les probabilites conditionnelles epreuves de bernoulli

Terminales ES Probabilités conditionnelles Epreuves de Bernoulli 2010–2011
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LES PROBABILITES CONDITIONNELLES
EPREUVES DE BERNOULLI
I. Arbres de probabilités :
1) Règles de construction :
Dans un arbre :
la somme des probabilités portées par les branches issues d'un même point vaut 1.
la probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités portées par les branches qui
aboutissent à cet événement.
2) Lecture d'un arbre pondéré :
a) Définition :
Soit A et B deux événements d'un même univers. On suppose que P(B) 0.
La probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé se note PB(A) ou P (A/B ) et on a :
PB (A) = P ( A B )
P (B)
b) Conséquence :
si P(B) 0 alors P (A B ) = PB (A) P(B)
P(A) + P(A) = 1
PA(B) + PA(B) = 1
PA (B) + PA (B) = 1
P(B) = P( B A ) + P ( B A )
P(B ) = P ( B A ) + P ( B A )
P(A)
P(A)
PA(B)
PA (B)
PA (B)
A
B
B
B
B
A
PA (B)

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3) Il faudra savoir inverser un arbre.
Exemple : 60% d'une population est vaccinée (V) contre une maladie.
On constate que 5% des personnes vaccinées font une réaction allergique A à un produit.
Parmi les personnes non vaccinées, 10% sont victimes d'une réaction allergique A.
1) On choisit, au hasard, une personne vaccinée.
Calculer la probabilité d'obtenir une personne victime d'une réaction allergique.
2) On choisit, au hasard, une personne non vaccinée.
Calculer la probabilité d'obtenir une personne victime d'une réaction allergique.
3) Calculer la probabilité d'obtenir, parmi les personnes ayant une réaction allergique, une personne
vaccinée.
4) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique
et vaccinée.
5) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique.
6) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne ni victime d'une réaction allergique
ni vaccinée.
4) Il faudra savoir passer d'un arbre à un tableau à double–entrée et inversement.
Exemple : Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 vertes, 1 rouge, 1 noire et 1 jaune
notées respectivement V1 , V2 , R , N , J.
On prélève au hasard une boule de l'urne, dont on note la couleur et qu'on remet dans l'urne.
On recommence en tirant une 2ème boule dont on note aussi la couleur.
1) Combien y–a–t–il de résultats possibles pour cette expérience ?
Construire un arbre et un tableau à double-entrée.
2) Quelle est la probabilité p d'obtenir deux boules de la même couleur ?
P(B)
P(B)
PB(A)
PB (A)
PB (A)
B
A
A
A
A
B
PB (A)
PB(A) = P(A B )
P(B)

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III. Evénements indépendants :
1) Définition :
Deux événements A et B d'un même univers sont dits indépendants si PB (A) = PB (A) = P(A)
2) Conséquence :
PB (A) = P ( A B )
P (B) d'où P(A) = P ( A B ) P (B)
P(A B) = P(A) P(B) si A et B sont indépendants.
3) Exemple :
Un hypermarché vend par paquets d'un kilogramme, des clémentines et des oranges, en provenance d'Europe ( Espagne ou
Italie ) et du Maroc. Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné par le tableau ci–dessous :
Italie
Espagne
Maroc
Total
Clémentines
100
250
150
Oranges
300
550
650
Total
Un acheteur prend au hasard un paquet de 1 kilo de ces fruits.
1) Quelle est la probabilité des événements :
C : " acheter des clémentines " et I: " acheter un paquet italien "
2) Les événements C et I sont–ils indépendants ?
IV. Formule des probabilités totales :
1) Exemple :
Un magasin de jardinage fait une promotion sur une table de jardin et son lot de 4 chaises.
Après une semaine de promotion, on a pu établir que 10% des personnes entrant dans le magasin achètent une table.
Parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent aussi le lot de 4 chaises.
Parmi les personnes qui n'achètent pas la table, 10% achètent le lot de 4 chaises.
Une personne entre dans le magasin. On note :
T : " la personne achète une table " ; C : " la personne achète le lot de 4 chaises "
1) Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner PT(C).
2) a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de 4 chaises.
b) Calculer la probabilité que la personne n'achète pas de table, sachant qu'elle a acheté les chaises.
3) Quatre personnes entrent dans le magasin.
Calculer la probabilité qu'au moins une de ces personnes achète l'ensemble table et chaises.
2) Formule :
a) Définition d'une partition :
Les événements A1 , A2 , …,An forment une partition de l'univers si et seulement si :
A1 A2 … An = et pour tout i et j entiers variant de 1 à n , i j on a Ai Aj =
b) Formule des probabilités totales :
Si A1 , A2 , …,An forment une partition de l'univers
alors la probabilité d'un événement B de l'univers est égale à :
P(B) = P( B A1 ) + P( B A2 ) + …. + P( B An ) = i=1
n P( B Ai )
P(B) = P(A1) PA1 (B) + P(A2) PA2 (B) + … + P(An ) PAn(B) = i=1
n P(Ai) PAi (B)

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V. Schéma de Bernoulli :
1) Répétition d'expériences identiques et indépendantes:
a) avec 3 issues ( ou plus ):
Sur un trajet , on rencontre 3 feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante.
Le cycle de chaque feu est de 35s pour le vert, 5s pour le orange et 20s pour le rouge.
Quelle est la probabilité de rencontrer exactement 2 feux verts sur le trajet ?
b) avec 2 issues:
On parle dans ce cas d'épreuve de Bernoulli.
Un télévendeur démarche 3 clients par téléphone.
Le comportement d'un client est indépendant de celui des autres.
La probabilité qu'un client soit interréssé est 0,2.
Calculer la probabilité qu'aucun client ne soit interressé, puis qu'au moins un client soit interressé,
puis qu'au plus 2 clients soient interressés et enfin que 2 clients exactement soient interressés.
2) Epreuve de Bernoulli :
C'est une expérience aléatoire comportant 2 issues notées S ( succès ) et S ( échec ).
P(S) est la probabilité d'un succès. On la note p.
P(S) est la probabilité d'un échec. On la note q.
On a : p + q = 1 q = 1 – p.
3) Schéma de Bernoulli , loi binomiale:
Quand on reproduit plusieures fois , de manière indépendante , des épreuves de Bernoulli ,
la probabilité d'un succès est toujours la même.
On s'interresse alors au nombre de succès obtenus à la fin de n épreuves.
L'ensemble des résultats est E = { 0 , 1 , 2 , … , n }
La loi de probabilité sur E s'appelle la loi binomiale de paramètres n et p
avec n le nombre d'épreuves et p la probabilité d'un succès dans la loi de Bernoulli.
On la note B(n ; p).

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Exercices du cours
Exemple 1: 60% d'une population est vaccinée (V) contre une maladie.
On constate que 5% des personnes vaccinées font une réaction allergique A à un produit.
Parmi les personnes non vaccinées, 10% sont victimes d'une réaction allergique A.
1) On choisit, au hasard, une personne vaccinée.
Calculer la probabilité d'obtenir une personne victime d'une réaction allergique.
2) On choisit, au hasard, une personne non vaccinée.
Calculer la probabilité d'obtenir une personne victime d'une réaction allergique.
3) Calculer la probabilité d'obtenir, parmi les personnes ayant une réaction allergique, une personne
vaccinée.
4) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique
et vaccinée.
5) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne victime d'une réaction allergique.
6) Calculer la probabilité d'obtenir, dans la population, une personne ni victime d'une réaction allergique
ni vaccinée.
Exemple 2: Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 vertes, 1 rouge, 1 noire et 1 jaune
notées respectivement V1 , V2 , R , N , J.
On prélève au hasard une boule de l'urne, dont on note la couleur et qu'on remet dans l'urne.
On recommence en tirant une 2ème boule dont on note aussi la couleur.
1) Combien y–a–t–il de résultats possibles pour cette expérience ?
Construire un arbre et un tableau à double-entrée.
2) Quelle est la probabilité p d'obtenir deux boules de la même couleur ?
Exemple 3:
Un hypermarché vend par paquets d'un kilogramme, des clémentines et des oranges, en provenance d'Europe ( Espagne ou
Italie ) et du Maroc. Le nombre de kilogrammes mis en vente est donné par le tableau ci–dessous :
Italie
Espagne
Maroc
Total
Clémentines
100
250
150
Oranges
300
550
650
Total
Un acheteur prend au hasard un paquet de 1 kilo de ces fruits.
1) Quelle est la probabilité des événements :
C : " acheter des clémentines " et I: " acheter un paquet italien "
2) Les événements C et I sont–ils indépendants ?
Exemple 4:
Un magasin de jardinage fait une promotion sur une table de jardin et son lot de 4 chaises.
Après une semaine de promotion, on a pu établir que 10% des personnes entrant dans le magasin achètent une table.
Parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent aussi le lot de 4 chaises.
Parmi les personnes qui n'achètent pas la table, 10% achètent le lot de 4 chaises.
Une personne entre dans le magasin. On note :
T : " la personne achète une table " ; C : " la personne achète le lot de 4 chaises "
1) Traduire par un arbre pondéré la situation. Donner PT(C).
2) a) Calculer la probabilité que la personne achète un lot de 4 chaises.
b) Calculer la probabilité que la personne n'achète pas de table, sachant qu'elle a acheté les chaises.
3) Quatre personnes entrent dans le magasin.
Calculer la probabilité qu'au moins une de ces personnes achète l'ensemble table et chaises.