magnétique donc

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Chapitre 7
Circuits magnétiques et transformateurs
1. CARACTERISTIQUES DES CIRCUITS MAGNETIQUES
1.1.
Réluctance et loi d’Hopkinson :
Soit une bobine ayant un circuit magnétique en forme de tore :
Le circuit magnétique permet de canaliser
les lignes de champ magnétique B .
L’orientation des lignes de champ est
donnée par le bonhomme d’Ampère
(le courant passe des pieds vers la tête et
la direction de B est donnée par le bras
gauche).
Le théorème d’Ampère appliqué au contour (C) donne :
∫ B ⋅ dl = µ ∑ i
(C )
enlacés
= µNi
En présence de milieu ferromagnétique : B = µ H = µ0 µ r H
B : champ magnétique exprimé en teslas (T),
H : excitation magnétique exprimée en ampère par mètre (A.m-1),
N : nombre de spires (ou de tours de courant i) enlaçant le parcours (C),
µ :perméabilité magnétique du milieu exprimée en henry par mètre (H.m-1),
µ0 :perméabilité magnétique du vide exprimée en henry par mètre : µ 0 = 4 π 10 −7 H.m −1 ,
µr :perméabilité magnétique relative (sans dimension).
Exemples :
µr = 1 pour le cuivre ou l’aluminium ;
µr = entre 800 et 4000 pour l’acier (matériau ferromagnétique)
µr =20000 pour le mumétal (excellent matériau ferromagnétique).
L’étude d’un circuit magnétique peut nous amener à définir un parcours (C) à perméabilité
magnétique variable ; on préfère donc utiliser la formulation du théorème d’Ampère avec
l’excitation magnétique H :
∫ H ⋅ dl = ∑ i
(C )
enlacés
=ni
1.1.1. Cas du circuit magnétique sans entrefer :
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Le tore ferromagnétique se referme complètement sur lui-même. Le parcours (C) emprunte
uniquement le milieu ferromagnétique.
En appelant S la section du tore ferromagnétique et n le vecteur normale à cette surface, on définit
le flux du champ magnétique à travers la section S :
φ = ∫∫ B ⋅ n ⋅ dS
S
Le flux est une grandeur conservative. Son unité est le wéber (Wb).
En considérant que la section S du tore est constante, on en déduit que le module du champ
magnétique B est constant et on a : φ = B ⋅ S = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H ⋅ S
d’où : H =
φ
µ0 µr S
En appelant l la longueur moyenne du circuit magnétique, le théorème d’Ampère donne :
φ
⋅l = N ⋅i
µ0 µr S
⇒
H ⋅l = N ⋅i
l
En appelant ℜ = µ µ S la réluctance du circuit magnétique exprimée en (H-1), on peut écrire la
0 r
loi d’Hopkinson :
ℜ ⋅φ = N ⋅ i = ε
ε est la force magnétomotrice (fmm) exprimée en ampère-tours (A.tr).
1.1.2. Cas du circuit magnétique avec entrefer :
On considère à présent que le tore n’est pas complètement refermé sur lui-même, on dit qu’il
possède un entrefer d’épaisseur e. Le parcours (C) emprunte maintenant deux milieux (une grande
partie ferromagnétique et l’air sur une distance e).
Le flux du champ magnétique se conserve au passage dans l’entrefer, comme ce dernier est petit, on
peut considérer que la section du circuit magnétique S reste constante, on a donc : B fer = Bentrefer = B
En faisant intervenir les excitations magnétiques : H fer =
on peut appliquer le théorème d’Ampère :
⇒
∫ H ⋅ dl = ∫ H
(C )
B
µ0 µ r
fer
B
φ
φ
et H entrefer =
=
,
µ0 µr S
µ0 µ0 S
=
⋅ dl +
fer
∫H
entrefer
⋅ dl = N ⋅ i
entrefer
H fer ⋅ (l − e ) + H entrefer ⋅ e = N ⋅ i
⇒
 (l − e )
e 
+

φ = N ⋅i
 µ0 µ r S µ0 S 
Par identification, la réluctance du circuit est : ℜ =
(l − e ) +
µ0 µr S
e
= ℜ fer + ℜ entrefer ≈
µ0 S
l


 µ

r
S
µ0 
1+ µ e 


r
l

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En général µr est grand et µ r
1.2.
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e
e
= ℜ entrefer
>> 1 , alors : ℜ ≈
µ0 S
l
Analogie circuit magnétique/circuit électrique :
On a une similitude entre la loi d’Hopkinsin ℜ ⋅ φ = ε et la loi d’Ohm R ⋅ i = e pour un circuit
électrique fermé : Le circuit magnétique conduit le flux alors que le circuit électrique conduit le
courant.
Grandeurs électriques
fém e
courant i
résistance R
conductivité σ
Grandeurs magnétiques
densité de courant j
champ magnétique B
fmm ε
flux φ
réluctance ℜ
perméabilité µ
Remarque : L’analogie n’est pas parfaite en tout point, notamment avec la conductivité qui ne
dépend que de la température. La perméabilité par contre varie beaucoup avec le champ
magnétique, surtout quand le milieu sature (µr diminue).
L’intérêt de l’analogie réside dans l’utilisation de la loi de Kirchoff magnétique :
Exemple 1 :
ε = N ⋅ i = φ ⋅ (ℜ1 + ℜ 2 + ℜ3 + ℜ 4 )
⇒ ε = V1 + V2 + V3 + V4
V1 = ℜ1 ⋅ φ ; V2 = ℜ 2 ⋅ φ ; V3 = ℜ 3 ⋅ φ ;
V4 = ℜ 4 ⋅ φ sont des différences de
potentiels magnétiques.
Exemple 2 :
On a un nœud de flux :
φ1 = φ2 + φ3
ddp magnétiques : V = V2 = ℜ 2 ⋅ φ2 = V3 = ℜ3 ⋅ φ3
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On peut donner un schéma équivalent magnétique :
La loi d’Hopkinson donne :
ε = N ⋅ i = φ1 ⋅ (ℜ1 + ℜ e ) avec
1.3.
1
1
1
=
+
ℜe ℜ 2 ℜ3
Inductance propre et inductance de fuite :
L’étude est menée en milieu non-saturé.
Une petite partie du flux total φT
s’échappe dans l’air, il s’agit du flux de
fuite φf.
φT = φ f + φ
A chacun des flux, on peut faire correspondre une réluctance :
ℜT pour le flux total φT,
ℜ pour le flux φ contenu dans le circuit magnétique,
ℜ f pour le flux de fuite φf.
En nous servant de l’exemple 2 du paragraphe précédent :
1
1
1
=
+
ℜT ℜ f ℜ
ε = N ⋅ i = φT ⋅ ℜT = φ f ⋅ ℜ f = φ ⋅ ℜ
φT est le flux total embrassé par une spire du bobinage. Le bobinage comportant N spires embrasse
donc un flux :
φbobinage = N ⋅ φT = L ⋅ i
L étant l’inductance propre du bobinage exprimée en henrys (H).
N ⋅ φT N N ⋅ i
= ⋅
On en déduit : L =
i
i ℜT
⇒
L=
N2
ℜT
De la même manière, on peut exprimer l’inductance de fuite (correspondant aux fuites
magnétiques) :
N2
l=
ℜf
(on a l << L).
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1.4.
Page 5
Saturation du circuit magnétique :
Dans un milieu ferromagnétique, la perméabilité relative µr n’est pas tout le temps constante. Cela
dépend du niveau de l’excitation magnétique H (donc du courant magnétisant i).
Si on alimente le bobinage avec un courant
continu I, nous observons une saturation à
partir d’une certaine valeur d’intensité
appelée Isat.
modélisation :
Pour H < HM ⇔ I < Isat : zone linéaire :
B = µ 0 µ r H et L = constante.
Pour H > HM ⇔ I > Isat : zone de saturation
magnétique :
B ≈ BM et L ≈ 0
Si le circuit magnétique possède un entrefer, ce dernier augmente le niveau de saturation HM. La
pente de la zone linéaire est ainsi moins importante, ce qui diminue l’inductance propre L.
Une bobine de lissage devra donc toujours travailler avec I < Isat.
Le théorème d’Ampère exprimé avec l’excitation magnétique reste valable même si le circuit
magnétique est saturé ; par contre il n’est plus possible d’additionner les flux (saturation du champ
magnétique donc du flux). Il faut donc travailler avec les forces magnétomotrices.
1.5.
Hystérésis :
Si on alimente le bobinage avec une tension sinusoïdale, l’intensité du courant oscille avec des
valeurs négatives et positives, l’excitation magnétique suit exactement la forme du courant
(théorème d’Ampère). Comme le système est non-linéaire, le courant n’est pas sinusoïdal :
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Sur la courbe B = f(H), le champ
magnétique ne dépend pas seulement de
l’excitation mais encore des valeurs
auxquelles il a été soumis précédemment.
Br : champ magnétique rémanent
Hc : excitation magnétique coercitive.
Au cours d’une période de la tension, on parcourt le cycle d’hystérésis. L’aire de ce cycle est
proportionnelle à l’énergie dissipée dans le circuit magnétique sous forme de chaleur (l’aimantation
du matériau ferromagnétique absorbe de l’énergie qui n’est pas restituée complètement lors de la
désaimantation).
Il existe une formule empirique exprimant les pertes par hystérésis, elle exprime la proportionnalité
au volume du circuit magnétique, à la surface du cycle d’hystérésis et bien sûr à la fréquence avec
laquelle on décrit le cycle :
2
pH = K ⋅ V ⋅ BM ⋅ f
exprimée en watts (W).
V : volume du circuit magnétique en (m3),
BM : champ magnétique maximal en (T),
f : fréquence du champ magnétique en (Hz),
K : constante.
Remarque : Une des caractéristiques des tôles magnétiques est leurs pertes exprimées en watts par
kg (W/kg). Aujourd’hui on trouve des tôles fer-silicium ayant des pertes de 0,5 à 1,2 W/kg. Le
champ magnétique maximal BM peut atteindre 1,8 teslas maximum (1,2 T en moyenne). Ces
circuits magnétiques à tôles sont utilisables jusqu’à des fréquences de l’ordre du kilohertz. Si l’on
veut utiliser un circuit magnétique à des fréquences plus élevées (100MHz), il faut prendre du
ferrite (matériaux ferrimagnétiques qui ne conduisent pas l’électricité) mais dans ce cas le champ
magnétique maximal est de 0,4 teslas.
1.6.
Courants de Foucault :
Si le champ magnétique créé par le bobinage est variable dans le temps, des courants induits (par
induction électromagnétique) appelés courants de Foucault prennent naissance dans le circuit
magnétique :
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Vue côté droit du barreau :
Le circuit magnétique étant résistif, un échauffement par effet joule apparaît. Pour limiter ce
phénomène, on utilise un feuilletage (tôles) disposé de façon à éviter la circulation des courants de
Foucault. Ces tôles sont vernies pour éviter la conduction des courants de Foucault.
Une formule empirique permet de calculer les pertes par courants de Foucault :
2
pF = K '⋅V ⋅ BM ⋅ e ⋅ f 2
V : volume du circuit magnétique en (m3),
BM : champ magnétique maximal en (T),
f : fréquence du champ magnétique en (Hz),
K’ : constante,
e : épaisseur des tôles.
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2. BOBINE A NOYAU DE FER EN REGIME SINUSOÏDAL
2.1.
Formule de Boucherot :
Soit une bobine placée sur un noyau de fer saturé ou non de section S constante. On suppose qu’il
n’y a pas de fuites magnétiques et on désigne par φ le flux circulant dans le noyau.
On suppose de plus que le champ magnétique B est constant dans tout le noyau. Calculons la force
électromotrice induite e en supposant que le flux est sinusoïdal :
Aux bornes de l’enroulement, on a : e(t ) = − N
φ (t ) = φ M sin ω t
dφ
π

= − N ⋅ ω ⋅ φM ⋅ cos ω t = N ⋅ ω ⋅ φM ⋅ sin  ω t − 
dt
2

Comme de plus φ (t ) = B(t ) ⋅ S , le champ magnétique varie donc comme le flux.
La valeur efficace de la tension sinusoïdale e(t) vaut : E =
E=
⇒
N ⋅ ω ⋅ φM N ⋅ ω ⋅ BM ⋅ S
=
2
2
2π
⋅ N ⋅ f ⋅ BM ⋅ S = 4,44 ⋅ N ⋅ f ⋅ BM ⋅ S
2
formule de Boucherot
N : nombre de spires du bobinage,
S : section du circuit magnétique en (m2),
BM : champ magnétique maximal en (T).
Remarque : Pour les machines électriques, on utilise souvent le nombre de brins actifs n d’un
bobinage. Dans une spire, on a 2 brins actifs (l’aller et le retour) : n = 2 ⋅ N ; la formule de
E = 2,22 ⋅ n ⋅ f ⋅ BM ⋅ S
Boucherot s’écrit alors :
2.2.
Bobine sur noyau magnétique non-saturé :
On suppose que l’enroulement est alimenté par une tension sinusoïdale : u (t ) = U M cos ω t
On néglige de plus la résistance de l’enroulement, les pertes par hystérésis et les pertes par courants
de Foucault.
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Comme on suppose que le noyau n’est pas saturé, on a proportionnalité entre le champ magnétique
et l’excitation magnétique : B = µ 0 µ r H avec µr = cte. Le système est linéaire, toutes les grandeurs
sont donc sinusoïdales.
Comme on néglige la résistance du bobinage et toutes ses pertes ; l’enroulement est équivalent à
une bobine pure d’inductance L. Le courant i(t) est donc en retard de
{
La force électromotrice d’auto-induction vaut : e = −
π
2
rad sur la tension u(t).
π

i (t ) = I M cos ω t −  = I M sin ω t
2

H (t ) = H M sin ω t
B(t ) = BM sin ω t
φ (t ) = φM sin ω t
dφ
di
= −ω ⋅ φM ⋅ cos ω t = −u = − L ⋅
dt
dt
Valeurs efficaces :
E = U = 4,44 ⋅ N ⋅ f ⋅ BM ⋅ S
Représentation :
ou
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2.3.
Page 10
Bobine sur noyau magnétique saturé :
En réalité les noyaux magnétiques sont saturables et présentent des pertes par hystérésis et courants
de Foucault. La proportionnalité entre le champ magnétique et l’excitation magnétique n’existe
plus.
Si on alimente la bobine avec une tension sinusoïdale, cette fois-ci, le courant i(t) n’est plus
sinusoïdal. (la mesure de la valeur efficace doit être faite avec un ampèremètre ferromagnétique ou
RMS).
Si on néglige la résistance du bobinage, on a : E = U = 4,44 ⋅ N ⋅ f ⋅ BM ⋅ S
Le champ magnétique B(t) suit la forme du flux φ(t) qui est sinusoïdale.
L’excitation magnétique H(t) suit le courant i(t) qui n’est pas sinusoïdal.
2.4.
Modélisation de la bobine à noyau de fer :
Pour pouvoir modéliser un dipôle non-linéaire, il faut admettre que la tension et le courant sont
sinusoïdaux pour pouvoir définir un déphasage.
⇒ L’excitation magnétique H est donc supposée sinusoïdale.
2.4.1. Modélisation tenant compte des pertes ferromagnétiques :
Les pertes ferromagnétiques ou pertes fer ou pertes dans le fer sont constituées des pertes par
hystérésis additionnées des pertes par courants de Foucault :
p fer = pH + pF
Si on néglige la résistance du bobinage, alors la puissance active absorbée par la bobine correspond
aux pertes fer : P = p fer = U I cosφ
avec φ = (I ;U ) ≈
π
2
La puissance réactive étant donnée par : Q = U I sin φ
On peut considérer que la puissance active est consommée par une résistance Rf matérialisant les
pertes fer. La puissance réactive étant quant à elle consommée par une inductance Lm appelée
inductance magnétisante.
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Remarque : Lors de la saturation, Rf augmente et Lm diminue.
On a : I = I a + I r
Ir est le courant circulant dans l’inductance magnétisante, on l’appelle souvent le courant
magnétisant.
P = p fer =
U2
2
= Rf ⋅ Ia
Rf
Q=
U2
2
= Lmω ⋅ I r
Lmω
2.4.2. Modélisation tenant compte des pertes ferromagnétiques et des pertes joules :
Il faut rajouter la résistance R du bobinage.
U = R I +U'
E = U ' = 4,44 N S f BM
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La chute de tension due à la résistance du bobinage R est infime ; elle introduit les pertes joules de
la bobine :
pJ = R I 2
La puissance active absorbée vaut : P = U I cos φ = p J + p fer
avec
p fer =
U '2
Rf
U '2
Q
U
I
φ
=
=
sin
La puissance réactive est absorbée par l’inductance magnétisante et vaut :
Lmω
2.4.3. Modélisation tenant compte des pertes ferromagnétiques, des pertes joules et
des fuites magnétiques :
On introduit l’inductance de fuite l en série avec la résistance R du bobinage.
U = R I + jlω I + U ' '
E = U " = 4,44 N S f BM
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La puissance active absorbée vaut :
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P = U I cos φ = p J + p fer
avec
p fer =
U ' '2
Rf
La puissance réactive est absorbée par l’inductance de fuite et l’inductance magnétisante :
Q = U I sin φ = lω I 2 +
U ' '2
Lmω
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3. TRANSFORMATEUR MONOPHASE DE TENSION EN REGIME SINUSOÏDAL
3.1.
Constitution et convention :
Le transformateur monophasé est un quadripôle constitué de deux enroulements entourant un circuit
magnétique. Ce dernier est formé de :
•
deux noyaux,
•
deux culasses.
Les
enroulements
primaire
et
secondaire sont disposés sur les noyaux
de façon à limiter les fuites
magnétiques.
Du point de vue du fonctionnement, cela revient à placer deux enroulements bien séparés sur un
circuit magnétique.
Sur les lignes de champ magnétique B , on place une orientation du flux magnétique φ arbitraire
pour désigner le flux positif.
Les orientations des bobinages primaire et secondaire sont choisies telles qu’elles engendrent avec
un courant positif un flux positif. Ces bornes sont dites homologues ; un point permet de repérer
ces bornes.
On choisit habituellement la convention récepteur pour le primaire et la convention générateur pour
le secondaire.
Les bornes homologues donnent des tensions pratiquement en phase à vide. Avec les références
choisies pour u1 et u2, nous avons donc un déphasage de π.
3.2.
Transformateur parfait :
3.2.1. Définition :
Un transformateur parfait ne présente ni pertes, ni fuites magnétiques :
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•
•
Les résistances des enroulements primaire et secondaire sont nulles : R1 = R2 = 0,
Les pertes ferromagnétiques sont nulles : pfer = 0 ⇒ R f = +∞ ,
•
Les inductances de fuites sont nulles, la réluctance du circuit magnétique est donc nulle
(circuit magnétique parfait) : l1 = l 2 = 0 , Lm = +∞ .
3.2.2. Etude générale :
Soit φ(t) le flux circulant dans le circuit magnétique. La variation du flux à travers une spire
dφ (t )
engendre une force électromotrice : e(t ) = −
.
dt
dφ (t )
,
Pour l’enroulement primaire comportant n1 spires : e1 (t ) = − n1
dt
dφ (t )
,
Pour l’enroulement secondaire comportant n2 spires : e2 (t ) = −n2
dt
Avec les conventions choisies et en considérant que e1 (t ) crée un courant i1 et e2 (t ) crée i2, on a :
dφ (t )
u1 (t ) = −e1 (t ) = n1
dt
u (t )
n
dφ (t )
⇒ u12 (t ) = − n12 = −m
u 2 (t ) = e2 (t ) = −n2
dt
m est le rapport de transformation du transformateur.
Le signe ″-″ signifie que les tensions u1(t) et u2(t) sont en opposition de phase.
Relation sur les courants :
La loi d’Hopkinson appliquée au transformateur donne : ℜ ⋅ φ =
⇒
n1 ⋅ i1 + n2 ⋅ i2 = 0
⇒
∑ N ⋅i = 0
i1 (t )
n
= − 2 = −m
i2 (t )
n1
Les courants i1(t) et i2(t) sont en opposition de phase.
3.2.3. Régime sinusoïdal. Valeurs complexes :
On considère que u1 (t ) = U 1 2 cos ω t ,
en prenant les grandeurs complexes associées aux grandeurs sinusoïdales, on a :
{
d φ (t )
dt
dφ (t )
e2 (t ) = −n2
dt
e1 (t ) = − n1
⇒
{
E1 ( jω ) = − jω n1φ = − U 1
E 2 ( j ω ) = − j ω n2 φ = U 2
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⇒
U2
U1
=−
I1
n2
= −m =
n1
I2
3.2.4. Schéma équivalent. Diagramme de Fresnel :
Exemple : charge inductive
φ1 = φ 2
Autre représentation
Du transformateur
parfait :
3.2.5. Etude en charge :
Schéma équivalent vu du générateur E2 :
Schéma équivalent vu du réseau U1 :
comme U 2 = −m U 1 et I 2 = −
U 2 = E2 = Z c ⋅ I 2
⇒
3.2.6. Puissances :
P1 = U 1 I1 cos φ1
P2 = U 2 I 2 cos φ2
⇒ P1 = P2
U 1 = Z ' ⋅ I1
avec
I1
m
Z' =
Zc
m2
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S1 = U 1 I1
S2 = U 2 I 2
⇒ S1 = S 2
Q1 = U 1 I1 sin φ1
Q2 = U 2 I 2 sin φ2
⇒ Q1 = Q2
3.3.
Le transformateur réel :
3.3.1. Etude générale :
Relation sur les courants :
Si le transformateur est à vide (secondaire ouvert), on a : i2 = 0 et i1 = i10 , la relation
ℜ ⋅ φ = n1 ⋅ i10
d’Hopkinson s’écrit :
Si le transformateur est en charge : i2 ≠ 0 , on a :
ℜ ⋅ φ = n1 ⋅ i1 + n2 ⋅ i2
La valeur du flux est directement liée à la tension du réseau u1(t) ; elle reste la même quelle que soit
ℜ ⋅ φ = cte = n1 ⋅ i10 = n1 ⋅ i1 + n2 ⋅ i2
la charge ; On peut donc écrire :
⇒ i1 = i10 −
n2
⋅ i2
n1
⇒
i1 = i10 − m ⋅ i2
Relation sur les tensions :
Les résistances et les fuites magnétiques entraînent des chutes de tension au primaire et au
secondaire :
{
di1 (t )
dφ (t )
+ n1
dt
dt
di (t )
dφ (t )
u 2 (t ) = − R2 i2 (t ) − l2 2 − n2
dt
dt
u1 (t ) = R1 i1 (t ) + l1
e1 (t ) = − n1
dφ (t )
dt
e2 (t ) = −n2
dφ (t )
dt
avec
3.3.2. Régime sinusoïdal :
En prenant les grandeurs
complexes associées :
I1 = I10 − m I 2
U 1 = R1 I1 + jl1ω I1 − E1
U 2 = − R2 I 2 − jl2ω I 2 + E2
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3.3.3. Schéma équivalent :
Pour la modélisation, on peut utiliser le modèle de la bobine sachant que le transformateur à vide
( I2 = 0) est équivalent à la bobine :
3.3.4. Hypothèse de Kapp :
On considère dans l’hypothèse de Kapp que le circuit magnétique est parfait
⇒ Le courant magnétisant I10 est négligeable.
On a donc :
I1 ≈ − m ⋅ I 2
On peut alors faire passer les impédances du primaire au secondaire (il s’agit du modèle de
Thévenin dans l’approximation de Kapp) :
E2 = U 20 = − m U 1
RS = R2 + m 2 R1
(
)
X S = LS ω = l2 + m 2 l1 ω
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3.3.5. Diagramme de Kapp :
Il s’agit du diagramme de Fresnel correspondant au schéma précédent :
E2 = U 20 = U 2 + RS I 2 + jX S I 2
U 20 =
(U 2 + RS I 2 cos φ2 + X S I 2 sin φ2 )2 + ( X S I 2 cos φ2 − RS I 2 sin φ2 )2
U 20 ≈ U 2 + RS I 2 cos φ2 + X S I 2 sin φ2
Comme l’angle θ est très petit, on peut approximer :
3.3.6. Essais de détermination du modèle :
Essai à vide sous tension nominale :
I2 = 0 ; U1 = U1N ;
U2 = U20
Le rapport de transformation se calcule par : m =
; I1 = I10
U 20
U 1N
2
2
La puissance active absorbée vaut : P10 = p fer + R1 I10 ≈ p fer
avec p fer
U
≈ 1
Rf
2
U1
donc R f ≈ P
10
La puissance réactive absorbée vaut : Q10 = QLm + l1ω I1 ≈ QLm
2
donc Lm ≈
2
avec
QLm ≈
U1
Lmω
Q10
ω U 12
Essai en court-circuit sous tension réduite :
Il faut réduire la tension primaire pour limiter le courant de court-circuit secondaire à sa valeur
nominale.
I2 = I2N ; U2 = 0 ; U1 = U1r ;
I1 = I1r
P1r = U 1r I1r cos φ1
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La puissance active mesurée P1r est consommée dans Rf, R1 et R2 ; autrement dit dans Rf et RS. On
utilise alors souvent le schéma équivalent suivant :
2
P1r =
U 1r
2
2
+ RS I 2 ≈ RS I 2
Rf
donc
RS ≈
P1r
2
I2
2
2
2
De plus U 20 = RS + X S ⋅ I 2
donc
U 
2
X S =  20  − RS
 I2 
3.3.7. Rendement :
η=
avec P1 = U 1 I1 cos φ1
P − p j1 − p j 2 − p fer
P2
P2
=
= 1
P1 P2 + p j1 + p j 2 + p fer
P1
P2 = U 2 I 2 cos φ2
et φ1 ≠ φ2