EPREUVE DE MATHEMATIQUES correction Série STG

MAT bacblanc1 STG
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
correction
Série STG
BAC BLANC n°1
Session 2008
LA REDACTION ET LA PRESENTATION SONT PRISES EN COMPTE POUR 4 POINTS
LES CALCULATRICES SONT AUTORISEES conformément à la circulaire n°99-186 du
16/11/1999
DU PAPIER MILLIMETRE SERA MIS A LA DISPOSITION DES CANDIDATS
DUREE : 3 HEURES
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Exercice 1 – 5 pts Voici la courbe représentative C d’une fonction f dérivable sur IR
1. Lire sur le graphique les valeurs de f(1), f(3), f ‘(4) sachant que ces nombres sont entiers.
f(1) = 0 f(3) = 2
f’(4) = 0
2. Déterminer le signe de f(6) et celui de f ‘(6) f(6) > 0 et f ’(6) < 0
3. On donne f(x) = -0,25x² + bx – 1,75
4. A l’aide des valeurs trouvées à la question 1, trouver la valeur de b.
Comme f(1) = 0 alors 0 = -0,25 + b – 1,75 don b = 2
5. Parmi les courbes représentatives de trois fonctions F1, F2 et F3 ci dessous, une seule
représente une fonction primitive de f. Laquelle? F est négative, puis positive, puis négatve
donc F est décroissante, croissante, puis décroissante, c’est : F2
F1
F2
F3
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Exercice 2 – 5 pts Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Le candidat entourera la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse
est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note, sur cette partie, est ramenée à 0.
Exercice 3 – 5 pts Soit f la fonction définie sur I = [-5 ;5] par f(x) = x3 – 3x + 2
1. a. Déterminer la dérivée f ‘ de f puis montrer que le signe de f ‘(x) est celui de x² - 1, c’est à dire
négatif entre -1 et 1, positif ailleurs.
f’(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) donc f’(x) est du signe de x² - 1 puisque 3 est positif.
Or x² - 1 = (x - 1)(x + 1) donc x ² - 1 est négatif entre -1 et 1 (tableau de signes) et positif en dehors
b. En déduire les variations de f sur I (faire le tableau de variations)
x −5
f'
f(x)
−1
1
−
+
+5
+
112
4
−108
0
2. On désigne par D la courbe représentant f dans le plan muni d'un repère (O, I, J).
a. Montrer qu'une équation de la tangente à D en K(0 ; 2) est y = -3x + 2
y – f(0) = f ’(0) (x- 0) or f(0) = 2 et f ’(0) = 3(0)² - 3 = -3
y – 2 = -3x
y = -3x + 2
b. Démontrer que, pour x > 0, la courbe D est au-dessus de la tangente en K, et que, pour x < 0, elle
est au-dessous de la tangente en K.
f(x) – (-3x + 2)= x3 – 3x + 2 – (-3x + 2)= x3
si x > 0 alors x3> 0 donc f(x) > (-3x + 2) c'est-à-dire : D est au-dessus de la tangente
3. Construire la tangente en K, puis la courbe D (unités graphiques : 3cm sur l'axe des abscisses et
1cm sur l’axe des ordonnées).
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Exercice 4 – 5 pts Une commune désire aménager un nouvel espace vert. Une société de vente lui propose des lots A
comprenant dix rosiers, un magnolia et un camélia pour un montant de 200 € ou des lots B
comprenant cinq rosiers, un magnolia et trois camélias pour un montant de 300 €.
Les besoins sont d'au moins 100 rosiers, 16 magnolias et 30 camélias.
On désigne par x le nombre de lots A et par y le nombre de lots B achetés.
1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Rosiers
Magnolias
Camélias
10x
x
x
5y
y
3y
Contrainte
10x + 5y ≥ 100
x + y ≥ 16
x + 3y ≥ 30
Frontière associée à la
contrainte
10x + 5y = 100
x + y = 16
x + 3y = 30
Lots A
Lots B
Quelle est la contrainte concernant les magnolias ? x + y ≥ 16
Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ? x + y = 16
Quelle est la contrainte concernant les camélias ? x + 3y ≥ 30
Quelle est la droite frontière associée à cette contrainte ? x + 3y = 30
Une résolution graphique de ce problème est donnée ci-dessous.
2. Reproduire ce graphique.
Si d désigne la dépense totale en euros pour l'achat de x lots A et y lots B, montrer que
2
d
y=- x+
3
300
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200
d
la dépense est de d = 200x + 300y alors 300y = d – 200x soit y = - x +
300
300
d
2
y=- x+
3
300
2
d
Tracer la droite ∆ d'équation y = - x +
pour d = 5400.
3
300
3. Expliquer comment obtenir à l'aide du graphique le couple (x ; y) qui permet de satisfaire
les besoins au coût le plus faible possible.
Le couple le plus faible correspond à un point du domaine par lequel passe delta et tel que delta
coupe l’axe vertical au point le plus bas. (voir delta’ sur le graphique)
Quel est ce couple ?
(9,7)
Calculer alors la dépense minimale possible.
d = 200×9 + 300×7 = 3900 €
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ANNEXE - Exercice 2
1
Si un prix augmente successivement de 5% puis de
20%, alors il augmente de
Voici la représentation graphique de la fonction
dérivée h’ d’une fonction h sur l’intervalle
[-2 ; 2]
2
le signe de h’
sur [-2 ; 2] est
4
5
20%
26%
-2 -1 1 2
- + -
-2 -1 1 2
+ - +
-2 -1 1 2
+ + +
2,06%
20,6%
206%
7,49%
environ
74,9%
environ
0 ,003
0,032
0,033
95,24
(arrondi
au
centième)
95
90
les variations
de h sont sur
[-2 ; 2]
A l’issue des
deux heures,
de quel taux
la population
de bactéries
a-t-elle
évoluée ?
3
25%
On considère une population de bactéries qui
augmente de 80% la première heure et de 70%
l’heure suivante.
Quel est le
taux
d’évolution
moyen
horaire de
cette
population sur
cette durée ?
Un prix a augmenté de 10% sur trois ans.
Le taux moyen annuel d’évolution sur
cette durée est donc, arrondi au
millième, de :
Dans un lycée, l’administration a calculé
le nombre d’admis au bac en 2006 et en
2007. Le proviseur a pris comme année
de référence 2006 en lui donnant l’indice
100. L’indice pour 2007 est alors 105.
Le proviseur adjoint, lui, a pris comme
indice 100 l’année 2007. Pour le
proviseur adjoint, l’indice 2006 est
donc :
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75%
exactement
.