Chapitre 2 : Le formalisme de la physique statistique

Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
Chapitre 03 : Fonctions élémentaires
I.2. Module, argument et conjugué de
:
dans la forme polaire, alors on peut l’écrire :
Si on pose
(
I. Fonction exponentielle complexe :
On rappelle la définition d’une fonction exponentielle complexe :
)
Par identification, on trouve :
Déf. I.1 :
La fonction
définie par :
Est appelée fonction exponentielle complexe.
Vérifiant bien que : |
|
; du moment que dans R :
( )
Pour une fonction exponentielle complexe, les propriétés sont similaires
Et
avec une exponentielle réelle, telle que la différentiabilité partout sur R
Un résultat important est déduit :
de
Le conjugué de
:
.
.
est également obtenu :
̅̅̅
(
Théorème I.1 :
La fonction exponentielle
Ceci conclut donc que :
est entière et sa dérivée est donnée par :
̅̅̅
)
(
)
̅
̅
I.3. Propriétés algébriques :
Si
On vérifie bien que pour
(
(
)
)
sont deux complexes alors on a :
(1)
est analytique et
(2)
répond aux conditions de Cauchy-Riemann :
{
et
(3)
{
(4) (
En plus du fait que la dérivée de
)
I.4. Périodicité de
:
Comme
( )
:
définie par les deux fonctions cosinus et sinus ; qui sont elles-
mêmes périodiques, on en déduit que la fonction
Exemple 1. : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
( )
(
) ( )
*
(
)
périodique de période
+
1
:
est également
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
« La fonction exponentielle complexe est périodique avec une période
purement imaginaire
: (
)
( )»
Ceci peut être également vérifié pour :
Mais la première région de périodicité
.
est définie comme
« région fondamentale ».
Figure 2. Transformation de segments verticaux sous exp(z)
Cas 2 : z est une ligne horizontale :
Donc sous
Figure 1. Région fondamentale de exp(z)
I.5. Transformation sous
Comme
:
on s’intéresse aux cas suivants :
Cas 1 : z est une ligne verticale :
:
Donc sous
Ceci montre que pour toute région périodique sous
ensemble de cercles concentriques de rayon
Figure 3. Z est sous forme de lignes horizontales
donne lieu à un
Les images
:
( )
ce sont des segments droits de longueur
et qui sont portés sur une direction définie par l’argument b.
2
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
solutions (à cause de la périodicité de l’argument). Ceci peut être mieux
une solution de l’équation
expliqué en supposant :
dans ce cas on écrira : |
l’identification
|
| | et
| |
que :
| | et
équivalente :
( )
( ) et il en découle de
( )
et
et
ou
d’une
manière
( ). Cependant, pour un complexe
non nul z on peut montrer que :
| |
( )
A cause de l’infinité des arguments de z, l’équation ci-dessus donne une
( ) qui est donnée par la
fonction multivaluée (à valeurs multiples)
définition suivante :
Déf.II.1.
La fonction multivaluée
Figure 4. Image sous exp(z) de lignes horizontales
| |
On résume les propriétés des transformations sous
(i)
En utilisant la notation exponentielle de
transforme la région fondamentale
transforme le segment vertical :
(
en un
)
avec
Remarque : la notation
transforme la ligne horizontale
rayon porté sur un angle
, alors on peut réécrire
le logarithme complexe de z dans la forme suivante :
cercle | |
(iii)
( ) Est appelée le Logarithme Complexe de z.
comme suit :
en un ensemble | |
(ii)
définie par :
.
est utilisée pour définir le logarithme
népérien (à base de e) de la valeur réelle positive non nulle x.
en un
( )
Exemple 2.
Trouver toutes les solutions complexes des équations
suivantes :
II. Fonction logarithme complexe :
( )
( )
( )
Comme on l’a déjà vu dans la fonction exponentielle complexe, elle
II.1. Les identités logarithmiques :
n’est pas une fonction univoque comme c’est le cas pour la fonction
Les identités suivantes sont facilement démontrables par la définition
exponentielle réelle. Ceci dit, dans la plan des complexes C et pour un
complexe donné fixe et non nul, l’équation :
II.1, qui sont analogues aux identités logarithmiques réelles :
a une infinité de
3
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Si
et
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
sont des nombres complexes non nuls et n un entier, alors :
(i)
(
(ii)
. /
complexe qui constitue une Branche Principale de
)
( )
. Cette
branche est définie comme :
( )
| |
( )
-
Ce qui exclut tout
avec
( )
-.
(iii)
II.2. Valeur principale du logarithme complexe :
La fonction complexe
| |
définie par :
( )
( )
Est appelée la valeur principale du logarithme complexe.
Exemple 3. Calculer ;es valeurs principales du logarithme complexe
pour :
( )
( )
( )
II.3. La fonction
inverse de la fonction
Si la fonction exponentielle complexe ( )
fondamentale
, donc
:
est définie sur la région
Figure 5. Domaine de définition de
( ) est une fonction
( )
-+
Ceci nous permet d’obtenir une fonction analytique sur ce domaine :
univoque (un-à-un) et la fonction inverse de ( ) est la valeur principale
du logarithme complexe :
*-
continue et dérivable qui vérifie le théorème suivant :
.
II.4. Analyticité du logarithme complexe :
Théorème.II.1. Analyticité de la branche principale de lnz
Comme la fonction logarithme complexe est une fonction multivaluée
La branche principale
( )
donc elle ne vérifie pas les conditions de continuité et dérivabilité sur
*
( )
*-
( )
avec
( )
Est une fonction analytique et sa dérivée est donnée par :
tout le plan complexe, c’est pour ainsi qu’on définit une fonction
logarithmique complexe définie sur le domaine
| |
du logarithme complexe définie par :
-+ ou
( )
+. On parle dans ce cas d’une fonction logarithme
4
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
Exemple 4. Trouver les dérivées des fonctions suivantes dans le
Il est possible de vérifier que pour un exposant n entier, la fonction
domaine approprié :
puissance
( )
( )
(
est une fonction univoque, par contre lorsqu’il s’agit d’un
exposant complexe comme c’est le cas pour
)
on parle ici d’une
fonction puissance complexe multivaluée.
II.5. Transformations sous
Exemple 5. Trouver les valeurs des puissances complexes suivantes :
constitue une fonction inverse de l’exponentielle
Comme la fonction
complexe
:
( )
on peut déduire les propriétés de transformation suivantes
)
Les puissances complexes définies plus haut, vérifient les propriétés
sous une fonction logarithmique complexe :
transforme l’ensemble | |
(i)
( )(
suivantes qui sont analogues dans le cas des puissances réelles :
en une région
(i)
transforme un cercle définie par | |
(ii)
(ii)
en une un
(iii)
(
(iii)
segment de ligne verticale
transforme un rayon
( )
)
III.1. Valeur principale d’une puissance complexe :
en une ligne
On rappelle que dans la définition III.1 la puissance complexe est une
horizontale
multivaluée définie avec le
qui est déjà une multivaluée. On peut
III. Puissance complexe :
définir une valeur principale d’une puissance complexe en utilisant la
On sait déjà comment manipuler une puissance entière d’un nombre
valeur principale du logarithme complexe :
complexe du type
, par contre lorsqu’il s’agit d’un exposant
Déf. III.2 :
complexe, il n’est pas évident de calculer ou de résoudre une
expression comme : (
Si
est un nombre complexe et
) , pour cela on fait appelle au deux fonctions
, alors la fonction définie par :
est appelée La valeur principale de la puissance
complexe
exponentielle complexe et logarithme complexe :
Def. III.1. :
Si
est un nombre complexe et
, alors la puissance complexe
Exemple 6. Trouver les valeurs principales des puissances complexes
suivantes :
est définie comme :
( )(
5
) ⁄ ( )( )
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
III.2. Analyticité de la fonction puissance complexe :
IV.1. Identités trigonométriques :
Etant définie avec la fonction logarithme complexe et l’exponentielle
Comme les fonctions trigonométriques réelles, les fonctions trigo.
complexe, la fonction puissance complexe est définie analytique sur le
Complexes vérifient les identités suivantes :
*-
domaine :
-+ et on parle dans ce cas de la fonction
(i)
branche principale de la puissance complexe :
(
(
(
)
(ii)
)
(iii)
(
)
Cette fonction analytique (continue et dérivable) sur D et sa dérivée est
(iv)
(
)
définie par :
(v)
( )
,
( )
)
IV.2. Périodicité :
-
On déduit trivialement que les fonctions trigonométriques complexes
Exemple 7. Trouver les dérivées de la valeur principale de
point
dans le
Sinus et Cosinus sont périodiques et leur période est de
:
(
)
(
:
)
IV.3. Zéros des fonctions Sinus et Cosinus Complexes :
IV. Fonction trigonométriques complexes :
Les fonctions Sinus et Cosinus complexes admettent d’une manière
Déf. IV.1 :
analogue des zéros dans les valeurs réelles suivantes :
Les fonctions complexes Sinus et Cosinus sont définies par :
(
)
, avec
On définit également à partir de là les fonctions trigonométriques
IV.4. Analyticité :
complexes qui ont découlent de la définition du Sinus et Cosinus, d’une
Les dérivées des fonctions Sinus et Cosinus complexes sont obtenues à
manière analogue aux fonctions trigonométriques réelles :
partir de leurs définitions en fonction de l’exponentielle complexe. On
obtient :
Exemple
8. :
Dans
chaque
partie,
exprimer
trigonométriques données ci-dessous sous la forme
( )
( )
(
) ( )
(
les
fonctions
:
)
6
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
V. Fonctions hyperboliques complexes :
De manière similaire on obtient le passage entre les différentes
Déf. V. 1. :
fonctions hyperboliques et trigonométriques comme suit :
Les fonctions hyperboliques complexes sont définies par :
et
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
On en déduit également les autres fonctions hyperboliques :
V.3. Identités des fonctions hyperboliques complexes :
Il faut également remarquer que les fonctions hyperboliques
sont entières car
Les égalités ci-dessus peuvent être utilisées pour démontrer les
et
l’est déjà.
identités des fonctions hyperboliques :
(
(
)
V.1. Dérivées des fonctions hyperboliques complexes :
(i)
Les fonctions hyperboliques complexes sont obtenues à partir de leurs
(ii)
définitions en fonction de l’exponentielle complexe. On obtient alors :
(iii)
(
)
(iv)
(
)
)
(v)
VI. Fonctions Trigonométriques et hyperboliques inverses :
VI.1. Fonctions trigonométriques inverses :
V.2. Relations avec les fonctions trigonométriques complexes :
En cherchant de trouver des solutions à l’équation
Il est assez intéressant de voir quelle la relation entre les fonctions
besoin de définir la fonction inverse tel que :
hyperboliques et trigonométriques complexes, du moment que leurs
Remplaçons z par iz dans la déf. 2.6 et on obtient :
Ou, autrement :
(
. Pour cela ;
partant de la définition d’une fonction sinus complexe :
expression ont la même forme à un facteur près.
( )
, on en a
ou autrement :
Et là on est ramené à résoudre une équation quadratique en
)
(
( )
Ou :
7
)
0
⁄
(
0
)
⁄
1
(
)
⁄
1
:
Faculté des Sciences et de la Technologie
Université Djilali Bounaama - KHEMIS MILIANA
Fonction de la Variable Complexe
2ème année Licence : Physique
Ceci nous conduit à définir le sinus inverse :
0
(
⁄
)
0
1 : Sinus inverse
1 : Tangente hyperbolique inverse
Pour des branches de ces fonctions définies sur un domaine D où elles
Qui est une fonction multivaluée, du moment qu’elle s’écrit en fonction
sont continues et dérivables, on a :
du logarithme complexe.
Le même procédé est utilisé pour définir les autres fonctions
(
)
⁄
(
)
⁄
trigonométriques inverses :
0
0
(
)
⁄
1 : Cosinus inverse
1 : Tangente inverse
Les dérivées de ces fonctions sont définies uniquement sur des
Exemple 9. :
domaines ou ces fonctions sont continues et dérivables (ça revient de
1- Trouver toutes les valeurs de :
définir des branches de ces fonctions multivaluée) :
2- Trouver la valeur de la dérivée de
√
dans le point
(vérifier
que ce point appartient au domaine de définition).
(
)
⁄
(
)
⁄
3- Admettant que
représente une branche du cosinus
hyperbolique inverse obtenu en utilisant comme branche de la
fonction
puissance
complexe :
4- ( )
De la même manière que précédemment, on procède à la définition des
fonctions hyperboliques inverses comme solutions des équations du
, et on obtient :
0
0
(
)
(
⁄
)
1 : Sinus Hyperbolique inverse
⁄
√
⁄
1 : Cosinus Hyperbolique inverse
8
√
( )
|
complexe
.
suivantes :
VI.2. Fonctions hyperboliques inverses :
type :
( )
quadratique
√
et
Trouver
le
logarithme
les
valeurs