magnétique donc

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CPGE ATS
Auteur : CAZADE Eric
Chapitre 7
Circuits magnétiques et transformateurs
1
1. . C CA AR RA AC CT TE ER RI IS ST TI IQ QU UE ES S D DE ES S C CI IR RC CU UI IT TS S M MA AG GN NE ET TI IQ QU UE ES S
1.1. Réluctance et loi d’Hopkinson :
Soit une bobine ayant un circuit magnétique en forme de tore :
Le théorème d’Ampère appliqué au contour (C) donne : iNidlB enlacés
C
µµ ==⋅
∑
∫)(
En présence de milieu ferromagnétique : HHB r
µµµ
0
==
B
: champ magnétique exprimé en teslas (T),
H
: excitation magnétique exprimée en ampère par mètre (A.m-1),
N : nombre de spires (ou de tours de courant i) enlaçant le parcours (C),
µ
:perméabilité magnétique du milieu exprimée en henry par mètre (H.m-1),
µ
0 :perméabilité magnétique du vide exprimée en henry par mètre : 17
0H.m104 −−
= πµ
,
µ
r :perméabilité magnétique relative (sans dimension).
Exemples : µ
r = 1 pour le cuivre ou l’aluminium ;
µ
r = entre 800 et 4000 pour l’acier (matériau ferromagnétique)
µ
r =20000 pour le mumétal (excellent matériau ferromagnétique).
L’étude d’un circuit magnétique peut nous amener à définir un parcours (C) à perméabilité
magnétique variable ; on préfère donc utiliser la formulation du théorème d’Ampère avec
l’excitation magnétique
H
: inidlH enlacés
C==⋅ ∑
∫)(
1.1.1. Cas du circuit magnétique sans entrefer :
Le circuit magnétique permet de canaliser
les lignes de champ magnétique
B
.
L’orientation des lignes de champ est
donnée par le bonhomme d’Ampère
(le courant passe des pieds vers la tête et
la direction de
B
est donnée par le bras
gauche).

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Le tore ferromagnétique se referme complètement sur lui-même. Le parcours (C) emprunte
uniquement le milieu ferromagnétique.
En appelant S la section du tore ferromagnétique et n le vecteur normale à cette surface, on définit
le flux du champ magnétique à travers la section S : ∫∫ ⋅⋅= SdSnB
φ
Le flux est une grandeur conservative. Son unité est le wéber (Wb).
En considérant que la section S du tore est constante, on en déduit que le module du champ
magnétique
B
est constant et on a : SHSB r
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
µ
µ
φ
0 d’où : S
H
r
µµ
φ
0
=
En appelant l la longueur moyenne du circuit magnétique, le théorème d’Ampère donne :
iNlH ⋅=⋅ ⇒ iNl
S
r
⋅=⋅
µµ
φ
0
En appelant S
l
r
µµ
0
=ℜ la réluctance du circuit magnétique exprimée en (H-1), on peut écrire la
loi d’Hopkinson :
ε
φ
=
⋅
=
⋅
ℜ
iN
ε est la force magnétomotrice (fmm) exprimée en ampère-tours (A.tr).
1.1.2. Cas du circuit magnétique avec entrefer :
On considère à présent que le tore n’est pas complètement refermé sur lui-même, on dit qu’il
possède un entrefer d’épaisseur e. Le parcours (C) emprunte maintenant deux milieux (une grande
partie ferromagnétique et l’air sur une distance e).
Le flux du champ magnétique se conserve au passage dans l’entrefer, comme ce dernier est petit, on
peut considérer que la section du circuit magnétique S reste constante, on a donc : BBB entreferfer
=
=
En faisant intervenir les excitations magnétiques : S
B
H
rr
fer
µµ
φ
µµ
00
== et S
B
Hentrefer
00
µ
φ
µ
== ,
on peut appliquer le théorème d’Ampère : iNdlHdlHdlH
entrefer
entrefer
fer
fer
C⋅=⋅+⋅=⋅ ∫∫∫ )(
⇒
(
)
iNeHelH entreferfer
⋅
=
⋅
+
−
⋅
⇒
(
)
iN
S
e
S
el
r
⋅=
+
−
φ
µµµ
00
Par identification, la réluctance du circuit est :
(
)
S
l
e
l
S
e
S
el
r
r
entreferfer
r
+
≈ℜ+ℜ=+
−
=ℜ
µ
µ
µ
µµµ
1
0
00

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En général µ
r est grand et 1>>
l
e
r
µ , alors : entrefer
S
eℜ=≈ℜ
0
µ
1.2. Analogie circuit magnétique/circuit électrique :
On a une similitude entre la loi d’Hopkinsin
ε
φ
=
⋅
ℜ
et la loi d’Ohm eiR =⋅ pour un circuit
électrique fermé : Le circuit magnétique conduit le flux alors que le circuit électrique conduit le
courant.
Grandeurs électriques Grandeurs magnétiques
fém e fmm
ε
courant i flux
φ
résistance R réluctance ℜ
conductivité σ perméabilité µ
densité de courant j champ magnétique
B
Remarque : L’analogie n’est pas parfaite en tout point, notamment avec la conductivité qui ne
dépend que de la température. La perméabilité par contre varie beaucoup avec le champ
magnétique, surtout quand le milieu sature (
µ
r diminue).
L’intérêt de l’analogie réside dans l’utilisation de la loi de Kirchoff magnétique :
Exemple 1 :
Exemple 2 :
(
)
4321 ℜ+
ℜ
+
ℜ
+
ℜ
⋅
=
⋅
=
φ
ε
iN
⇒ 4321 VVVV
+
+
+
=
ε
φ
⋅
ℜ
=
11
V ;
φ
⋅
ℜ
=
22
V ;
φ
⋅ℜ= 33 V ;
φ
⋅
ℜ
=
44
V sont des différences de
potentiels magnétiques.
On a un nœud de flux : 321
φ
φ
φ
+
=
ddp magnétiques : 333222
φ
φ
⋅ℜ==
⋅
ℜ
=
=
VVV

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1.3. Inductance propre et inductance de fuite :
L’étude est menée en milieu non-saturé.
A chacun des flux, on peut faire correspondre une réluctance :
T
ℜ pour le flux total φ
T,
ℜ pour le flux φ contenu dans le circuit magnétique,
f
ℜ pour le flux de fuite φ
f.
En nous servant de l’exemple 2 du paragraphe précédent : ℜ
+
ℜ
=
ℜ
111
fT
ℜ⋅=ℜ⋅=ℜ⋅=⋅=
φ
φ
φ
ε
ffTT
iN
φ
T est le flux total embrassé par une spire du bobinage. Le bobinage comportant N spires embrasse
donc un flux : iLN Tbobinage
⋅
=
⋅
=
φ
φ
L étant l’inductance propre du bobinage exprimée en henrys (H).
On en déduit :
T
TiN
i
N
i
N
Lℜ
⋅
⋅=
⋅
=
φ
⇒
T
N
Lℜ =
2
De la même manière, on peut exprimer l’inductance de fuite (correspondant aux fuites
magnétiques) :
f
N
lℜ =
2
(on a l << L).
On peut donner un schéma équivalent magnétique :
La loi d’Hopkinson donne :
()
e
iN ℜ+ℜ⋅=⋅= 11
φ
ε
avec
32
111
ℜ
+
ℜ
=
ℜe
Une petite partie du flux total
φ
T
s’échappe dans l’air, il s’agit du flux de
fuite
φ
f.
φ
φ
φ
+
=
fT

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1.4. Saturation du circuit magnétique :
Dans un milieu ferromagnétique, la perméabilité relative µ
r n’est pas tout le temps constante. Cela
dépend du niveau de l’excitation magnétique H (donc du courant magnétisant i).
modélisation :
Si le circuit magnétique possède un entrefer, ce dernier augmente le niveau de saturation HM. La
pente de la zone linéaire est ainsi moins importante, ce qui diminue l’inductance propre L.
Une bobine de lissage devra donc toujours travailler avec I < Isat.
Le théorème d’Ampère exprimé avec l’excitation magnétique reste valable même si le circuit
magnétique est saturé ; par contre il n’est plus possible d’additionner les flux (saturation du champ
magnétique donc du flux). Il faut donc travailler avec les forces magnétomotrices.
1.5. Hystérésis :
Si on alimente le bobinage avec une tension sinusoïdale, l’intensité du courant oscille avec des
valeurs négatives et positives, l’excitation magnétique suit exactement la forme du courant
(théorème d’Ampère). Comme le système est non-linéaire, le courant n’est pas sinusoïdal :
Pour H < HM ⇔ I < Isat : zone linéaire :
HB r
µ
µ
0
=
et L = constante.
Pour H > HM ⇔ I > Isat : zone de saturation
magnétique :
M
BB
≈
et 0
≈
L
Si on alimente le bobinage avec un courant
continu I, nous observons une saturation à
partir d’une certaine valeur d’intensité
appelée Isat.