Nombres, Ensemble, Nombres premiers

Nombres, Ensemble, Nombres
premiers
I. Nombre
1. Qu’est-ce ?
Un nombre est compos´e d’un signe : + ou - et d’une distance `a z´ero, appel´e valeur absolue.
Exemple :
La valeur absolue de +3 est +3 = 3.
La valeur absolue de -3 est -3 = 3.
Remarque :
Deux nombres oppos´es ont la mˆeme valeur absolue.
2. ´ Ecriture scientifique
Rappel sur les puissances :
Notation : pour tout r´eel a et tout entier naturel n2, on a : ana a a
n facteurs
.
Par convention, nous avons : a1a a01an1
an
Propri´et´e :
Pour tous r´eels aet b, et tous entiers relatifs net m:
anamanmet par suite : an
amanam(pour tout a0).
anmanm
a b nanbnet par suite : a
b
nan
bn(pour tout b0).
La notation scientifique d’un nombre est de la forme : a10navec 1 a10 et n un entier relatif.
Exemples :
23 591 = 2,359 1 104
0,0548 = 5,48 10-2
II. Ensemble
D´efinition :
Un entier naturel est un nombre entier et positif.
Tous les entiers naturels forment un ensemble not´e N0; 1; 2; ... .
Exemple :
26 Nse lit ”26 appartient `a N”. Mais 3 N.
D´efinition :
Un entier relatif est un nombre entier pouvant ˆetre positif ou n´egatif.
Tous les entiers relatifs forment l’ensemble not´e Z...; 2; 1; 0; 1; 2; ...
Remarques :
Z comme Zahl en allemand qui signifie nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs, on dit que ”Nest inclus dans Z”, not´e : N Z. Mais
3,2Z
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D´efinition :
Un nombre d´ecimal est un quotient d’un nombre entier par une puissance de 10.
Exemple :
3,232
101est un nombre d´ecimal. Mais 2 3n’est pas un nombre d´ecimal.
L’ensemble des nombres d´ecimaux se note D.
On a : NZ D.
Remarque :
Un nombre d´ecimal est un nombre dont la partie d´ecimal est finie, c’est-`a-dire qui n’a qu’un nombre fini de
chiffres apr`es la virgule.
D´efinition :
Un nombre rationnel est un quotient de deux nombres entiers : p
qtel que pZet qN
Exemple :
2
3est un nombre rationnel.
L’ensemble des nombres rationnel se note Q.
On a : NZ D Q.
Attention : 2Q;πQ. Ils sont irrationnels.
L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels forment l’ensemble des nombres r´eels R.
On a : N Z D Q R
III. Arithm´etique : Nombres premiers
D´efinition :
On dit que
b divise a
b est un diviseur de a
a est divisible par b
, si le quotient exact de a par b est un nombre entier.
Exemples :
2 divise 48. 3 ne divise pas 10.
Crit`ere de divisibilit´e :
Un nombre entier est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unit´es est pair : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unit´es est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 4 si et seulement si le nombre form´e par ses deux derniers chiffres est
divisible par 4.
Un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Remarque :
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Un nombre entier est toujours divisible par 1 et lui-mˆeme.
D´efinition :
Un nombre est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-mˆeme.
Exemples :
2 ; 3 ; 5 sont premiers. 24 n’est pas premier, car 24 = 2 12.
Attention : 1 n’est pas un nombre premier.
D´ecomposition d’un nombre entier en facteurs premiers :
Th´eor`eme :
Tout entier naturel strictement sup´erieur `a 1 se d´ecompose en produit de facteurs de nombres premiers.
Exemple :
24 = 2 2 2 3
Applications :24
180
233
22325
2
15 ou 24
180
24
180
2
15.
IV. Comparer deux nombres
Comparer deux nombres ´equivaut `a ´etudier le signe de la diff´erence :
ab a b 0
a b a b 0
a b a b 0
La valeur absolue de la diff´erence entre deux nombres est appel´ee la distance entre ces deux nombres.
Rappel : a est l’abscisse du point A.
AB = a - b = b - a
Exemple :
AB = 3,5 - 2 = 2 - 3,5 = 1,5
Nous pouvons r´esoudre x2 5 x2 5
x2 5
x7
x3
Ainsi S3; 7 .
En pla¸cant un point C entre A et B, son abscisse c sera compris entre a et b : ac b.
Sous forme d’ensemble, cela s’´ecrit : c a ;b .
D´efinition :
On appelle intervalle un ensemble de nombres d´etermin´es par une in´egalit´e ou un encadrement.
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Ensemble des r´eels xtels que Repr´esentation graphique Notation
a x b x a;b
a x b x a;b
a x b x a;b
a x b x a;b
a x x a;
a x x a;
x b x ;b
x b x ;b
Exemple : R´esoudre 5 6x3
52x
28
58x
Ainsi, 7
10 x
D’o`u : S7
10 ;.
D´efinition :
Soient deux intervalles I et J de R.
Les r´eels qui sont `a la fois dans I et dans J appartiennent `a l’intersection de I et de J : si xI
et xJ, alors xI J (le symbole se lit ”inter”).
Les r´eels qui sont soit dans I, soit dans J appartiennent `a la r´eunion de I et de J : si xI ou
xJ, alors xI J (le symbole se lit ”union”).
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