappelé tous ces outils, on peut s'attaquer aux constructions
nécessaires à notre investigation.
Remarque.
Dans ce qui suit et sans mention explicite contraire, on se
place dans Rn , considéré tantôt comme espace vectoriel, tantôt comme espace normé.
3.1 Image Gaussienne pondérée (le retour)
On va étudier de plus près l'image Gaussienne pondérée introduite dans
la section précédente :
Dans le cas général et grosso modo, l'image Gaussienne pondérée d'une
k -chaine singulière Lipschitzienne orientée dans Rn peut être vue comme une
mesure sur l'ensemble GC(k, n), mesurant l'aire de la partie de la chaine où
son plan tangent est parallèle à une certaine direction.
Pour simplier les choses, on va se restreindre au cas d'une k -chaine polyédrale S . Dans ce cas, l'image Gaussienne pondérée donne l'aire des faces
qui ont une direction donnée.
Plus formellement : (Ω ⊂ Rn un ouvert)
Soit S : Ω −→ Rn une k -surface Lipschitzienne orientée (on parlera de
surface soit pour l'application, soit pour son image dans Rn ).
Pour un ouvert Ω ⊂ Rn , on a l'application de Gauss f : Ω −→ G(k, n),
p 7−→ Tp S (qui à chaque point associe son plan tangent)
Sur le même Ω on peut dénir le volume euclidien µ
L'application d'image Gaussienne µS : G(k, n) −→ R est donnée
comme le push-forward de µ par f , i.e. µS := f∗ µ, avec pour v ∈
B(G(k, n)) : f∗ µ(v) := µ(f −1 (v)).
On va maintenant associer à un k -plan orienté son vecteur normal de
même aire, construisant ainsi l'image Gaussienne de ce k -plan :
9
Dénition 1.
Soit µ : Ω −→ R une mesure. On dénit
Z
E(µ) :=
i dµ ∈ G(k, n),
G(k,n)
où i : G(k, n) −→ Λk Rn est l'inclusion canonique.
L'inclusion canonique i donnée dans cette dénition est construite comme
suit : pour un k -plan orienté P ∈ G(k, n), on choisit une base orthonormale
positivement orientée x1 , ..., xk , et on l'envoie sur x1 ∧ ... ∧ xk ∈ Λk Rn .
En particulier, dans le cas d'un k -simplexe singulier ane σ , on a E(µσ ) =
E(σ), k -vecteur simple parallèle à P
σ et de même aire.
De même P
pour une k -chaine c := i ai σi , σi des k -simplexes singuliers, on
a E(c) = i ai E(σi ).
On peut voir qu'en fait E(µ) ne dépend que du bord ∂S de la surface
S (idée : avec le Théorème de Stokes). Cela motive à écrire E(µ) comme
span(∂S) (où "span" est déni d'une certaine manière), et permet ainsi
d'exprimer formellement la condition "le bord de S est parallèle à un k -plan
donné".
L'ensemble des images Gaussiennes (pondérées) intervient ici, car on peut
voir (ce sera en fait l'armation du Théorème 1) que sa fermeture est précisément l'ensemble de toutes les mesures réalisables par les surfaces à bord
dans un k -plan donné (autrement dit, les seules mesures pouvant respecter
la condition E(µ)kP sont les images Gaussiennes pondérées et leurs limites).
3.2 Fonctionnelles d'aires de surfaces
L'étude du problème général de Minkowski fait aussi intervenir la question suivante : "Les régions plates sont-elles minimisantes (pour un bord
donné) ?"
On peut voir que la réponse dière selon les cas que l'on considère, mais
cette question amène naturellement à étudier le problème de la relation entre
convexité et ellipticité pour des fonctionnelles particulières.
Sur le cône Grassmannien GC(k, n) on peut se donner une k -densité de
volume A : GC(k, n) −→ R+ localement bornée et positivement homogène
(i.e. A(λv) = λA(v), ∀ λ ∈ R+ , v ∈ Rn ). S'ensuit alors la
Dénition 2.
Une fonctionnelle d'aire de surface de dimension k associée
à A est AreaA donnée par
Z
AreaA (S) :=
A(Tp S) dm(p) ∈ R,
S
10
où S : Ω −→ Rn est une k -surface orientée, m est l'aire euclidienne, et Tp S
est vu comme un élément de GC(k, n).
R
Propriétés.
On peut voir qu'on a aussi AreaA (S) = GC(k,n) A dµS ,
µS l'image Gaussienne de S .
Pour un k -simplexe ane σ , on a AreaA (σ) = A(E(σ)).
P
Pour une k -chaine Lipschitzienne
à coecients positifs S = i ai Si ,
P
on dénit AreaA (S) := i ai AreaA (Si ).
3.3 Convexité et ellipticité
Le but de cette sous-section est d'énoncer des conditions qui permettraient de voir "simplement" si une fonctionnelle d'aire est convexe, respectivement elliptique, ou non.
Dénition 3.
Soit A : GC(k, n) −→ R une k -densité de volume.
L'enveloppe convexe de v ∈ Λk Rn par rapport à A est donnée par
(
)
X
ConvA (v) := inf
A(vi ) ,
i
où l'inmum est pris par rapport aux représentations v =
P
i vi ,
vi ∈ GC(k, n).
On a alors évidemment les
Propriétés.
A convexe ⇐⇒ ConvA (v) = A(v), ∀ v ∈ GC(k, n)
ConvA est la fonction maximale qui n'excède pas A.
Pour la question de l'ellipticité, la réponse est diérente selon que l'on
considère des chaines sur Z ou sur R. D'où (a posteriori) la distinction dans
la
Dénition 4.
Soit A : GC(k, n) −→ R une k -densité de volume.
Les enveloppes elliptiques de A sur Z, resp. R : AZ : GC(k, n) −→ R, resp.
AR : GC(k, n) −→ R, sont données pour v ∈ GC(k, n) par :
AZ (v) := inf {A(ci )} ,
respectivement
AR (v) := inf {A(ci )} ,
où les ci sont toutes les k -chaines sur Z, resp. R, dont le bord coïncide avec
le bord d'un k -simplexe σ tel que E(σ) = v .
On a de plus les
Propriétés.
AZ et AR ne dépendent pas du choix de σ .
11
AZ et AR sont positivement homogènes sur GC(k, n).
AreaAZ et AreaAR sont elliptiques sur Z, resp. R.
AZ , resp. AR , est la fonctionnelle elliptique maximale d'aire de surface
sur Z, resp. R, qui n'excède pas A.
Soit A une k -densité de volume quelconque.
L'ellipticité sur R implique clairement l'ellipticité sur Z. Donc AR ≤ AZ .
De plus, on peut voir que si A est convexe, alors AreaA est elliptique, d'où
ConvA ≤ AR .
Ainsi, on a que ConvA ≤ AR ≤ AZ , ce qui revient à dire que la convexité de
A implique son ellipticité.
Par contre, comme l'ellipticité sur Z n'entraine pas l'ellipticité sur R, la
réciproque n'est pas forcément vraie.
4
Théorèmes et preuves
Après toutes ces préparations, on est en mesure d'énoncer quelques résultats intéressants, et d'en donner des idées de preuve.
Dans ce qui suit, on reprendra les mêmes notations et conventions que jusqu'à présent (en particulier la k -densité de volume A et les fonctionnelles qui
s'y rattachent).
4.1 Enoncés des théorèmes
L'article de Burago et
central suivant :
Ivanov
([1]) présente notamment le résultat
Théorème 1.
R
Soit µ une mesure sur GC(k, n) telle que E(µ) = GC(k,n) idµ
soit parallèle à un k -plan orienté P ∈ G(k, n).
Alors pour tout voisinage Uµ de µ dans l'ensemble des mesures sur GC(k, n),
il existe µ0 ∈ Uµ telle que µ0 soit réalisable comme image Gaussienne (pondérée) d'une surface S dont le bord est dans P (i.e. ∂S ⊂ P ).
De manière équivalente, cela signie que les images Gaussiennes (pondérées) des surfaces à bord dans P sont denses dans l'espace des mesures µ
telles que E(µ)||P .
Ce résultat découle de sa version polyédrale "renforcée" :
Théorème 2.
Soient {αi }i∈I , I un ensemble d'indices de cardinalité nie,
un sous-ensemble de vecteurs unitaires de GC(k,
P n), et soit pour le même
I : {ai }i∈I , un sous-ensemble de R, tels que i∈I ai αi = aα, où a > 0, et
α ∈ GC(k, n) unitaire.
Soit de plus > 0.
Alors il existe une surface polyédrale S telle que :
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1. ∂S ⊂ P , P un k -plan ane parallèle à α.
n o P
2. {f aces de S} = Fj1 ∪˙ Fk2 , avec j A(Fj1 ) < , et ∀ k , ∃ l ∈ I tel
P
que Fk2 ||αl avec même orientation, et F 2 ||αl A(Fk2 ) = al .
k
On remarque que c'est la version généralisée du Théorème d'Existence
de Minkowski rencontré au début de ce document.
Le Théorème 2 nécessite enn pour sa démonstration le
Théorème 3.
Si une fonctionnelle d'aire est elliptique sur R, alors elle est
convexe.
Dans ce cas, son enveloppe elliptique est égale à son enveloppe convexe.
Dans ce qui va suivre, on ne donnera que quelques idées de la preuve de
ce Théorème, puis du Théorème 2.
4.2 Preuve du Théorème 3 (esquisse)
On ne va donner ici que le point de départ de la preuve, puis esquisser
les pas qui la composent.
Soit V un espace vectoriel réel de dimension nie.
Dénition.
On désignera par Q l'ensemble des k -chaines simpliciales linéaires par morceaux sur R, dans V . C'est un espace vectoriel de dimension
nie.
De plus, on désignera par R le sous-espace vectoriel de Q engendré par tous
les k -simplexes dégénérés et les bords des (k + 1)-simplexes dégénérés.
On pose Sk (V ) := Q/R, i.e. Sk (V ) est l'ensemble des chaines simpliciales,
avec identication entre la chaine et toutes ses triangulations, et entre chaque
simplexe et (−1) fois le simplexe d'orientation opposée.
En fait, cette construction un peu spéciale permet de simplier les choses,
en s'annexant des problèmes de choix de triangulation ou d'orientation pour
les simplexes qui composent les chaines. C'est pourquoi, par abus de langage,
on nommera tout de même "chaines" les éléments de Sk (V ).
On peut voir facilement que l'application de bord ∂ : Sk (V ) −→ Sk−1 (V )
est bien dénie.
Dénition.
On pose Ck−1 (V ) l'ensemble des chaines fermées de Sk−1 (V )
(i.e. l'ensemble des chaines S ∈ Sk−1 (V ) telles que ∂S = 0).
On va encore "restreindre" ces espaces :
Dénition.
Soit W ⊂ V un sous-espace vectoriel orienté de dimension k .
On pose
) le sous-espace de Ck−1 (V ) des chaines dont les simplexes
W (V ) le sous-espace de S
sont parallèles à W , et Sk−1
k−1 (V ) des chaines dont
les simplexes sont parallèles à W .
W (V
Ck−1
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Ces dénitions sont motivées par le fait qu'il est plutôt aisé de construire
W (V ) (à cause du parallélisme et
une fonctionnelle d'aire elliptique sur Ck−1
de la condition de fermeture) que directement sur Sk−1 (V ).
La stratégie de la preuve sera donc la suivante :
W (V ), que l'on
1. On dénit une fonctionnelle d'aire elliptique sur Ck−1
étend (avec Hahn-Banach) à Ck−1 (V )
2. On étend ensuite cette dernière fonctionnelle à Sk−1 (V )
3. On rend la fonctionnelle lisse, tout en conservant son ellipticité
4. On construit une forme diérentielle induite par la fonctionnelle lisse
elliptique, et on conclut à la convexité de cette dernière (avec Stokes)
La première idée est donc de dénir une fonctionnelle d'aire elliptique
W (V ) puis d'utiliser le Théorème de Hahn-Banach pour étendre cette
sur Ck−1
fonctionnelle à Ck−1 (V ).
Pour cela, il nous faut encore la
Dénition 5.
Soit c ∈ Ck−1 (V ).
On pose F illA (c) := inf {AreaA (s)|s k − chaine telle que ∂s = c}.
On peut voir que F illA est une semi-norme, et correspond à l'"aire minimale qui remplit c".
Pour un k -simplexe ane σ , on a que si A est R-elliptique, alors F illA (∂σ) =
AreaA (σ).
Passons alors au
Pas 1
Dénition.
L'"aire algébrique" l : SkW (V ) −→ R pour un c ∈ SkW (V ) est
donnée par :
l(c) := A(E(c)), si E(c) est orienté positivement, resp. par l(c) := −A(−E(c))
sinon.
Pour un k -simplexe orienté s, on a évidemment l(s) = F illA (s).
On étend alors l à toutes les chaines par linéarité comme suit :
Dénition.
W (V ) −→ R est donnée pour c ∈ C W (V ) par L (c) :=
L0 : Ck−1
0
k−1
l(s), où s est l'unique k -chaine dans SkW (V ) telle que ∂s = c.
On vérie alors la dernière hypothèse qui nous manque pour utiliser le
Théorème de Hahn-Banach :
Lemme 1.
W (V ) quelconque.
Soit c ∈ Ck−1
Alors |L0 (c)| ≤ F illA (c).
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Le Théorème de Hahn-Banach permet alors de déduire l'existence d'une
fonctionnelle L1 : Ck−1 (V ) −→ R qui étend L0 , et telle que |L1 | ≤ F illA sur
Ck−1 (V ).
On a de plus pour L1 les propriétés d'ellipticité
1. L1 (c) ≤ F illA (c), ∀ c ∈ Ck−1 (V )
2. L1 (c) = F illA (c) ⇔ c est le bord d'un k -simplexe orienté positivement
et parallèle à W .
Une diculté consiste à étendre L1 en conservant ces propriétés.
Pas 2
On étend L1 à une fonctionnelle localement bornée L : Sk−1 (V ) −→ R.
Pas 3
On rend L lisse en conservant les deux propriétés d'ellipticité vues plus haut.
Pour cela, on construit la convolution L̃ de L avec une fonction lisse K .
L'idée est ensuite de considérer
P les densités fp : V −→ R données implicitement pour une k -chaine CP= R iai ci (ci des simplexes positivement orientés)
par l'expression L(C) = i ai ci fp .
On peut alors trouver des densités f˜p associées à L̃ de manière analogue à
ci-dessus. Ces densités ont la particularité d'être lisses.
Pas 4
L'idée est ensuite de construire une (k − 1)-forme diérentielle ω sur V à
partir des densités fp .
On a en eet que les fp déterminent de manière unique ω sur des (k − 1)tuplets de vecteurs tangents dans V comme suit :
Pour un point q ∈ V , on se donne un (k − 1) sous-espace P de Tq V , et (k − 1)
vecteurs vi ∈ Tq V tels que vi ⊂ P ∀ i. Alors ω(v1 , ..., vk−1 ) := fp (q) S , où S
désigne l'aire de Lebesgue (orientée) du parallélépipède engendré par les vi .
Il est clair que ω est antisymétrique.
Il faut encore montrer que
Lemme 2.
ω est linéaire dans chaque argument.
On a alors construit une (k − 1)-forme diérentielle sur V .
Il
s'ensuit
que pour la k -forme dω et pour un k -simplexe σ , on a L̃(∂σ) =
R
σ dω .
On se donne alors un point q ∈ V , et on considère des petits k -simplexes autour de q : on a L̃ ≤ F illA , et pour tout k -simplexe σ , F illA (∂σ) = AreaA (σ).
Donc, dωq ≤ A sur GC(k, n) ∀q ∈ V , avec égalité pour les k -vecteurs simples
parallèles à W .
Par conséquent, pour tout point q ∈ V , dωq vue comme fonction linéaire (et
donc convexe) sur Λk V est un support de A pour les points correspondants
à W , et donc A est convexe par dénition.
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Enn, on a que l'enveloppe elliptique AR est R-elliptique, et donc convexe
(par ce qui précède).
Or, on a vu que AR ≥ ConvA , et que l'enveloppe convexe est le maximum
des fonctions convexes bornées inférieurement par A sur GC(k, n).
Donc AR = ConvA .
4.3 Preuve du Théorème 2 (esquisse)
La preuve du Théorème 2 s'eectue en deux temps :
1. On construit une chaine S̃ qui satisfait les hypothèses du Théorème
pour 0 := /2 et telle que ∂ S̃ = ∂σ , pour un k -simplexe σ d'aire a
dans P .
2. On modie S̃ pour obtenir S (il s'agit d'un pas plutôt technique)
Le seul pas qui sera esquissé ici est le
Pas 1
On
PNse donne α, α1 , ..., αN ∈ GC(k, n) unitaires, et a1 , ..., aN ∈ R+ , tels que
i=1 ai αi = aα pour un a ≥ 0.
L'idée est d'extraire de l'ensemble des {αi }i=1,...,N un sous-ensemble {βi }i=1,...,M
P
tel qu'on ait de manière unique la représentation aα = M
i=1 bi βi , pour des
coecients bi > 0 (on peut supposer sans restreindre la généralité qu'il s'agit
des M premiers vecteurs de {αi }i=1,...,N (M ≤ N )).
On introduit alors la densité d'aire A : GC(k, n) −→ R telle que A(βi ) = 0
∀ i = 1, ..., M , et que pour v ∈ Λk Rn , si −v est parallèle et d'orientation
opposée à un βi , alors A(v) := 1.
Il suit par dénition : ConvA (aα) = 0.
Le Théorème 3 permet de déduire alors que AR (aα) = 0.
Alors, pour un k -simplexe σ 0 tel que E(σ 0 ) = aα, et pour tout δ > 0, il existe
une k -chaine réelle S telle que ∂S = ∂σ 0 , et que AreaA (S) < δ .
On peut alors distinguer deux cas selon le rapport qu'entretiennent les
coecients ai et bi :
Dans le cas "simple", la chaine S̃ est alors construite comme réunion de la
chaine S dénie ci-dessus (avec σ := σ 0 ), et d'une chaine fermée S 0 dont
l'aire maximale des faces ne dépasse pas /2.
Dans le cas plus compliqué, on obtient S̃ comme réunion de l'image de S par
une homotétie adéquate, et d'une surface respectant certaines conditions et
dont l'aire totale des faces n'excède pas /2.
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On a ainsi construit une chaine simpliciale S̃ d'image Gaussienne pondérée donnée (modulo des faces d'aire totale aussi petite que l'on veut), et de
bord donné (bord d'un k -simplexe donné).
Pas 2
Le dernier pas, essentiellement technique, consiste à transformer S̃ en une
surface polyédrale S .
Références
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[2]
[3]
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in : Geometric and Functional Analysis 14 (2004), pp. 469-490.
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Analyse Fonctionelle I/II, Notes manuscrites du cours par M. Jacquemet, Université de Fribourg.
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Bader, P.
Alvarez, J.C.
Remarque.
La gure de couverture est tirée de http ://de.wikipedia.org/w/
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à jour le 05.12.2008)
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