énoncé - Université de Cergy

Université de Cergy-Pontoise Électromagnétisme 2
L3 PC L3 P 23 mars 2016
Examen
durée 3h, calculatrice est interdite
Exercice 1 (≈ 12points) : Transmission d’une onde électromagnétique sur la surface air -- eau
de mer
On se propose de traiter un problème de communication entre un sous-marin en dessous de la
surface de l’océan et un hélicoptère qui survole l’endroit où se trouve le sous-marin. L’étude de
l’onde incidente dans l’air et de l’onde transmise dans l’eau de mer, peuvent être traités séparément.
A) Étude de l’onde incidente dans l’air (considéré comme vide) :
L’hélicoptère émet une onde électromagnétique plane de fréquence f = 500 kHz. Le milieu de l’air
sera considéré comme le vide, étant donné que l’indice de réfraction est très proche de la valeur 1.
Le champ électrique de l’onde émise (onde incidente) sera présenté en notation complexe par :
⃗
Ei=E0⃗ uxei(ωt−kiz)
. (1)
L’axe Oz est vertical, orienté de l’hélicoptère vers le sous-marin.
1) Expliquer pourquoi cette onde est plane, progressive et monochromatique.
2) Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde ? Préciser la direction
de sa polarisation.
3) Écrire les équations de Maxwell vérifiées par cette onde.
4) En déduire la structure
(⃗ Ei,⃗ Bi,⃗ ki)
de l’onde.
5) Exprimer le champ magnétique
⃗
Bi
.
6) Trouver l’équation de propagation du champ
⃗
Ei
, la relation de dispersion et la
vitesse de phase.
7) Trouver le vecteur de Poynting moyen de l’onde incidente,
〈 ⃗πi〉
.
8) Calculer la densité moyenne d’énergie électromagnétique associée à l’onde
〈u〉
.
9) En déduire la vitesse et la direction de propagation de l’énergie de l’onde incidente.
B) Étude de l’onde transmise (dans l’eau de mer) :
L’eau de mer est considérée comme un milieu conducteur neutre de conductivité
γ
= 5 (Ωm)-1.
On admettra que la loi locale d’Ohm,
⃗
j=γ ⃗ E
, reste valable pour la fréquence émise par
l’hélicoptère. Pour la permittivité électrique de l’eau de mer, à la place de la valeur dans le vide
ε0=10−11 SI
on prendra
ε=100ε0
, et pour la perméabilité magnétique la même valeur que
celle du vide
μ0=10−6SI
.
1) A partir de l’équation de conservation de la charge, établir l’équation satisfaite par la
densité volumique de charges. Montrer que ρ (M,t) décroit rapidement vers 0.
2) Écrire les équations de Maxwell dans l’eau de mer.
3) Calculer le rapport entre le courant de déplacement et le courant de conduction, en
tenant compte des valeurs de la fréquence de l’émetteur et de la conductivité de l’eau
de mer. L’approximation ARQS est elle justifiée : peut on négliger le courant de
déplacement ?

4) Trouver l’équation de propagation du champ électrique
⃗
Et
dans l’eau de mer.
5) On admettra que l'onde transmise est une OPPM de même pulsation, et de même
polarisation que l'onde incidente se propageant également dans le sens des z positifs :
⃗
Et=E0⃗uxei(ωt−K z )
. (2)
En déduire la relation de dispersion dans l’eau de mer.
6) Montrer que K est une grandeur complexe et calculer ses valeurs réelle et imaginaire.
7) Exprimer
⃗
Et
en fonction de
δ=
√
2
γμ0ω
.
8) Quelle est la dimension et la signification physique de δ ?
9) Le vecteur de propagation de l’onde transmise est donné par kt = Re(K). En déduire
l’expression de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe de l’onde dans l’eau de
mer.
10) Calculer la puissance volumique moyenne cédée par le champ électromagnétique à
l’eau de mer par effet Joule.
11) A.N. Calculer l’ordre de grandeur de
δ
, v
ϕ
et vg. Comparer v
ϕ
et vg à la valeur
dans le vide. Si le sous-marin est à 10 m sous la surface de l’eau de mer, la
communication avec l’hélicoptère est elle possible ?
Exercice 2 (≈ 8 points) : Décharge d’une sphère conductrice dans l’air
Une sphère conductrice, de centre O et de rayon R, porte initialement la charge Q0 uniformément
repartie en surface. Loin de tout objets, elle est abandonnée dans l’air. La conductivité de l’air, γ ≈
104 (Ωm)-1, est très faible par rapport à celle du cuivre (6 107 (Ωm)-1.), mais dans ce problème, on
ne peut pas la négliger. En outre, plus l’air est humide, plus sa conductivité est grande. Cette faible
conductivité est la raison d’une fuite de charges, homogène sur toute la surface. À l’instant t, la
boule porte la charge Q(t).
A) Calcul du champ électromagnétique et de la loi de la décharge de la sphère.
1) Étudier la symétrie du problème.
2) En déduire le champ magnétique,
⃗
B(M , t)
.
3) Calculer le champ électrique,
⃗
E(M ,t)
, dans tout l’espace, en fonction de Q(t).
4) Écrire l’équation de Maxwell-Ampère à l’extérieur de la sphère.
5) En déduire l’équation différentielle vérifiée par Q(t).
6) Déterminer Q(t).
7) Quel est le temps nécessaire pour que la charge de la sphère diminue de facteur 1/e.
B) Bilan énergétique de la décharge de la sphère.
1) Calculer la densité volumique de l’énergie électromagnétique, u(M,t).
2) Quelle est l’énergie électromagnétique stockée dans tout l’espace à l’instant t ?
3) La charge de la sphère vaut Q0 à t = 0 et elle est complètement déchargée à t = ∞.
Quelle est la variation d’énergie électromagnétique au cours de la décharge ?
4) Cette énergie est dissipée dans l’air par effet Joule. Au point (M,t) la puissance
volumique instantanée de dissipation vaut
P=⃗ j⋅⃗ E
.
Calculer l’énergie dissipée au cours de la décharge totale de la sphère.
5) Vérifier la loi de conservation de l’énergie.